概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4

1、a 2 a 2 2 2 第章 机量数特1. 甲两台自动床，生产同一种零件，生 1000 产品所出的次品数别离用 x 表示，通过一段时刻的考察，知 ， 的布如： 2 1 2x试比较两台车床的好坏。 解：因为 E故平均来讲，甲机床要优于乙机床。 持型随机变量密度为 a f ( ) 又知 求 k, a 之 。 x 其它( k , a 0)解：第一由密度函数性质知f ( ) dx 即kx dx k ；又 即有 ( x)dx dx a ；由上述两式可求得 k 。 已知随变律为 3 1/81/4 1/4求 ，E。解：E=(-1)(1/8)+0(1/4)=11/8;E=(-1)2(1/8)+02(3/8)+

2、3(1/4)=31/8;E=(1-(-1)22(1/4)+(1-2)2(3/8)+(1-3)2或， E(1-=(1-2 (E2E=17/8 若密为f ( ) 。求(1)(2)E。解：12xe | dx中因 e-| 为偶函数 为函，故 e-| 为函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上| x | f ( x)dx 12| x e|dx xe0dx 故EE2x f dx12 dx 0 e dx 。 轮横向摇摆的随机振密为 f x ) xAxe x 0)x 求(1)肯定系数 A；(2)碰到大于其振幅均值的概率是多少？ 1f ( x) x f ( x) x 2 1 2 i i ) 。i

3、i 20解：(1)由密度函数性质知f ( ) dx 即 dx A 12即 e 2 , 2 x E 0 xxex x20 x 2) 22 d (2) 222，P e2 。 一仪器由两个主要部件组成其总长度为此二部件长度和这两个部件的长 和个此独立的随机变量，其散布律如下表： 10 11试求 (解：因为 故 (=+=；又彼此独立的，因此 E( 已知(合率密度为 7xy ( x ) 00 0 试求 (+)。解：E()= x y f x, y ) 0 0 x )4 。 一航送客车载有 位客自机场开出，旅客有 10 个站能够下车，如抵达一个 车站没有旅客下车就不断车。车的次数，求 E每位旅客在各个车站下

4、车是等 可能的，并设各旅客是不是下车是彼此独立。解：引入随机变量i 在第i站没有人下车 1, 在第i有人下.易知， 2，此刻求 由题设，任一游客在第 i 站下的概率为 9/10因 位客都不在第 i 站车的概率为9/10)，在第 i 站车的概率为 。也就是故P=0=(9/10)20 P20 E20(i )，因此，E ) E / 10) ) 1 2 10 1 2 10(次) 圆直径b服从均匀散布试圆的周长和的面积的数学 期望和方差。解：由于，上的均匀散布，因密为2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 f ( ) 1b

5、, a Eb ) / 2,0 其它 D ) 2 / 而圆的周长 =有EL=( a ) / 2，=D(2( )2/ ；=Ex dx ( a ab )，又4=ba41 dx (b 5432a234)，因此=EA2)2= ( ) ) 16 ( a ab )= (a 5) ( ab ) ( ) (4a ) 10. 设机立，其概率密度别离为：0 x f( x ) 1 x 0 其它，f ( ) y 其它试求 (解：因为E dx 02dx ) dx 1，E2x f ( x) dx 0 x (2 / 6 1，E yf y) dx ye dy ，E2 y2f y dx 02edy 2，又的，故有 ED( E E

6、 7 / 。11. 设随机立，且 E， (。解： ( ()= (，又立因此EE E , E DE2，同理 E2故有 E( =D2+2 ED2。12. 若续随机变量的概率密度是f ( x ) 0bx x 其它且已知 D求系数 a, b c 。解：因为f ( x) ，即有0 2 ) 即 a / 3 / 31 2 1 2 2 0 0 x f ( x) ， 1 2 1 2 2 0 0 x f ( x) ， x 又 0 x ) dx 0.5, / 4 / 2 又 D因此 E=，因此0 x ( ax 0.4, a / 4 / 解、组成的方程组，解得 a=12，=-12，=3。 13. 设机函数 （x0,求

7、 ， 。解：先求密函数, 它.dFx） f ( x) dxe0, 它故 xf ( x ) dx ) | 1e | 01，E 因此D 。从而有E+1)=2E2，D。14. 证： =EE(2 的值最小，且最小值为 D解：E()2=() (E )+(E)= E(E2= EE即当 k= E()2取得最小值 15. 若，不求(，接和布可否计算出 D(算？解：因为立，故 D( E(= EE= EE(E16. 一仪有 10 个独立工作的元件组成，每一个元件发生故障的概率，试求发生 故障的元件数的方差。解：引入随机变量i 在第i元件不发生故障, 1, 在i元件发故易知， 0.1) 0.09 1 10 i，故D

8、 ( ) D 2D 0.09 。17. 设机利igh)散布，其概率密度为 f ( ) 0 xe 0 0 0)求 解：E e 0dx 2 2 dx4 2 . 1 2 试 求： 2 2 2 2 2 2 . 1 2 试 求： 2 2 2 2 2 2 i.iji.i i j . je x 2 x 2 2 E2 2f 02xxe x e 0 0 = 2 D E 。18. 若 彼此独立的随机变量，且 9 ， 20，E 12 2 3 ， ， 2 1 2 数学期望和方差。解：E 1 3 1 E2 E3 ，故2 ( )1 3 E 1 3 1 2 1 3 83 D 947 106。19.设二维随机变量合布律为 1

9、/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 计算 ，判断独立。证明：由题的际散布律各为1/81/81/8 -1 1 3/8 p p i,j=1,2,3)故 3 3E x p . 8 8又i 3/82/83/8 3 3E 0, j E y i j iji j ( ，即。20. 设维机变(合概率密度为：51 2 dxD 1 1 2 1 2 dxD 1 1 2 解 ：由于D Df ) 0 2 2 其它实验证的但独立。 解：先求 f xf ():f ( ) f ( x y ) 1 11 2dy 1 2,x 其.同理f ( x f ( x y ) 21 0, 其它显然，(x, ) (x) ()，故。又E

10、( , y)dx 21 Eyf ( ) y 故 (1 1 1 1dy 0 ，。21. 设机(合概率密度为y x x f ( x ) 其它0求：Eov( E xf ( ( ) dx xdy 解： 0 0 xf x ) dxdy yf ( y ) 0, xf ( x ) dxdy 2 ( ( 323, 设随机变 D，=36， ，算 D( D D ( 25 36 D D25 故 D(X+Y)=61+24=85， D(X。 23. 证：，有：(1)(2)DD E 证明：(1)为 ，题知关的， =0， 624. 设(。 试求 。解 ：因为(， 故联合密度为1 x 1 x 1 x0 24. 设(。 试求

11、。解 ：因为(， 故联合密度为1 x 1 x 1 x0 41 1 x2 2 2 2 因此，有 (2)(=E 2(EEE= E-(E+-(2(E 2(ED y x上服从均匀分布 y x上服从均匀分布 x 0 xf ( x, ) 0, 其 2E xf ( , y ) 0 1 ( dxdy , 1 ( dx 1 1 E dy dx , dx ,0 2 0 6D D22 22 2 / / 3)22 / / 18 ( / (2 / 3) / 3) D 1 / 1 18 。25. 设(联概率密度为f ( x y) 40 y 其它证明：但与独立。解：概密度为f ( ) f ( x, y) dy 1 xy d

12、y 4 2 其同理f ( x) f ( x, y ) 1, 2 其.显然， f ) () (y，故令 12 12，则F ( 当 z0 ， 12 ；F ( z ) 当 0z1 时 2 z ( x)dx 12dx z；当 z1 ，7F ( z ) 1 2 2w z w1 1 22 2 2 2 2 21 2 2w z w1 1 22 2 2 2 2 2 2 2故f ( z z 0 它.类似地可求 散布密度函数为1f ( 0, 0 令()的散布函数为 ( w)，则有当 z0,或 w0易知 F, ；当 0z，0 w 时 ( z w P , P 1 xy dx dy ；当 z，0 w1 时 ( w w / 2；当 0z，w 时，F ( w ；当 z1,或 w1 ( ； 故()的联合散布密度函数为f z w ( , ) zw 0 w 它.f ( z ) ( ) f ( z , w)因此有 ，即 彼此独立的。1 26. 设 为独立的随机变量，且都