湘教版 学案 三次函数的性质 单调区间和极值

1、33.3 次数性：调间极1理解函最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某区间上函数的最值极值反映的是函数在某一点附近的局部性质不是函数在整个定义域内的 性质但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大哪个值最小函数的 极值与最值有怎样的关系？答函数的最大值最小值是比较整个定义区间的函数值得出的函数的极 值是比较极值点附近的函数值得出的函数的极值可以有多个但最值只能有一 个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值， 有最值的未必有极值极值有可能成为最值最值只要不在端点处取得必定是极 值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值三次函数的导数零点与其单调区间

2、和极值设 F()2cxd(a，F()3ax2 填写下表： 当 a0 ，F()的点 F()、(x的性质2c(a无xxu xuv)F()的号x，u (v，时，F()0 F(x0 F()0 xuv时 F( )0F()的单调性F()的值在， 上递增无在， )上递增无在(，)上递增；在(uv) 上递减；在(v，)上递增在 xu 取极大值， 在 x 处取极小值2 2 当 a0 ，F()的零点 F()、(x的性质无xxu 和 xuv)F()的符号x，u (v，时，F()0 F(x0 F()0F()的调性F()的值在，)上递 减无在，)上 递减无在(，)上递减；在 (u，上递增；在(v，)上递减 在 xu 取

3、极小值，在 x 处取极大值要点一求三次函数的单调区间和极值点例 1求下列函数的单调区间和极值点：f()23x26x1；f()29x212x7.解f()6 666(1)由于 f(x恒正，f()在(，)递增无极值点f()618x123x2)6(1)(x2)f(x在，和2)上均为负，在(为正， f(x在(，1)(2)上递减，在(递增， x1 函数 f()极小值点，x2 为极大值点规律方法对此类题目了 (x的符号对函数 (x取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟跟踪演练 1求下列函数的单调区间和极值点：f()x3；f()x31 x22x5.3 23 2 3 2 2 3 3 3 3 m

4、ax3 max3 3 23 2 3 2 2 3 3 3 3 max3 max3 2a 3 3 max解f()32x124(3)(80又30f(x)0，f()为增函数； 当 x 1(x)0，f()增函数所以 f(x的递增区间为( ， )和(，) f(x)递减区间为 ， 根据 f(x的单调性及 fx0 零点知 x1 为函数 f()极小值点23为其极大值点要点二含参数的函数的最值问题例 2解已知 a 实数，函数 ()( ，求 f(x在区间上的最大值 f(xxa)f)xx)2a令 f(x0解得 x0 .2a当 0即 a0 ，f()在上单调递增， 从而 f(x) f8 a.2a当 2即 a3 ，f()在

5、上单调递减， 从而 f(x) f0.2a当 0 ，即 0a ，f(x在 在 ，2 4a2从而 f(x) 3max3 1 2 3 max3 2 max3 2 2 43 3 3 27maxmaxmax3 1 2 3 max3 2 max3 2 2 43 3 3 27maxmax2 27 4a综上所述，f(x) 规律方法由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化以解决这类问题常需要分类讨论结合不等式的知识 进行求解a3.在本例中，将区间改为结果如何？跟踪演练 22解令 f(x0解得 x 0 a2当 a0即 a0 ，f()上单调递增，从而 (x) f(0)0 2 3当

6、a1即 a 时，f()上单调递减，从而 f(x) f(1)；2 3当1 ，即 a0 ，f(x在 a，0 f(x) f 综上所述：f(x) 31aa ， 4 a a0 0a0.要点三函数极值的应用例 3设函数 f(x22ttx，t0)求 f()的最小值 h() ；若 h()2t 对 t (0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围解f() (xt)2t3tR，t0)当 xt 时，f()取最小值 f(t)t1即 ht)t3t1.令 g()ht)2t)t33tm由 g()3t230 t1t不合题意，舍去)maxmaxmaxmax当 t 变化时 g()、gt) 变化情况如下表：t gtgt)递增101递减

7、对 t(0,2)，当 t1 ，gt) m ht)2t t恒成立，也就是 g()0对 成立， 只需 gt) m0m故实数 m 取值范围是(1)规律方法“恒成立 ”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化 f( 恒成 max； ( )成立min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)类问题特别要小 “最能否取得 ” “等式中是否含等 ” 情况，以此来确定参数的范围能否取得“跟踪演练 3设函数 ()2x39x2128c，若对任意的 ，都有 (x)成立，求 c 的取值范围若对任意的 ，都有 f(x)0当 x时，f()fx时，f(x的最大值为 f(3)9

8、8c.对任意的 x，有 f()c2 成立，98c2，即 c1 或 cc 的取值范围为(，1)(9) 由(1) f( xf (3)9，98 即 c1 c9 2 2 2 2 2 2 maxc 的取值范围为(，19)1函数 ()x2 A(2)f(3) Cf(2)，47，在 上的最大值和最小值分别是( )B(3)，f(5) Df(5)，f(3)答案解析Bf(x24当 x时，f()0故 f(x在上单调递减，故 f(x的最大值和最小值分别是 ，f(5)2函数 ()3x )A有最值，但无最小值 C无最大值，但有最小值B有最大值，也有最小值 D既无最大值，也无最小值答案解析Df(x3x23x1)(1)当 (时，f()0则函数在区 为增函数，所以 最大值为 y sin 故选 C.4 函数 f() x3 x2 9 在区间上的最大值为10 ，则其最小值为_答案解析71 f(x3x2693(3)(x1)由 f(x0 x3 x1. 又 f(k76f(3)k27maxmimaxmif(k5f20.由 f(x) k510得 5 f(x) k761函数的最值时，应注意以下几点(1)数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念闭区间上的连续函数一定