幂的乘方与积的乘方

1、关于幂的乘方与积的乘方第1页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三幂的意义:aa an个aan= 同底数幂的乘法运算法则：am an=am+n（m,n都是正整数）回顾与思考第2页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三幂的乘方的意义幂的乘方：就是指几个相同的幂相乘。例如：（am）n 是指N个am相乘。读作：a的m次幂的n次方。例如： ( 22 )3是指3个22相乘，读作：2的2次幂的3次方。第3页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三做一做( 22 )3= _ ； ( a2 )3= _ ；( a2 )m= _ （m是正整数）.26a6a2m第

2、4页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三( 22 )3 = 222222 = 22+2+2 = 223 = 26 .( 22 )3( a2 )m = a2 a2 a2 = a2+2+2 = a2m = a2m.m个a2m个2( a2 )m（m是正整数）( a2 )3( a2 )3 = a2a2a2 = a2+2+2 = a23 = a6 .第5页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？( 22 )3 , ( a2 )3 ,( a2 )m（m是正整数）底数不变，指数相乘.第6页，共56页，2022年，5月20

3、日，13点34分，星期三(am)n = am am am= am+m+m= amn(m，n都是正整数). n个am n个m 同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即(am)n=amn(m，n都是正整数).结论（幂的意义）（同底数幂的乘法性质）第7页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三(am)n=amn (m,n都是正整数)底数 ，指数 . 幂的乘方，幂 的 乘 方 法则不变相乘第8页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三举例例4 计算： （1）(105)2； （2）-(a3)4 . 第9页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三（1） (

4、105)2 解 (105)2= 1052= 1010.（2） -(a3)4 解 -(a3)4 = -a34 = -a12.第10页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三举例例5 计算： （1）( xm )4 （m是正整数）； （2）( a4 )3 a3 .第11页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三（1） (xm)4 （m是正整数）解 (xm)4= xm4= x4m.（2） (a4)3 a3解 (a4)3 a3 = a43 a3 = a15.= a12+3.第12页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三【例2】 计算：x2x4(x3)2；

5、(a3)3(a4)3解： 原式x2+4 x32x6x62x6原式a9a12a9+12a21-幂的乘方- 同底数幂相乘-合并同类项第13页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三巩固练习：1. 计算 （y2)3. y2. 2(a2)6. a3 -（a3)4 . a3解：原式= y6. y2=y8解：原式= 2a12. a3 a12. a3=a12. a3= a15. 第14页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三练习1. 填空： （1）(104)3= ； （2）(a3)3= ； （3）-(x3)5= ； （4）(x2)3 x2= . 1012a9-x15x8第1

6、5页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三2. 下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(a4)3=a7；（2）(a3)2=a9.不对，应是a43=a12.不对，应是a32=a6.第16页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三练习1、计算(5)(am)4 (6)(x4)3(x2)8 (7)(a2)3(a3)4 (8)(am+3)2 (9)(x-3y)m3 (10)9m27n 注1：幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式. 第17页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三练习2、判断下列各式的对错，并改正(1)(

7、a5)2=a7 (2)a5a2=a10 (3)(x3)3=x6 (4)x3m+1=(x3)m+1(5)a6a4=a24 (6)4m4n=22(m+n) 注2：幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同第18页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三注3：多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则.(am)np=(amn)p=amnp注4：幂的乘方公式还可逆用.amn=(am)n =(an)m例如计算(a3)25的值第19页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三解： am=3, an=5a3m+2n=a3ma2n=(am)3(an)2=3352=675.第20页，共56页

8、，2022年，5月20日，13点34分，星期三例3 计算 (x-y)m(y-x)2m+(y-x)3m.解：原式= (x-y)m(x-y)2m+(y-x)3m=(x-y)3m+(y-x)3m 0 m为奇数= 2(x-y)3m m为偶数第21页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三第22页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三提高训练第23页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三2、在括号内填上指数或底数第24页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三第25页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三第26页，共5

9、6页，2022年，5月20日，13点34分，星期三第27页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三第28页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三第29页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三幂的意义:aa an个aan= 同底数幂的乘法运算法则：am an=am+n（m,n都是正整数） 幂的乘方运算法则:(am)n= (m、n都是正整数)amn回顾与思考第30页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三积的乘方的意义积的乘方概念：是指底数是乘积形式的乘方。例如： (ab)3 ) (3x)2 (-2xy)4 第31页，共56页，2

10、022年，5月20日，13点34分，星期三( 3x )2 = 3x3x = (33) (xx) = 9x2.( 3x )2( ab )3 = (ab) (ab) (ab) = (aaa) (bbb)= a3b3.( ab )3( 4y )3(4y)3=(4y)(4y)(4y)=(444)(yyy)=64y3 .（乘方的意义）（使用交换律和结合律）第32页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三(ab)n=anbn(n为正整数).猜想(ab)n=anbn第33页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：(ab)n = ab

11、abab ( ) =(aaa) (bbb) ( ) =anbn ( ) 幂的意义乘法交换律、结合律 幂的意义n个abn个an个b(ab)n = anbn的证明第34页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三上式显示:积的乘方=积的乘方乘方的积(ab)n = anbn（m,n都是正整数）每个因式分别乘方后的积 积的乘方法则你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗? (a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即 “(a+b)n= anbn ” 成立吗？ 又 “(a+b)n= an+bn ” 成立吗？第35页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 三个或三个以上的积的

12、乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示?(abc)n=anbncn怎样证明 ?(abc)n=(ab)cn=(ab)ncn= anbncn.第36页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 (abc)n = ? (n为正整数). (abc)n = (abc) (abc) =(a a a)(b b b) (c c c) = anbncnn个abcn个an个bn个c议一议第37页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三举例例6 计算： （1）(-2x)3； （2）(-4xy)2； （3）(xy2)3； （4）第38页，共56页，2022年，5月20日，13点34

13、分，星期三（1） (-2x)3 （2） (-4xy)2解 (-2x)3= (-2)3 x3= -8x3.解 (-4xy)2= (-4)2 x2 y2= 16x2y2.第39页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三（3） (xy2)3 解 (xy2)3= x3 (y2)3= x3y6.第40页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三举例例7 计算： 2(a2b2)3 - 3(a3b3)2.解 2(a2b2)3 -3(a3b3)2= 2a6b6 -3a6b6= -a6b6.第41页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三练习1. 计算： （1） ；

14、 （2）(-xy)4 ； （3）(-2m2n)3； （4）(-3ab2c3)4.第42页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 解： （2） (-xy)4 = x4y4第43页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 （3）(-2m2n)3 =(-2)3 (m2)3 n3 = -8m6n3 （4） (-3ab2c3)4 = (-3)4 a4 (b2)4 (c3)4 = 81a4b8c12第44页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三2. 下面的计算对不对？如果不对，应 怎样改正？（1）(ab3)2=ab6（2）(2xy)3=6x3y3答：不对

15、，应是(ab3)2=a2b6.答：不对，应是(2xy)3=8x3y3.第45页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三3. 计算： -( xyz )4 + ( 2x2y2z2 )2.解： -(xyz )4 + (2x2y2z2 )2 = -x4y4z4 + 4x4y4z4 = 3x4y4z4.第46页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三中考 试题例1 化简-a (-2a)3(-a)57的结果是 .解析原式 = -a (-1)3 23a3 (-1)5 a57 = -23 (a1+3+5)7 = (-1)7 237 a97 = -221a63 .-221a63

16、第47页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三中考 试题例2C计算 的结果正确的是（ ）解析原式 = (-1)3 ( )3 (a2)3 b3 =故，应选择C.第48页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三公式的反向使用 试用简便方法计算:(ab)n = anbn （m,n都是正整数）反向使用:anbn = (ab)n (1) 2353(2) 2858(3) (-5)16 (-2)15(4) 24 44 (-0.125)4= (25)3= 103= (25)8= 108= (-5)(-5)(-2)15= -51015 = 24(-0.125)4= 14= 1 .第49页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 试用简便方法计算:(1) 2353 ;(2) 2858 ;(3) (-5)16 (-2)15 (4) 24 44 (-0.125)4 = (25)3= 103= (25)8= 108= (-5)(-5)(-2)15= 24(-0.125)4= 1 .= -51015 第50页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 3、计算： 第51页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三 3、计算： 第52页，共56页，2022年，5月20日，13点34分，星期三计算下列各题第53页，共56