人教A版新教材必修第一册《习题课 函数模型的应用》教案（定稿）

1、习题课函数模型的应用学习目标1.能自建确定性函数模型解决实际问题.2.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性一、建立函数模型解决实际问题例1某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0 x1)当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间(1)求x的值；(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的eq f(r(2),2)，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的eq f(1,4)？解(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0 x1)，则a(1x)10eq f(1,2)a，即(1x)10eq f(1,2)

2、， 解得x1 .(2)设从今年开始，还需治理n年，则n年后剩余面积为eq f(r(2),2)a(1x)n，令eq f(r(2),2)a(1x)neq f(1,4)a，即(1x)neq f(r(2),4)，eq f(n,10)eq f(3,2)，解得n15，故至少还需治理15年反思感悟与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答跟踪训练1某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含

3、量减少一半，记过滤次数为x(xN*)时溶液杂质含量为y，(1)分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量y1，y2的值；(2)写出y与x的函数关系式(要求写出定义域)；(3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 20.301)解(1)1次过滤后，溶液杂质含量y1eq f(1,50)eq f(1,2)0.011%，2次过滤后，溶液杂质含量y2eq f(1,50)eq f(1,2)eq f(1,2)0.0050.5%.(2)因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，所以过滤次数为x(xN*)时溶液杂质含量y2%eq blc

4、(rc)(avs4alco1(1f(1,2)xeq f(1,50)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，xN*.(3)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则eq f(1,50)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x0.02%，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xeq f(1,100)，所以xeq f(lg f(1,100),lg f(1,2)eq f(2,lg 2)6.6，又xN*，所以x7，即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求二、实际问题中的函数模型选择问题例2近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、

5、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：年份201820192020销售量/万斤415583结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2021年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2021年实际销售123万斤，超额完成预定目标(1)将2018,2019,2020,2021年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)ax2bxc(a0)；幂函数模型为

6、g(x)kx3mxn(k0)请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；(2)依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2022年度的农产品销售量？解(1)若选择二次函数模型，依题意，将前三年数据分别代入f(x)ax2bxc(a0)，得eq blcrc (avs4alco1(f141，,f255，,f383，)即eq blcrc (avs4alco1(abc41，,4a2bc55，,9a3bc83，)解得eq blcrc (avs4alco1(a7，,b7，,c41.)所以f(x)7x27x41.将x4代入f(x)，得f(4)74274411

7、25，所以此与2021年实际销售量的误差为1251232(万斤)若选择幂函数模型，依题意，将前三年数据分别代入g(x)kx3mxn(k0)，得eq blcrc (avs4alco1(g141，,g255，,g383，)即eq blcrc (avs4alco1(kmn41，,8k2mn55，,27k3mn83，)解得eq blcrc (avs4alco1(kf(7,6)，,mf(35,6)，,n34.)所以g(x)eq f(7,6)x3eq f(35,6)x34.将x4代入g(x)，得g(4)eq f(7,6)43eq f(35,6)434132，所以此与2021年实际销售量的误差为132123

8、9(万斤)显然20)Bymxn(m0)Cymaxn(m0，a0，a1)Dymlogaxn(m0，a0，a1)答案C解析由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型3某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用()A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数答案D解析由题目信息可得，初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系4“道高一尺，魔高一丈”出于西游记第五十回用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更

9、大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是(注：1丈10尺)()Ay10 x，x0 Byeq f(1,10)x，x0Cyx10，x0 Dyx9，x0答案A解析因为一丈等于十尺，所以“道高一尺，魔高一丈”更适合用y10 x，x0来表示5某公司2022一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放)方案1：奖金10万元；方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍；方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5 000元；方案4：第n个月的奖金基本奖金7 000元200n元如果你是该公

10、司员工，你选择的奖金方案是()A方案1 B方案2C方案3 D方案4答案C解析方案2：所得奖金为4.54.51.29.9(万元)，方案3：所得奖金为2(20.5)(21)(21.5)11(万元)，方案4：所得奖金为(7 000200)(7 0002002)(7 00020012)99 600(元)9.96(万元)所以应选方案3.6(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 20.301，lg 30.477)()A6 B9 C8 D7答

11、案BC解析设经过n次过滤，产品达到市场要求，则 eq f(2,100)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)neq f(1,1 000)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)neq f(1,20)，由nlg eq f(2,3)lg 20，即n(lg 2lg 3)(1lg 2)，得neq f(1lg 2,lg 3lg 2)7.4.7通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190根据上表数据，当a0时，下列函数：yaxk；yax2bxc；yalogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与

12、上市时间x的变化关系的是_(只需写出序号即可)答案解析根据表格提供数据可知，y随着x的增大先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过程，而，对应的函数为单调函数，不符合题意；为二次函数，有递减和递增两个区间，当a0时，能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系8据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2015年产生的垃圾量为a吨，由此预测该区2022年的垃圾量应为_吨答案a(1b)7解析2016年的垃圾量为a(1b)吨，从2015年开始经过7年到2022年时该区的垃圾量应为a(1b)7吨9某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的平方成正比已知当速度为10千米/时时，燃料费为10元/

13、时，其他与速度无关的费用每小时180元(1)求轮船的速度为多少时，每千米航程成本最低？(2)若轮船限速不超过20千米/时，求每千米航程的最低成本解(1)设船速为v千米/时，则令轮船航行过程中每小时的燃料费为uav2(a0)，而当速度为10千米/时时，燃料费为10元/时，于是得10a102，解得aeq f(1,10)，因此，轮船每千米航程成本f(v)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)v2180)eq f(1,v)eq f(1,10)veq f(180,v)，v0，显然，函数f(v)在(0,30eq r(2)上单调递减，在30eq r(2)，)上单调递增，当v30eq r(2

14、)时，f(v)minf(30eq r(2)6eq r(2)，所以当轮船的速度为30eq r(2)千米/时时，每千米航程成本最低(2)由(1)知，函数f(v)在(0,20上单调递减，则当v20时，f(v)minf(20)eq f(1,10)20eq f(180,20)11，所以当轮船限速不超过20千米/时时，每千米航程的最低成本为11元10芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数

15、据情况如下表：t50110250Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Qatb，Qabt，Qalogbt中的任意一个来反映时都应有a0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Qat2btc进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Qat2btc，可得eq blcrc (

16、avs4alco1(1502 500a50bc，,10812 100a110bc，,15062 500a250bc.)解得aeq f(1,200)，beq f(3,2)，ceq f(425,2).所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Qeq f(1,200)t2eq f(3,2)teq f(425,2). (2)由(1)可得，函数Q为图象开口向上，对称轴为teq f(f(3,2),2f(1,200)150的抛物线，所以当t150天时，芦荟种植成本最低为Qeq f(1,200)1502eq f(3,2)150eq f(425,2)100(元/10 kg)11已知碳14是一种放射性元

17、素，在放射过程中，质量会不断减少已知1克碳14经过5 730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克()A5 730 B11 460 C17 190 D22 920答案B解析由题意可得，碳14的半衰期为5 730年，则再过5 730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11 460年后，质量可消耗到0.125克12根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(c,r(x)，x200时，y5不满足公司要求；中，函数y1.003x，易知满足(1)，但当x600时，y5不满足公司要求；中，函数y1log7x，易知满足(1)，且当x1 000时，y取最大值1log71 0001eq f(3,lg 7)5不满足公司要求16科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律满足关系式：ym2x21x(0 x4，m0)(1)若m2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度？(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围解(1)由题意，得m2，令y22x