空间的平面和直线讲解课件

1、4.4空间的平面和直线一、平面方程 二、空间直线的方程 三、与直线、平面有关的一些问题四、小结4.4空间的平面和直线一、平面方程 二、空间直线的方程一、平面方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量已知法线向量设平面上的任一点为必有1、平面的点法式方程点一、平面方程 如果一非零向量垂直于一平面，这平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的解取所求平面方程为化简得解取所求平面方程为化简得由平面的点法式方程法向量 定理

2、3 平面方程是三元一次方程，而三元一次方程必然表示一个平面. 2、平面的一般方程由平面的点法式方程法向量 定理3 平面方程是三元一次方平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过 轴；平面平行于 轴；平面平行于 坐标面；类似地可讨论 情形.类似地可讨论 情形.平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过 设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为将三点坐标代入得解设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程将代入所设方程得平面的截距式方程设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解设平面为由所求平面与已知

3、平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为化简得令代入体积式所求平面方程为3. 两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 3. 两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角(通常指锐按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：、重合垂直平行按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：、例（补充） 研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角例（补充） 研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交两平面平行两平面平行但不重合两平面平行两平面重合.两平面平行两平面平行但不重合两平面平行两平面重合.例22 一平面通过两点M

4、1(1，1，1)和M2(0，1，-1)且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程. 解 设所求平面的一个法向量为n=(A,B,C)， 由-A-2C=0A+B+C=0可得A=-2C,B=C. M1M2=(-1,0,-2)在所求平面上， 与n垂直， M1M2-A-2C=0. 又 所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0， 又有A+B+C=0， 例22 一平面通过两点M1(1，1，1)和M2(0，1，-将A=-2C,B=C代入上式，并约去C(C0)， 便得-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0，就是所求的平面方程.即2x-y-z=0由平面的点法式方程可知， 所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C

5、(z-1)=0 将A=-2C,B=C代入上式，并约去C(C0)， 便得-思考题思考题思考题解答思考题解答二、 空间直线的方程 定义空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程1.空间直线的一般方程二、 空间直线的方程 定义空间直线可看成两平面的交线空间直方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量/2.直线的对称式方程与参数方程方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程（或点向式方程，有时也称为标准方程） 直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的

6、方例23 用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标例23 用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式3、两直线的夹角 按两向量的夹角的余弦公式 ，直线L1和直线L2的夹角可由下式确定。 定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹两直线的位置关系：/直线直线例如，或重合两直线的位置关系：/直线直线例如，或重合解 直线l1的方向向量为s1=(1,-4,1)，直线l2的方向向量为s2=(2,-2

7、,-1) ，那么有 所以例24 求直线 l1: 和直线的夹角.l2: 设直线l1和l2的夹角为 ，解 直线l1的方向向量为s1=(1,-4,1)，直线l2定义直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角4、直线与平面的夹角或定义直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：/直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：/解为所求夹角解为所求夹角三、 与直线、平面有关的一些问题1. 距离 MSldM0(1) 点到直线的距离 设M0是直线l外一点，M是直线l上任一点，且直线的方向向量为S ，点M0到直线l的距离为d，所以点M0到直线l 的距

8、离为：由于以MM0， S为两邻边的平行四边形的面积 = |MM0 S |=| S |d，三、 与直线、平面有关的一些问题1. 距离 MSldM0 例26 求两条平行直线 与 之间的距离. 解 在两条直线上分别取点M0（7，1，3）和点M（2，-1，0），则又 s=(3,4,2)所以MM0=（5，2，3）， 例26 求两条平行直线 又所以这两条直线的距离为 又所以这两条直线的距离为 (2) 点到平面的距离 已知平面：Ax+By+Cz+D=0及平面外点P0(x0,y0,z0)，下面来求点P0到平面的距离d. n 在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)，并作一法向量n，由于而则，P0P1(2) 点

9、到平面的距离 已知平面：Ax+By+Cz所以(注意： )P1P0=(x0-x1,y0-y1,z0-z1)所以(注意： 由此得点P0到平面：Ax+By+Cz+D=0的距离 例如，求点(2，1，1)到平面x+y-z+1=0的距离， 利用上面公式，便得 说明：要求两平行平面的距离时，只需在一个平面上取一点，求这点到另一个平面的垂直距离即可. 点到平面的距离公式由此得点P0到平面：Ax+By+Cz+D=0的距离 例如，例27 已知一个平面平行于一个定平面0：x+y+z+1=0，且相隔 单位的距离，求这平面的方程.解 设这个平面的方程为 x+y+z+D=0. 取0上一点P0(0,0,-1)， 代入公式可

10、得P0到的距离为 因此所求平面的方程为x+y+z-2=0 或 x+y+z+4=0. 解得 D=13，例27 已知一个平面平行于一个定平面0：x+y+z+1=02. 平面束 有时用平面束的方程解题比较简便，现在我们来介绍它的方程. 设直线l由方程组 所确定， 通过定直线 的所有平面的全体称为平面束. 其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.易知，通过定直线l 的平面束方程为： 2. 平面束 有时用平面束的方程解题比较简便，现在我们 例28 求直线在平面x+y+z=0上的投影直线方程. 解 设过直线 的平面束方程为： (x+y-z-1)+(x-y+z+1)=0， 即 (1+)x+(1-

11、)y+(-1+)z+(-1+)=0 其中为特定常数. 例28 求直线在平面x+y+z=0上的投影直线方由此得=-1， 即y-z-1=0 故，投影直线的方程为 (1+)1+(1-)1+(-1+)1=0这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是：所以，投影平面的方程为2y-2z-2=0，由此得=-1， 即y-z-1=0 故，投影直线的方程为 ( 解 因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直， 所以可以取 因此所求直线的方程为 3. 杂例 例29 求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3，2，5)的直线的方程. 解 因为所求直

12、线与两平面的交线平行，也就是直线的方 例30 求直线 与平面2x+y+z-6=0的交点. x=2+t,y=3+t,z=4+2t，2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0 解此方程，得t=-1， 把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1,y=2,z=2. 解 所给直线的参数方程为代入平面方程中，得 例30 求直线 那么这平面的方程应为 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0 已知直线的参数方程为 x=-1+3t,y=1+2t,z=-t , (1)(2) 例31 求过点(2，1，3)且与直线垂直相交的直线的方程. 解 先作一平面过点(2，1，3)且垂直于已知直线，再

13、求已知直线与这平面的交点，那么这平面的方程应为 3(x-2)+2(y-1)-(z-3) 所求直线的一个方向向量是以点(2，1，3)为起点，点 为终点的向量，故所求直线的方程为 从而求得交点为 把(2)代入(1)中，求得 t = ， 即 所求直线的一个方向向量是以点(2，1，3)为起点，点 例32 求过点(-1，0，4)且平行于平面3x-4y+z-10=0，又与直线相交的直线方程. 解 设过点(-1，0，4)且与已知平面平行的平面方程为3x-4y+z+D=0， 将点(-1，0，4)代入得D=-1, 即3x-4y+z-1=0 （1） 令 例32 求过点(-1，0，4)且平行于平面3x-即x=t-1，y=t+3, z=2t， 将其代入(1)得3(t-1)-4(t+3)+2t-1=0 解得t=16， 故交点为(15，19，32). 则所求直线的方向向量故所求直线的方程为 s=(15-(-1),19-0,32-4)=(16,19,28). 即x=t-1，y=t+3, z=2t， 将其代入(1)得31.平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角.3.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方