机构学和机器人学chap2

1、第二章 运动学中的向量法 向量法是描述刚体运动的一种基本方法，可用直角坐标，也可用极坐标表示。2-1 复数矢量法(复极向量法)一、复数 用两个实数x、y表示一个复数x、y 分别称为复数的实部和虚部，实部单位为“1”，略去不写，虚部单位“i”有求法规则： 对实轴的的对称点点也对应应一个复复数： 则称是z的共轭复数，定义为复数z的模记为：模等于1的复数称称为单位位复数：称为幅角角，由Euler公式：二、复数数矢量的的表示如图的自由矢量的表示为：，则该矢量可表示为：设在复平面上有一个单位矢量（2-1）于是矢量的分量分别为：相当于矢矢量转过900。1）向量与单位矢矢量相乘：（2-2）表示向量量逆时针转

2、转过一个个角。与虚数单位i的乘积：2）向量（2-3）同理：转过1800。相当于矢量（2-4）是单位矢矢量的共轭矢矢量3）4）两个有有用公式式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）5）复数矢矢量的微微分等式右边边可看作作二个复复数矢量量其中分别为它它们的矢矢量大小小（模），为单位方方向矢。，表示某一点相对于固定参考系坐标设矢量原点的位置，则一阶导数：（2-9）二阶导数数：继续求导导可求出出高阶导导数。（2-10）JIRO可写成：则矢量为式中为矢量在复平面面（ORI平面）上上的投影影与J轴的夹角角。与实轴R间夹角，三、空间间矢量的的复数表表示R为实轴，I、J为虚轴，取坐标系系ORIJ，矢量如图，

3、（2-11）可看成长长度a与单位向向量矢量由式211的乘积。则单位向向量：（2-12）实虚虚，其一阶阶导数，二阶导导数为:式中：（2-13）（2-14）（2-15）2-2利用复数数向量进进行机构构的运动动分析机构的运运动分析析是在已已知机构构的结构构和几何何尺寸的的条件下下，在原原动件的的运动规规律给定定时，确确定从动动件任一一运动变量量的变化化规律。运动分析析包括：位置分析析，速度度和加速速度分析析。其中位位置分析析方程通通常是非非线性的的，只有有简单的的二级机机构才能能列出输输出变量量和输入入变量的的显函数数表达式式，而其其他情况况下，方方程的求求解就需需要利用用各种数数值解法法。1、铰链

4、四四杆机构构建立封闭闭矢量方方程，可可有两种种形式：a、连续头头尾相接接的封闭闭链；b、到达同同一研究究点的两两个不同同途径的的两个分分支。雷文（Raven）称为“独立位置置方程”法，这这一方法对对解决输输入和输输出构件件都绕各各自固定定点中心转动动的问题题特别有有效。一、平面面机构的的运动分分析如图铰链链四杆机机构，假假设各杆杆长度为为r1、r2、r3、r4输入角2已知，可可列出独独立位置置方程：位置分析析的目的的是求出出3和4的值。（2-16）（1）位置分分析？解题思路路：1）利用用已知r1、r2和2，求出对对角线矢矢量d。2）利用用矢量d和r4求出矢量量r3，解出3和4。首先确定定对角线

5、线d的长度：将式（217）移项后后，分别别求上它它们各自自的共轭轭复数：（2-17）或：（2-18）将式（217）分解为为实部和和虚部，得：由此解得得：所以： （2-19）由式（217）计算d，很容易易判别d的象限，当矢量可可确确定后，由于：取（221）实部得得：（2-20）（2-21）移项，两两边分别别乘以各各自的共共轭复数数：消去4有两个可可能解，根据连连续条件件确定一一个。同样，4有可能有有2个解，根根据连续续条件加加以确定定。取（220）的虚部部得：（2-22）（2）速度分分析由位置方方程进进行求导导：由于铰链链四杆机机构中均均为刚体体，因此此利用上上式）矢矢量微分分，将不不包含径径向

6、分量量项，由由此得：（2-23）该式由相相对运动动速度多多边形图图示说明明为：分别表示示的方向，它们是是的方向转转过所得，是已知的的。将上述矢矢量方程程分解为为实部分分量和虚虚部分量量：未知量左移：（2-24）最后，用用Cramer（克莱姆姆）法则则解（224）于是可得得：类似可求求得： （2-25）（2-26）（3）加速度度分析同样方法法对（216）进行二二次微分分得：（2-27）将（2-27）分解为实数分量和虚数分量，便可得含有未知数 和 的两个方程：由此得：2、偏置曲曲柄滑块块机构列出B点的独立立位置方方程，再再由位置置方程一一次、二二次微分分得速度度。加速速度方程程。通过过分离实实数分

7、量量和虚数数分量的的方法最最终求出出未知量量：？3、摆动导导杆机构构，求不同同位置的的已知：构构件1和构件2长度为r1、r2，构件2（曲柄）的角速度度和角加加速度为为（1）位置分分析独立位置置方程为为：（2-27）？分成实数数分量和和虚数分分量：两式相除除得：代入（228）：（2-28）（2-29）（2-30）（2）速度分分析两边乘以以则：对（227）求导杆杆的速度度方程：（2-31）将上式分分成实数数分量和和虚数分分量得：（3）对位置置方程二二次微分分得加速速度方程程：两边同乘乘得：取虚数分分量：（2-32）（2-33）（2-34）因此：取（223）实数分分量：因此得：（2-35）（2-36

8、）如图所示示RSSR机构，杆杆2在IJ平面旋转转，杆4在平衡RJ平面旋转转，已知知：时杆3的位置角角二、空间间机构的的运动分分析求当：？由于杆2在IJ平面内运运动，所所以矢量量与R轴夹角2=900，又由于于杆4在平行于于RJ平面内旋旋转，因因此向量r4在IR平面内的的投影与与R轴夹角4=0。在IR平面内的的投影对B点可列两两个独立立位置方方程：(1)位置分析析（2-37）矢量A0B0可表达为：A0B0a+i b+ j c展开：分别取R、I、J分量得：由（2）移项：（1）（2）（3）（4）代入得：由（3）式移项项得：（5） 可对（237）式一次微分后，分别取R、I、J分量，也可直接（1）、（2）

9、、（3）一次微分得速度分量。求导时各长度尺寸为常数，角不变的。由此得：（2）速度分分析由（6）式移项项得：（6）（7）（8）由（7）式移项项得：（9）（10）（11）（11）代入（8）得：由此得：（3）加速度度分析（略略）三、复数数矢量法法进行机机构的综综合复数矢量量法能够够方便的的应用于于杆机构构的综合合，特别别是平面面机构的的综合。如要综综合一平平面铰链链四杆机机构，而而该机构构在某一一位置时时各构件件必须满满足规定定的角速速度、角角加速度度，可用用复数矢矢量法。2-3利用直角角坐标向向量的机机构运动动分析一、直角角坐标向向量标记记法、空间任意一点A的位置在直角坐标系中可用向量来表示， 直

10、角坐标系，若x、y、z方向上的单位向量为： ，则我们可以将向量表示为：分别是向向量在三个方方向上的的分量。二、杆组组分类法法（阿苏苏尔运动动链）1、杆组的的定义机构可以以认为是是由机架架、主动动件和从从动件系系统三部部分组成成。从动动件系统统的自由由度为零零。因此此，从动动件系统统一定可可以分解解成一个个或若干干个不可可再分解解的自由由度为零零的运动动链，这这种运动动链称为为杆组。机构是由由一个或或若干个个自由度度为零的的运动链链依次联联接到机机架和主主动件上上而形成成的。2、杆组的的分类杆组的构构件数n与低副数数p满足：3n-2p=0 运动副A、C为杆组的外副，B为内副，外副若为转动副画为实

11、心圆，三个运动副为移动副则失去杆组性质。n=4，p=6n=6，p=9杆组按其其包含的的封闭形形是几边边形进行行分级。杆组运动动确定性性：外副副若与运运动已知知的构件件相联，则杆组组中每一一构件的的运动都都是确定定的。杆组静力力确定性性：如杆杆组上作作用的外外力系已已知，则则杆组的的各运动动副中的的约束反反力未知知数可由由杆组本本身各构构件的平平衡方程程式解出出。三、级机构的的运动分分析平面连杆杆机构利利用拆组组分析的的方法，可以分分为级机构、级机构、级机构等等。其中中级机构有有五种基基本杆组组：RRR、RRP、RPR、PRP、RPP。1RRR级组的分分析平面铰链链四杆机机构可以以拆出如如图所示

12、示的RRR级组，它它是由三三个转动动副A、B、C和两个构构件1、2组合而成成。在研研究机构构运动时时，往往往把运动动副看成成一个点点，运动动副A、C即为外点点，外点点分别与与其它杆杆组的构构件i和j相连接，或其中中之一与与机架相相铰接。？2内副为为移动副副的RPR级组的分分析P1、P2为运动已已知点，其坐标标为P1(P1x、P1y)、P2(P2x、P2y)。矢量位位置方程程：向两坐标标轴投影影得：解得：？速度和加加速度分分析同前前，得到到：3外副之之一为移移动副的的RRP级组的分分析P4为运动已已知点，待求运运动点为为P2。滑块在在其上滑滑动的构构件上的的两点P1和P3的运动为为已知。？例：以

13、飞飞剪机构构为例，构件1、6为原动件件，当原原动件的的运动给给定后，构件3、5组成的是是三转动动副的二二级组，故可以以调用RRR公式求解解，构件件2、4组成的是是一外副副为移动动副的二二级组，故可调调用RRP公式求解解。四、复杂杂平面连连杆机构构的位置置分析构成机构构的最高高级杆组组为二级级以上杆杆组的机机构称为为高级机机构或复复杂机构构。n杆的基本本组可以以与相关关构件（图中虚虚线，一一般由机机架和原原动件确确定）组组成n/2个独立封封闭形（图中、表示封闭闭形的序序号）。每个个封闭形形可建立立一个矢矢量环方方程或两两个标量量方程。因而，n杆的基本本组在运运动分析析中引入入n个变量，可以建建立

14、n个独立方方程，在在一般情情况下可可以得到到确定解解。封闭环矢矢量方程程：标量方程程：如图一六六杆机构构，原动动件为l1，转角1，该机构构可以拆拆分为一一个四杆杆组，可可以列出出两个独独立的位位置方程程：？解位置方方程得到到关于4的一维非非线性方方程，可可用数值值法迭代代求解。速度和和加速度度求解需需把位置置方程对对时间求求一、二二阶导数数。型转换法法数值迭迭代求解解上述方法法对不同同的机构构都必须须首先进进行公式式推导，因此不不具有通通用性。型转换换法是把把一个复复杂的杆杆组通过过转化变变成多个个简单的的构件或或二杆组组，然后后直接调调用求解解二杆组组的标准准程序求求解，适适用于计计算机求求解，具具有通用用性。在阿苏尔尔组中把把部分外外约束解解除而在在内部运运动链中中输入同同样数目目的外约约束，这这样阿苏苏尔组内内部运动动链分解解，变成成简单的的构件和和二杆组组。整个个求解过过程是一一个连续续迭代求求解过程程。上述型转转换法最最终把复复杂的杆杆组都转转化成能能够直接接求解的的二级杆杆组，若若将前面面给出的的平面机机构中二二级杆组组的求解解公式编编成子程程序，则则作各种种机构的的运动分分析时就就可以直直接调用用这些子子程序而而不必对对每种机机构推导导方程。2-5其他方法法简介1、杆长逼逼近法解决用直直角坐标标向量法法分析基本杆组组迭代次次数多