2022年安徽省合肥市肥东中学数学高二下期末教学质量检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，y=f(x)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)=（ ）A1B0C2D

2、42在中，若，则自然数的值是（ ）A7B8C9D103已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（ ）ABCD4已知样本数据点集合为，样本中心点为，且其回归直线方程为，则当时，的估计值为（ ）ABCD5已知随机变量，若，则的值为( )A0.1B0.3C0.6D0.46如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则（ ）ABCD7用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）ABCD18已知某随机变量的概率密度函数为则随机变量落在区间内在概率为( )ABCD9动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是

3、 （ ）ABCD10设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A从东边上山B从西边上山C从南边上山D从北边上山11设点和直线分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，若关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A2BCD12已知回归方程，而试验得到一组数据是，则残差平方和是（ ）A0.01B0.02C0.03D0.04二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13将极坐标化成直角坐标为_.14若函数，且在上有最大值，则最大值为_15在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是_.16过抛物线的焦点作直线与该抛物线

4、交于两点，过其中一交点向准线作垂线，垂足为，若是面积为的等边三角形，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某校举办国学知识问答中，有一道题目有5个选项A，B，C，D，E，并告知考生正确选项个数不超过3个，满分5分，若该题正确答案为，赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”.假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.（1）若张小雷同学无法判断所有选项，只能猜，他在犹豫答案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”或者“任选3个选项作为答案”，以得分期望为决策依据，则他的最佳方案是哪一种？说

5、明理由.（2）已知有10名同学的答案都是3个选项，且他们的答案互不相同，他们此题的平均得分为x分.现从这10名同学中任选3名，计算得到这3名考生此题得分的平均分为y分，试求的概率.18（12分）已知函数.（1）时，求在点处的函数切线方程；（2）时，讨论函数的单调区间和极值点19（12分）在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证: 平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20（12分）已知动点M（x，y）满足，点M的轨迹为曲线E.（1）求E的标准方程；（2）过点F（1,0）作直线交曲线E于P,Q两点，交轴于R点，若，证明：为定值.21（12分）设函数f（x）3

6、2x+2xa（1）当a1时，求不等式f（x）3的解集；（2）若存在xR使得不等式f（x）t+2对任意t0恒成立，求实数a的取值范围22（10分）甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为.（1）求的分布列；（2）为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令

7、.证明：点的中点横坐标为；（3）在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】将点3,1的坐标代入切线方程得出k的值，得出f3=ky=gx求导得gx【详解】将点3,1代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1，得k=-13，所以，由于点3,1在函数y=fx的图象上，则f对函数gx=xfxg3【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点是切线与函数图象的公共点。2、B【解析】利用二项

8、式的通项公式求出的表达式,最后根据,解方程即可求出自然数的值.【详解】二项式的通项公式为：,因此,所以,解得.故选B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了数学运算能力.3、A【解析】由题意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2a2，解得b2=12所以双曲线的方程为故答案为 故答案选A.4、D【解析】根据线性回归直线过样本中心点，可得，然后代值计算，可得结果.【详解】由题可知：所以回归直线方程为当当时，故选：D【点睛】本题考查线性回归方程，掌握回归系数的求法以及回归直线必过样本中心点，属基础题.5、D【解析】根据题意随机变量可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性

9、求解，即可得出答案【详解】根据正态分布可知，故故答案选D【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率6、D【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，包含 个小三角形，同时又在内的小三角形共有 个，所以 ，故选D.7、A【解析】先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数.【详解】n=k+1时左边最后的一项为，n=k时左边最后一项为，所以左边增加的项数为.故选：A【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.8、B【解析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率【详解】由随机变量X的概率密度函数的意义得，故选B【点睛】随机变量

10、的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量在这一区间上概率9、B【解析】设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.【详解】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故 ,又在圆上,故,即即故选：B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.10、D【解析】从东边上山共种;从西边上山共种;从南边上山共种;从北边上山共种;所以应从北边上山.故选D.11、C【解析】取双曲线的左焦点为，设右焦点为，为渐近线，与渐近线的交点为关于直线的对称点设为，连接，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值【详解】如图所示，取双曲线的左焦点为，设右焦点为，为渐近线，

11、与渐近线的交点为关于直线的对称点设为，连接，直线与线段的交点为，因为点与关于直线对称，则，且为的中点，所以，根据双曲线的定义，有，则，即，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题12、C【解析】因为残差，所以残差的平方和为（5.15）2（6.97）2（9.19）20.03.故选C.考点：残差的有关计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：由题意得，所以直角坐标为故答案为：考点：极坐标与直角坐标的互化.14、3【解析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，

12、进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取极大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案为3【点睛】本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型.15、.【解析】试题分析：点的直角坐标为，将圆的方程化为直角坐标方程为，化为标准式得，圆心坐标为，半径长为，而点在圆上，圆心与点之间连线平行于轴，故所求的切线方程为，其极坐标方程为.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程16、2.【解析】分析：根据是面积为的等边三角形，算出边长，

13、及，得出p与边长的关系详解：是面积为的等边三角形即 即p=2点晴：本题主要考察抛物线的定义及性质，在抛物线类的题目中，做题的过程中要抓住抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等的条件是做题的关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）他的最佳方案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”，理由见解析；（2）.【解析】（1）分情况讨论：当任选1个选项的得分为X分，可得X可取0，2，利用组合运算算出概率，并计算出期望；当任选2个选项的得分为Y分，可得Y可取0，4，利用组合运算算出概率，并计算出期望；当任选3个选项的得分为Z分，则Z可取0，1，5，利用

14、组合运算算出概率，并计算出期望；比较数值大小即可.（2）由题意可得这10名考生中有3人得分为0分，6人得分为1分，1人得分为5分，可得，由，、可得3人得分总分小于3.3，即可求解.【详解】（1）设任选1个选项的得分为X分，则X可取0，2，设任选2个选项的得分为Y分，则Y可取0，4， 设任选3个选项的得分为Z分，则Z可取0，1，5， 所以他的最佳方案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案” （2）由于这10名同学答案互不相同，且可能的答案总数为10，则这10名考生中有3人得分为0分，6人得分为1分，1人得分为5分，则有，则3人得分总分小于3.3，则【点睛】本题考查了古典概型的概率计

15、算公式、组合数的计算以及数学期望，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18、（1）（2）的减区间是和，增区间是；为的极小值点，为的极大值点【解析】(1)根据函数求导法则求出得切线的斜率，得切线的方程； (2）对函数求导研究导函数的正负，得到函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）时，,，在点处的切线：，即：.（未化成一般式扣1分）（2）时，其，由解得，当或时，当时，在和上单减，在上单增，为的极小值点，为的极大值点.综上，的减区间是和，增区间是；为的极小值点，为的极大值点.【点睛】本题考查导函数的几何意义求切线方程，求导得单调性及极值，属于中档题.19、（1）见解析；（2）【解析】(1) 连接，根

16、据几何关系得到, 由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果【详解】（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面，可得平面，又由于四边形 是边长为2的菱形，所以，从而平面.（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，有，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.20、 (1

17、);(2)-1.【解析】分析：（）由，根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，可求得，从而可得曲线的方程；（II）设，由，点在曲线上可得，同理可得，由可得是方程的两个根，为定值.详解：（）由，可得点M（x，y）到定点A（1，0），B（1，0）的距离等于之和等于且AB，所以动点N的轨迹是以C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且长轴长为，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，曲线E的方程为：； （）法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），由，（x1，y1y0）=1（1x1，y1），过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，同理可得：由可得1、2是方程x2+1x+22y02=0

18、的两个根，1+2为定值1法2：依题意得的斜率一定存在，设斜率为k，则直线方程为代入椭圆方程得：设，则，由得：得同理得：则为定值。点睛：本题主要考查待定义法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21、（1）；（2）【解析】（1）解法一：利用分类讨论法去掉绝对值，解对应的不等式即可；解法二：利用分段函数表示f（x），作出yf（x）和直线y3的图象，利用图象求出不等式的解集；（2）由题意可得f（x）的最小值不大于t2的最小值，利用绝对值不等式求出f（x）的最小值，利用基本不等式求出t2的最小值，再列不等式求得实数a的取值范围【详解】（1）解法一：当a1时，f（x）|32x|+|2x1|；当x时，不等式f（x）3可化为：2x+12x+33，解得x，此时x；当x时，不等式f（x）3可化为为：2x12x+33，此不等式恒成立，此时得x；当x时，不等式f（x）3可化为：