04概率和抽样分布

1、第四章 抽样分布与参数估计第一节 频率、概率第二节 概率分布第三节 抽样分布1第一节频频率率、概率率与概率率分布一、随机机事件与与概率（一）随随机试验验与事件件随机现象象的特点点是：在在条件不不变的情情况下，一系列列的试验验或观测测会得到到不同的的结果，并且在在试验或或观测前前不能预预见何种种结果将将出现。对随机机现象的的试验或或观测称称为随机机试验，它必须须满足以以下的性性质：（1）每每次试验验的可能能结果不不是唯一一的；（2）每每次试验验之前不不能确定定何种结结果会出出现；（3）试试验可在在相同条条件下重重复进行行。2例：投掷掷一粒均均匀的六六面体骰骰子，出出现的点点数有可可能是1、2、3

2、、4、5、6共六六种。这这六种结结果是基基本结果果，不可可以再分分解成更更简单的的结果了了，所以以=1，2，3，4，5，6为该试试验的样样本空间间。“出出现点数数是奇数数”这一一事件就就不是简简单事件件，它是是由基本本事件1，3和5组合合而成的的。我们们通常用用大写字字母A，B，C，来来表示随随机事件件，例如如，设A表示“出现点点数是奇奇数”，则A=1，3，5；设设B表示示“出现现点数是是偶数”，则B=2，4，6。3（二）概概率1.概概率的的定义概率就是是指随机机事件发发生的可可能性，或称为为机率，是对随随机事件件发生可可能性的的度量。随机事件件A发生生可能性性大小称称为事件件A发生生的概率率

3、，记为为：P(A)=p。正确理解解和计算算随机事事件的概概率是进进行统计计推断和和统计决决策的基基础按不同的的观点和和不同情情的况，概率有古古典概率率、试验验概率和和主观概概率三种种不同的的解释42.古古典概概率起源于17世纪纪很流行行的赌博博输赢的的估计。设事件A是样本本空间中的一个个随机事事件，事事件A的古典概概率定义义为：5例：设一一个袋子子中装有有白球2个，黑黑球3个个。从中中随机摸摸出1只只球，问问刚好是是白球的的概率有有多大？解：由于于摸出的的任何1只球都都形成一一个基本本事件，所以样样本点总总数为n=5。用A表表示摸出出的是白白球事件件，则A由两个个基本点点组成，即A=白球球，白

4、球球，有有利场合合数m=2。因因此，刚刚好摸出出白球的的概率为为P(A)=m/n=2/5=0.463.试试验概概率古典概率率在应用用上受到到两个条条件的限限制：一一是随机机试验的的结果只只有有限限个，二二是这些些结果出出现的可可能性相相同。如果采用用试验概概率，就就不受上上述条件件的限制制4.主主观概概率在实际问问题中，有些试试验是无无法在相相同的条条件下重重复进行行。如：股价指指数在未未来一周周内上升升的可能能性有多多大。只只能凭经经验进行行主观的的估计。72.概概率的的基本性性质性质11P(A)0。性质2P()=1。性质3若若事事件A与与事件B互不相相容，即即AB=，则则P(AB)=P(A

5、)+P(B)。推论1不不可能能事件的的概率为为0，即即：P()=0。推论2P()=1-P(A),表表示A的对立立事件，即它们们二者必必有一事事件发生生但又不不能同时时发生。8第二节随随机机变量概概率分布布随机变量量X是定定义在样样本空间间=1,2,n上的的一个函函数，这这个函数数的取值值随试验验的结果果不同而而变化。这个函函数还要要求满足足条件：对任意意的实数数x，Xx是是随机事事件。如如果随机机变量所所有可能能的取值值是有限限的，或或可排成成一列的的，这种种随机变变量称为为离散型型随机变变量；另另一种情情况是随随机变量量的取值值范围是是一个区区间或整整个数轴轴，这种种随机变变量称为为连续型型

6、随机变变量。1.离离散型型随机变变量的概概率分布布设离散型型随机变变量X的的所有可可能取值值为x1,x2，,xn,，相相应的概概率为p(x1)，p(x2),p(xn),。用表格格统一表表示出来来是：9Xx1x2xnPp(x1)p(x2)p(xn)这称为离离散型随随机变量量X的概概率分布布。性质：(1)0p(xi)1(i=1,2,)；(2)定义:离离散型随随机变量量X的期期望值为为性质：其中X1，X2都是随随机变量量，是任任意常数数。10定义:离离散散型随机机变量X的方差差为方差的平平方根称为标标准差。方差2或标准差差反映映随机变变量X相相对其期期望值的的离散程度度，2或越小小,说说明期望望值的

7、代代表性越越好；2或越大大，说明明期望值值的代表表性越差差。性质：对对于任意意的，D(X)=2D(X) 成立立112.连连续型随随机变量量的概率率分布设X是R.V.,x 是一一实数. 记F(x)=P(Xx)。该该函数就就是随机机变量X的分布布函数。分布函函数的导导数称为为密度函函数，记记作p(x)。性质(1)p(x)0(2)(3)a bxP(axb)12定义:连连续续型随机机变量X的期望望值为方差为13例：某大大学英语语考试成成绩服从从正态分分布，已已知平均均成绩为为70分分，标准准差为10分。求该大大学英语语成绩在在6075分分的概率率。14第三节抽抽样样分布一、抽样样的基本本概念二、抽样样

8、分布（一）重重复抽样样分布（二）不不重复抽抽样分布布15一、抽样样的基本本概念抽样涉及及的基本本概念有有：总体与样样本(见见第一章章)样本容量量与样本本个数总体参数数与样本本统计量量重复抽样样与不重重复抽样样这些概念念是统计计学特有有的，体体现了统统计学的的基本思思想与方方法。16总体和样样本（参参见第1章）1.总体：又称全全及总体体、母体体，指所所要研究究对象的的全体，由许多多客观存存在的具具有某种种共同性性质的单单位构成成。总体体单位数数用N表示。2.样本本：又称子样样，来自自总体，是从总总体中按按随机原原则抽选选出来的的部分，由抽选选的单位位构成。样本单单位数用用n表示。3.总体体是唯一

9、一的、确确定的，而样本本是不确确定的、可变的的、随机机的。17样本容量量与样本本个数样本容量量：一个个样本中中所包含含的单位位数，用用n表示。样本个数数：又称称样本可可能数目目，指从从一个总总体中所所可能抽抽取的样样本的个个数。对对于有限限总体，样本个个数可以以计算出出来。样样本个数数的多少少与抽样样方法有有关。(这个概念念只是对对有限总总体有意意义，对对无限总总体没有有意义！)18总体参数数和样本本统计量量总体参数数：反映映总体数数量特征征的指标标。其数数值是唯唯一的、确定的的。样本统计计量：根根据样本本分布计计算的指指标。是是随机变变量。19平均数标准差、方差成数参数、2p统计量S、 S2

10、P总体20二、抽样样分布概念：由由样本统统计量的的全部可可能取值值和与之之相应的的概率（频率）组成的的分配数数列。（某一统计计量所有有可能的的样本的的取值形形成的分分布。）包括以下下内容重置抽样样分布不重置抽抽样分布布21重置抽样样分布-样本本平均数数的分布布某班组5个工人人的日工工资为34、38、42、46、50元。= 422= 32现用重置置抽样的的方法从从5人中随机机抽2个单位构构成样本本。共有有52=25个样本。如下图图。2223样本平均均数的分分布24验证了以以下两个个结论：抽样平均均数的标标准差反反映所有有的样本本平均数数与总体体平均数数的平均均误差，称为抽抽样平均均误差，用表表示

11、。25由概率论论知，如如果总体体是正态态分布的的，则样样本平均均数的抽抽样分布布是如下下正态分分布从分布形形式看，当总体体为非正正态分布布时，样样本均值值的抽样样分布随随着样本本容量的的扩大而而趋近于于正态分分布26样本成数数的分布布总体成数数p是指具有有某种特特征的单单位在总总体中的的比重。成数是是一个特特殊平均均数，设设总体单单位总数数目是N，总体中中有该特特征的单单位数是是N1。设x是0、1变量（总体单单位有该该特征，则x取1，否否则取0），则则有：27样本成数数的分布布现从总体体中抽出出n个单位，如果其其中有相相应特征征的单位位数是n1，则样本本成数是是：P也是一个个随机变变量，利利用样本本平均数数的分布布性质结结论，即即有：28不重置抽抽样分布布样本均值值的分布布性质：样本成数数的分布布性质29抽样分布布总结样本平均数的分布样本成数的分布重复抽样不重复抽样30例1：求求样本平平均数的的概率分分布设某公司司1000名职职工的人人均年奖奖金为2000元，标标准差500元元，随机机抽取36人作作为样本本进行调调查，问问样本的的人均年年奖金在在19002200元之间间的概率率有多大大？31例2：某某地区区职工家家庭的人人均年收收入平均均为12000元，标标准差为为2000元。若知该该地区家家庭的人人均年收收入服从从正态