高等数学不定积分的计算教学课件

1、第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念 第二节 不定积分的计算 第一节 不定积分的概念 一.换元积分法 二.分部积分法 本节主要内容: (一) 第一类换元积分法 (二) 第二类换元积分法 一.换元积分法(一) 第一类换元积分法(凑微分法)引例 : 求导数验证结果求导数验证结果将上例的解法一般化: 设则如果（可微）将上述作法总结成定理, 使之合法化, 可得 换元法积分公式 定理4.2.1 设f(u)具有原函数F(u) , (u)是连续函数, 那么难易 使用此公式关键在于将要求的积分转化为说明凑例2 计算解: 原式我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下: . 被积函数是一个复合函数 与公式作对比

2、, 公式中自变量x变成了ax+b的形式, 这时设ax+b为中间变量， 例3 计算(2)原式例4 计算原式2、被积函数中, 其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数。例6 计算例6 计算原式 第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式 ，应理解为 ,其中u可以是x的任一可微函数; 其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致. 常用的凑微分形式有: 例7 计算例7 计算例7 计算例7 计算例7 计算例7 计算解法二 例7 计算例8 计算练习 求 例8 计算注意：分母凑完全平方练习 求 例8

3、计算注意：分子比分母少一次例8 计算例8 计算例8 计算例8 计算注意：分式拆项是常用的技巧(1)有理分式积分例8 计算练习 求 例8 计算注意：分母凑完全平方练习 求 例8 计算练习 求 注意：分子比分母少一次例8 计算例8 计算例8 计算(2)被积函数含有ex 例 9例9例 9例10被积函数含有三角函数注意：偶次方用倍角公式降次例10注意：拆开奇次项凑微分例10注意：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例10例10例10例10(3)被积函数含有三角函数注意：偶次方用倍角公式降次例10注意：拆开奇次项凑微分例10注意：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例10例10例

4、10例11 计算例12 例11 计算例12 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法, 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析. 要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子.练一练练一练(二) 第二类换元积分法 定理4.2.2 函数 x (t) 有连续的导数且 (t)0，又 f (t) (t) 有原函数 F(t)，则 其中t -1(x)是x (t)的反函数. 1. 根式代换 .被积分函数中含有 （根号里是一次式）类型-根式代换法，令 例1 计算例2 计算例3 计算例4 计算例1 计算令 则 于

5、是例2 计算令 则 于是 例3 计算令 则 于是 例4 计算令 则 于是 练一练 2. 三角代换 . 被积分函数中含有 类型-三角代换法例5 计算例6 计算例7 计算例5 计算令 则xat 把变量 t 换为 x . 为简便起见, 画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.例6 计算令 则 根据 作辅助三角形, 如图.axt其中 C = C1 - lna . 例7 计算令 则 根据 作辅助三角形，如图.axt其中 C = C1 lna . 第二类换元积分法是基本积分方法之一, 使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换, 消除被积式中的根号, 最常见的形式有: （1）被积函数中含有： 设（2）被

6、积函数中含有： 设 , n为n1、n2 的最小公倍数（3）被积函数中含有： 设（4）被积函数中含有： 设（5）被积函数中含有： 设 在作三角替换时, 可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系, 以返回原积分变量. 例8 计算解法一三角代换法 令 x = tan t，于是得则 dx = sec2 tdt，根据 tan t = x，作辅助三角形，得= ln |csc t cot t | + C1xt解法二根式代换法 于是有练一练二.分部积分法设函数 u = u(x), v = v(x) 具有连续导数: u = u(x), v = v (x)， 根据乘积微分公式于是有即d(uv) = ud

7、v + vdu，分部积分公式难易说明：1. 分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分.2. 用法： 把被积函数 f (x) 分解为两部分因式相乘的形式, 其中一部分因式看作 u , 另一部分因式看作 v , 而后套用公式, 把求不定积分 的问题转化为求不定积分 的问题.3. 关键: u , v 选择要得当例1 计算比 更难求失败！可见运用分部积分公式的关键是恰当选择u，v . 当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照“反、对、幂、指、三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为u，而将排在后的另一个函数选作v. 例3 计算 当应用分部积分公式后得到的积分还需用分部积分公式时，可以继续使用，直到可以求出积分结果为止。例4 计算例5 计算例6 计算例7 计算 例8 计算例9 计算例10 计算例11 计算例12 计算例4 计算例5 计算练习 求 例6 计算例7 计算 例 8 计算移项 , 两边除以2 , 并加积分常数 , 得 当两次应用分部积分法后又出现了原积分时, 我们是用解方程的方法求出积分结果的. 注意 例9 计算例10 计算令 则 于是例11 计算求上式右端的不定积分 用第二换元法.则 dx = 2tdt ,