缓和曲线计算原理

1、文档编码 : CW9E10K2T8L4 HA4A3V9O5L7 ZQ1K3S10I7K61.2 道路线形的基本介绍道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用；道路的新建和改建,测量工作必需 先行,所以大路施工测量所承担的任务也是特别大的,为了更好的进行道路施工工作,下面就道路线形进行一下简洁的介绍；一般所说的路线,是指道路中线的空间位置；中线在水平面上的投影称作路线的平 面；沿中线竖直剖切再行开放就是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点 的横断面；无论是铁路、大路仍是地铁隧道和轻轨,由于受到地势、地物、地质及其他因素的 限制,常常要转变线路前进的方向；当线路方向转变时,在转向处需用曲线

2、将两直线连 接起来；因此,线路工程总是由直线和曲线所组成；曲线按其线形可分为：圆曲线、缓 和曲线、复曲线和竖曲线等；大路中线应中意的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出 现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不显现两个曲率变化值）；考虑上 述几何条件,顾及运算与敷设便利,现代大路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线 R的 构成,称之为平面线形三要素； 其中缓和曲线的曲率半径是从 逐步变到圆曲线半径 变量；在与直线连接处半径为,与圆曲线连接处半径为 R,曲线上任一点的曲率半径 与该点至起点的曲线长成反比；目前大路线形设计已开头使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计,

3、特别是在互 通立交匝道和山区高速高速大路线形设计中,这种线形设计使用得较多；非对称线形分 为完全非对称线形和非对称非完整线形两种,所谓“ 完全非对称曲线” 的含义就是第一 缓和曲线和其次缓和曲线起点处（ZH 或 HZ ）的半径为,圆半径为 R,第一缓和曲线长 sl,其次缓和曲线长为 sl 2,l s 1 l；所谓“ 非完整” 的含义是第一缓和曲线和其次缓和曲线的半径不是,而是 R、R；而坐标法成为高速大路放样的主要方法,坐标法放样线路中线的这个操作过程中,最重要的一部就是运算线路放样点的坐标；2 路线中桩坐标运算原理在实际工程中,线路的设计由特地的设计方完成,在线路完成设计得到审批后设计 便利

4、把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）供应应施工方；所供应的曲线要素 一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用确定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线） 、曲线长；当然不同的工程项目所供应的曲线要素 也不一样,以上所述的要素是大多数设计方会供应的,有的设计方在供应上述要素的前 提下,仍供应曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素,供施工方在运算施工坐标时予以相互检核；所以,为了保证原理的通用性,我们需要用最少的、最通用的、最有利于使用、最 有利于推算的条件来讲解；通过对多份实际工程

5、中用到的曲线元素的分析,得出了运算 最复杂曲线（非完整缓和曲线）的中、边桩坐标及中桩边桩坐标方位角的最少条件；中桩,指的是为表示中线位置和线形等, 沿路线中线所设置的编有桩号的桩或标志；中桩测设是指沿着直线或曲线具体测设中桩,是工程中放样测量的重要组成部分；中桩的放样方法有多种,但随着测量仪器的日益先进,测量手段也开头发生变化且趋向于简 单,测量的结果也日益精确,当然所要求的放样元素也由所变化；现在工程中实际用到 的放样仪器主要是全站仪、 GPS-RTK,这就预备我们在运算线路的放样元素时,得出的主要对象是桩位在总体坐标系中的二维坐标 进行的）；（高程放样是在其单独的高程坐标系中单独经过总结,

6、发觉进行中桩坐标运算时,无论其是何种曲线段只要给出下述条件即可进行相应的运算；条件：线路中各曲线段的起点坐标1x3x1y 、起点里程1s、起点半径1r、终点坐标2x2y 、终点里程2s、终点半径2r、交点坐标3y 、曲线参数A、转向 -1 或1；由于在圆曲线、完整缓和曲线段及非完整缓和曲线段中桩、边桩坐标运算过程中,需要先建立局部坐标系然后进行二维坐标之间的转换,的转换进行讲解：2.1 二维直角坐标系的转换所以下面第一对二维坐标系之间两个直角坐标系（如右图）进行相互转换的旋转角称为欧勒角,对于二维直角坐标系两个坐标系之间的夹角大小等于其欧勒角；对于二维XxPAPAPB直角坐标系已知 P 点在局

7、部坐标系中的坐标A BP,局部坐标系原点x y0 以及局部坐标系相对于总体坐标系的坐标方位角,就 P 在总体坐标系中的坐标为：Ox0y0BPyPxpcos sinsin cosA PB Px y0yp0Y将矩阵换算为方程式的形式为：式中0 x0y 与xpx0ApcosBp sinypy0AP sinBPcos值可由运算人员供应；同样,如已知 P 点在总体坐标系中的坐标x yP,可按下式将其换算为在局部坐标系中的坐标A BP：yPy 0 sinAPxPx0 cosBPx Px0sinyPy 0 cos在前期的预备学问明白后,下面就工程中可能遇到的十一种路段,如何进行中桩坐 标的运算逐一的进行具体

8、的讲解；2.2 直线段中桩坐标运算原理第一说清的一点是,直线段不具有交点坐标；在进行中桩坐标运算时, 第一依据起点坐标1x1y 与终点坐标2x2y 运算起点至终点的坐标方位角 jdjz ：在得到运算起点至终点的坐标方位角jdjzarctan y x2y1s的坐标,2x1jdjz后,即可运算该直线段上任意里程运算方式为：xx 1ss 1 cosjdjzyy1ss 1 sinjdjz这样,直线段的任意要求里程的中桩坐标就求出来了；2.2 圆曲线段中桩坐标运算原理现在的铁路大路为了顾及到车辆行驶的安全性,防止使驾驶员的产生视觉疲乏,常常 布设圆曲线,圆曲线是一种比较简洁的线形, 但因圆曲线段的线路走

9、向较直线段较为复杂,所以在运算中桩过程中,为了坐标的运算便利以及后续的坐标系转换,须建立单独的坐标 系,第一在局部坐标中运算各个桩号的中桩坐标,然后再依据局部坐标系原点在全局坐标 系中的坐标以及局部坐标系 X 轴方向在全局坐标系中的坐标方位角进行坐标转换；2.2.1 圆曲线段中桩坐标运算通用原理由于路线的转向不同,局部坐标系的建立方式也有所不同,这里先表达圆曲线段中桩 坐标运算的通用原理；如右图所示,以曲线起点 ZY 为坐标原点,以顺着线路方向的切线为 X 轴,以切线的 垂线方向为 Y 轴,两个轴构成测量坐标系；就该圆曲线段上任意里程的中桩在局部坐标系中的坐标为：x yRsinR1 cosS

10、R180 R式中 s为曲线段距离,即曲线段桩号差值；在运算出桩位在局部坐标系中的坐标后,就必需进行坐标系之间的转换：xpx0ApcosBp sinypy0AP sinBPcos这里表达的两个轴的定义只是为了表达原理便利所定义的,并不代表全部情形,随着线路转向不同的而不同,当然 x , y的运算公式也因坐标系的不同而不同,实际线路运算时需灵敏处理；同时顾及坐标运算的便利以及后续坐标系的转换,这里建议在建立坐标系 时建立测量坐标系而不是数学坐标系；2.2.1 圆曲线段左、右转的处理方式圆曲线段之所以要争论左、右转的问题,主要是顾及到在局部坐标系中的坐标 保证是正值,同时保证为了后期的坐标转换的便利

11、,很简洁通过图形来表示：通过我们也可以很简洁的总结出桩位在各自的局部坐标系中的坐标,中（）式为线 路左转时的局部坐标的运算公式, （）式为线路右转时的局部坐标的运算公式：xRsinxRsinR1 cosR1 cosyyS R180 RS R180 R无论线路是左转仍是右转, 在运算完桩位在局部 坐标系中坐标后都需要进行坐标系的转换,公式不 再赘述,公式中的各个量得含义也不变；2.3 完整缓和曲线段中桩坐标运算原理直线的半径为无穷大；进入圆曲线时,就半径 为 R,所以从直线段过渡到圆曲线时, 汽车的行驶曲 率半径是不断变化,这一变化路段即为缓和曲线段；2.3.1 完整缓和曲线段中桩坐标运算通用原

12、理由于缓和曲线段没有统一的曲率半径,所以运算桩位坐标的过程是比较困难比较繁琐的,所以为了坐标运算的便利以及后续的坐标系转换,也须建立单独的坐标系；以下图 为例建立坐标系,该坐标系的建立方式为：原点位于 ZH ,X 轴过原点正向垂直于 ZH JD Y 切线的方向, Y 轴过原点正向指向与于 ZH JD 切线的方向一样；现在就完整缓和曲线任意桩位坐标的运算过程进行具体的讲解： dHYy0X第一运算缓和曲线段的转角：lp180dlPRR PCRl 0R pRl 0dlpRl 0y式中0 l pRl l P0 180dl P dl pl P 2180 P dx2 Rl 0 ZH lp xpl为运算点距

13、离新建立的坐标原点的曲线距离,即为曲线段的桩号差,具备了角度dy 0后即可依据右图运算中桩点坐标：dxcosdlp图5 - 4 缓和曲线dysindlp将 cos、sin按级数开放：dx11214dlP181l414l8dlP2.4.2 2 R l 0P3844 R lP0dy1315dlP21l21l6dlP3.5.Rl 0P3 3 48 R l 0P积分得：xlPdxn1 j11j213l4 Pj13xlPl3 Pl5l9PP2j2 .2Rl 024jj1402 2 R l 04 4 3456 R l 00l7l11ylPdyn1 j1212j111l4jy6PPRl03 3 336 R

14、l 05 5 42240 R l 0P0j12j1 .Rl04j在运算出桩位在局部坐标系中的坐标后,就必需进行坐标系之间的转换：xpx0ApcosBp sinypy0AP sinBPcos这里表达的两个轴的定义只是为了表达原理便利所定义的,并不代表全部情形,随着线路转向不同的而不同,当然 x , y的运算公式也因坐标系的不同而不同,实际线路运算时需灵敏处理；同时顾及坐标运算的便利以及后续坐标系的转换,这里建议在建立坐标系时建立测量坐标系而不是数学坐标系 , 这样有利于坐标系的统一；2.3.2 完整缓和曲线段不同过渡方式的左、右转的处理方式这里之所以要强调不同过渡方式的不同,是由于不同的过渡方式

15、附带的不同转向所导致的坐标系的建立方式不同以及坐标运算公式不同,但坐标系建立的原就就是保证 x 值与 y均保证为正值,便利后期的坐标转换；现在就不同的过渡方式以及不同的转向进行逐一争论：1.线路是由大半径过渡到校半径,转向是左转这里为了运算出的中桩坐标都是正值,而且为了后期的坐标系的转换的便利这里建议建立坐标系的方式为：原点位于 QD起点 , X 轴经过原点正向垂直于 ZH JD 切线的方向,Y 轴经过过原点正向指向与于 ZH JD 切线的方向一样； 这样各个桩位在局部坐标 系总的值为：式中Pl为所求桩位距离y6l3 Pl7 Pl11 PR为终点半径 ；Rl 03 3 336 R l 05 5

16、 42240 R l 0 xlPl5 Pl9 P2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0QD的曲线长即为里程差,0l为完整的缓和曲线长度,2.线路是由大半径过渡到校半径,转向是右转这里建议建立坐标系的方式为： 原点位于 QD 起点 ,X 轴经过原点正向指向 ZH JD 切线的方向, Y 轴经过过原点正向垂直于 ZH JD 切线方向,构成测量坐标系；这 样各个桩位在局部坐标系总的值为：xlPl5l9PP2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0l3l7l11y6PPPRl 03363 3 R l 05 5 42240 R l 0式中各字母的含义与前面所述一样,在此不再赘述；

17、3.线路是由小半径过渡到大半径,转向是左转这里建议建立坐标系的方式为：原点位于 ZD 终点 ,X 轴经过原点正向指向 ZD JD 切线的方向, Y 轴经过原点正向垂直于 ZD JD 切线方向,构成测量坐标系；这样 各个桩位在局部坐标系总的值为：式中xlPl5 Pl9 PR为QD 半2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0y6l3 Pl7 Pl11 PRl 03363 3 R l 05 5 42240 R l 0Pl为所求桩位距离 ZD 的曲线长即为里程差,0l为完整的缓和曲线长度,径；4.线路是由小半径过渡到大半径,转向是左转 这里建议建立坐标系的方式为： 原点位于 ZD 终点 ,

18、X 轴经过原点正向与 ZD JD 切 线的方向垂直, Y 轴经过原点正向与 ZD JD 切线方向一样,构成测量坐标系；这样各 个桩位在局部坐标系总的值为：式中y6l3 Pl7 Pl11 PR为QD 半Rl 03 3 336 R l 05 5 42240 R l 0 xlPl5 Pl9 P2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0Pl为所求桩位距离 ZD 的曲线长即为里程差,0l为完整的缓和曲线长度,径；这样完整缓和曲线段上的桩位在局部坐标系中的局部坐标就运算完毕,然后为了放 样过程的顺当进行,须保证全部运算结果位于同一个总坐标系中,坐标系之间的转换问 题及解决方法我们在前面已经表达,

19、式中各个值也已经阐述,这里转换的具体操作流程 不再赘述；2.4.2 完整缓和曲线段不同过渡方式的左、右转的处理方式这里之所以要强调不同过渡方式的不同,是由于不同的过渡方式附带的不同转向所导致的坐标系的建立方式不同以及坐标运算公式不同,但坐标系建立的原就就是保证 x值与 y均保证为正值,便利后期的坐标转换；现在就不同的过渡方式以及不同的转向进行逐一争论：1.线路是由大半径过渡到校半径,转向是左转这里为了运算出的中桩坐标都是正值,而且为了后期的坐标系的转换的便利,这里建议建立的暂时局部坐标系的方式为：原点位于 QD 起点 ,X 轴经过原点正向垂直于 ZH JD 切线的方向, Y 轴经过过原点正向指

20、向与于 ZH JD 切线的方向一样；这样l0l2 2r l这样就可以得到最终局部坐标系X 轴指向的坐标方位角0；总坐标系原点坐标x 0,y0:xcosysinx0 x 1y0y 1xsiny0cos各个桩位在局部坐标系总的值为：式中y6l3 Pl7 Pl11 PRl 03 3 336 R l 05 5 42240 R l 0 xlPl5 Pl9 P2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0Pl为所求桩位距离 QD 的曲线长即为里程差,0l为完整的缓和曲线长度, R为终点半径；2.线路是由大半径过渡到校半径,转向是右转这里建议建立坐标系的方式为： 原点位于 QD 起点 ,X 轴经过原点

21、正向指向 ZH JD 切线的方向, Y 轴经过过原点正向垂直于 ZH JD 切线方向,构成测量坐标系；这样 l 0 l 2 2r l 这样就可以得到最终局部坐标系 X 轴指向的坐标方位角0；总坐标系原点坐标 x 0 , y 0 :x 0 x 1 x cos y siny 0 y 1 x sin y 0 cos各个桩位在局部坐标系总的值为：xlPl5l9PP2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0l3l7l11y6PPPRl 03363 3 R l 05 5 42240 R l 0式中各字母的含义与前面所述一样,在此不再赘述；3.线路是由小半径过渡到大半径,转向是左转这里建议建立坐标

22、系的方式为：原点位于 ZD 终点 ,X 轴经过原点正向指向 ZD JD 切线的方向, Y 轴经过原点正向垂直于 ZD JD 切线方向,构成测量坐标系；这样 l 0 l 2 2r l 这样就可以得到最终局部坐标系 X 轴指向的坐标方位角0 ；总坐标系原点坐标 x 0 , y 0 :x 0 x2xcosysiny0y2xsinycos各个桩位在局部坐标系总的值为：式中xlPl5 Pl9 PR为QD 半2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0y6l3 Pl7 Pl11 PRl 03363 3 R l 05 5 42240 R l 0Pl为所求桩位距离 ZD 的曲线长即为里程差,0l为完整

23、的缓和曲线长度,径；4.线路是由小半径过渡到大半径,转向是左转 这里建议建立坐标系的方式为： 原点位于 ZD 终点 ,X 轴经过原点正向与 ZD JD 切 线的方向垂直, Y 轴经过原点正向与 ZD JD 切线方向一样,构成测量坐标系；这样 l 0 l 2 2 r l 这样就可以得到最终局部坐标系 X 轴指向的坐标方位角0 ；总坐标系原点坐标 x 0 , y 0 :x 0 x 2 x cos y sin y 0 y 2 x sin y cos各个桩位在局部坐标系总的值为：式中y6l3 Pl7 Pl11 PR为QD 半Rl 03 3 336 R l 05 5 42240 R l 0 xlPl5

24、Pl9 P2 2 40 R l 04 4 3456 R l 0Pl为所求桩位距离 ZD 的曲线长即为里程差,0l为完整的缓和曲线长度,径；这样完整缓和曲线段上的桩位在局部坐标系中的局部坐标就运算完毕,然后为了放 样过程的顺当进行,须保证全部运算结果位于同一个总坐标系中,坐标系之间的转换问 题及解决方法我们在前面已经表达,式中各个值也已经阐述,这里转换的具体操作流程 不再赘述；2 路线中桩边桩坐标方位角、边桩坐标运算原理边桩运算的必要性,我们没必要加以过多说明,而中桩边桩坐标方位角的运算很 多人并不明白它的必要性,在这里说明一下；在实际线路施工中要求我们测量人员进行测量的内容许多,包括使用全站仪

25、进行横 断面测量、工程开工是所进行的征地界的测量、路基施工的坡脚的测量、桥梁桩位坐标 运算,都需要知道中桩边桩坐标方位角,特别是桥梁的施工中,一个里程一般有多个 桩位,而且不是分布在一条线上,假如不知道中桩边桩坐标方位角就完全无法运算；同样,面对多种十一种曲线段（包括直线段）中桩边桩坐标方位角的运算方法也 是有所差别的,这里再对其进行分别讲解：3.1 直线段边桩坐标、中桩边桩坐标方位角运算原理直线段得这两项内容的运算方法仍是很简洁的,运算为例进行讲解；这里以中桩右桩的坐标方位角的第一依据起点坐标 1x 1y 与终点坐标 2x 2y 运算起点至终点的坐标方位角 jdjz：jdjz arctan

26、y x 22 x y11在得到运算起点至终点的坐标方位角 jdjz后,然后在 jdjz 的基础上再加上 2即得到 中桩右桩的坐标方位角,当然角度的表示方式为弧度；依据中桩坐标、中桩右桩的坐标方位角以及左、右边距,依据坐标增量公式即可很简洁的运算出左、右桩在总坐标系中的坐标 xz,zy、 xy,yy：ybcosjdzyxz ,zy 、 xy,yy 便很容xzxzbcosjdzyyzyzbsinjdzyxyxyyyybsinjdzy这样直线段的中桩右桩的坐标方位角jdzy以及左、右桩的坐标易的运算出来了；3.2 圆曲线段边桩坐标、中桩边桩坐标方位角运算原理3.2.1 圆曲线段边桩坐标、中桩边桩坐标

27、方位角运算通用原理圆曲线段的的中桩右桩的坐标方位角jdzy以及左、右桩的坐标x z,zy、 xy ,yy也是比较简洁的,这里我们仍是以在运算圆曲线中桩坐标所举得例子（如下图）为例进行讲解：第一依据局部坐标系 x 轴的坐标方位角确定局部坐标系坐标原点处的中桩右桩的坐标方位角 jdzy 2,在此基础上就可以运算此曲线段上的任意里程桩号的中桩右桩的坐标方位角 jdzy；具备了这样的思想后, 开头运算此曲线段上任意里程桩号相对于局部坐标原点的转角 zj s R ；在 此 基 础 上 即 得 此 曲 线 段 上 任 意 里 程 桩 号 中 桩 右 桩 的 坐 标 方 位 角jdzyijdzyzj,当然角

28、度的表示方式也为弧度；依据中桩坐标、中桩右桩的坐标方位角以及左、右边距,依据坐标增量公式即可很简洁的运算出左、右桩在总坐标系中的坐标xz ,zy、 xy,yy：cosjdzyixyy便很xzxzbcosjdzyixyxybyzyzbsinjdzyiyyyybsinjdzyi这样圆曲线段的中桩右桩的坐标方位角jdzy以及左、右桩的坐标xz ,yz 、 y ,简洁的运算出来了；3.2.2 圆曲线段左、右转的处理方式这里之所以要争论左右转的问题,是由于在中桩的运算中也有左右转的问题,路线的转向不同建立的坐标系也是不同的,是不同的；不同的转向的讲解见下图：所以在中桩边桩坐标方位角的运算与取值时也当 路

29、 线 左 转 时 , 局 部 坐 标 系 坐 标 原 点 处 的 中 桩 右 桩 的 坐 标 方 位 角 为jdzy2,此曲线段上任意里程桩号相对于局部坐标原点的转角zjs R ；所以此曲线段上任意里程桩号中桩右桩的坐标方位角jdzyijdzyzj；当 路 线 左 转 时 , 局 部 坐 标 系 坐 标 原 点 处 的 中 桩 右 桩 的 坐 标 方 位 角 为jdzy2,此曲线段上任意里程桩号相对于局部坐标原点的转角zjs R ；所以此曲线段上任意里程桩号中桩右桩的坐标方位角jdzyijdzyzj；依据中桩坐标、中桩右桩的坐标方位角以及左、右边距,依据坐标增量公式即可很简洁的运算出左、右桩在

30、总坐标系中的坐标xz ,zy、 xy,yy：HYy0Xxzxzbcosjdzyixyxybcosjdzyiyzyzbsinjdzyiyyyybsinjdzyi这样圆曲线段的中桩右桩的坐标方位角jdzy以及左、 右桩的坐标xz ,zy、xy,yy 便很简洁的运算出来了；Y3.3 完整缓和曲线段边桩坐标、中桩边桩坐标方位角运算原理 d缓和曲线段中桩边桩坐标方位角、边桩坐标角圆曲线段没有过于困难的地方,虽 R 然它的半径也是随着曲线长度的不同而不同,但是依据前面中桩坐标推算过程我们已然推算出曲线转角的运算公式,所以运算过程有相像之处；也是第一依据局部坐标系 x轴的坐标方位角确定局部坐标系坐标原点处的

31、中桩右桩的坐ZHlpPdl pdy标方位角jdzy2,在此基础上就可以运算dxy此曲线段上的任意里程桩号的中桩右桩的坐标 0 xx0方位角jdzy；具备了这样的思想后, 开头运算此曲线段上任意里程桩号相对于局部坐标原点的转 图 5 - 4 缓和曲线角 zjs R ；在 此 基 础 上 即 得 此 曲 线 段 上 任 意 里 程 桩 号 中 桩 右 桩 的 坐 标 方 位 角jdzyijdzyzj,当然角度的表示方式也为弧度；依据中桩坐标、中桩右桩的坐标方位角以及左、右边距,依据坐标增量公式即可很简洁的运算出左、右桩在总坐标系中的坐标xz ,zy、 xy,yy：cosjdzyixyy便很xzxz

32、bcosjdzyixyxybyzyzbsinjdzyiyyyybsinjdzyi这样圆曲线段的中桩右桩的坐标方位角jdzy以及左、右桩的坐标xz ,yz 、 y ,简洁的运算出来了；2.1.2 缓和曲线段中桩坐标运算 同样,带有缓和曲线的曲线段在运算桩点坐标时较为困难,由于圆曲线段中桩坐标运算与缓和曲线段中桩坐标运算过程中均建立了新的坐标系,其坐标也均是新建的坐标系中的坐标而不是总坐标系中的坐标,所以必需把新建立的坐标 系中的坐标转换为总坐标系中的坐标；其转换原理如下：2.1.3 坐标系的转换 两个直角坐标系（如右图）进行相互转换的旋转角称为欧勒角,对于二维直角坐标系两个坐标系之间的夹角大小等

33、于其欧勒角；对于二维直角坐标系有：xpcos sinsin cosA PB Px y0XxPAPAPByp0将矩阵换算为方程式的形式为：xpx0ApcosBp sinypy0AP sinBP cosOx0y0BPyP式中各字母的含义如以下图；将圆曲线段中桩坐标与缓和曲线段中桩坐标利用上式进行转换；至此,两段曲线的坐标俱已运算完毕,而Y且全部的坐标均转换至总坐标系中；2.2 线路中桩坐标手工运算步骤 1、中桩坐标的运算 在运算线路中桩坐标之前,第一须假定一点的坐标及一条边的坐标方位角,由观测 的两个转角运算 QD、JD1、JD2、ZD四点的坐标及三条边的坐标方位角,以利于后期坐标 运算时的直接利

34、用；然后依据各曲线给定的外矢距、观测的两个转角及缓和曲线段的缓和曲线长（假如 曲线有缓和曲线）运算两个曲线段的半径,并依据运算出的半径和已测的转角、缓和曲 线长运算两段曲线各自的切线长、曲线长等；具备这些已知因素后,即可分段分别运算中桩坐标：1）QD ZY 段：此段依据距离（即桩号差）以及 用坐标增量公式即可运算的各中桩点的坐标；QD ZY 段的坐标方位角,利2）ZY YZ 段：此段需单独建立坐标系,原点设在ZY点, X 轴方向与 QD ZY段方向垂直, Y轴方向与 QD ZY 段方向一样, X轴与 Y轴两者构成测量坐标系,然后 利用下式运算各中桩点坐标：x iR1 cosiyRsinS180

35、R由于这时 ZY YZ 段的坐标是新建立的坐标系里的坐标,所以这时须对其进行坐 标系转换,把新建坐标系中的坐标转换到总坐标系中,其公式为：xpx 0Ap cosBp sinypy0Ap sinBpcos式中各字母的含义如上所述,这里不再重复；利用此坐标系中桩坐标可运算至 YZ点；3）YZ ZH 段：此段亦可依据距离（即桩号差）以及 利用坐标增量公式即可运算的中桩各点的坐标；YZ ZH 段的坐标方位角,4）ZH YH 段：此段亦需单独建立坐标系, 原点设在 ZH点,X 轴方向与 YZ ZH 段方向垂直, Y轴方向与 YZ ZH 段方向一样, X轴与 Y轴两者构成测量坐标系,然后 分为两段来运算：

36、ZH HY 段利用下式运算各中桩点坐标：x3l p6 Rl 05l p40 lR l p22y0HY YH 段利用下式运算各中桩点坐标：同样,由于这时xR P Rcos l2l00 RyRsinl2l00RZH YH 段的坐标是新建立的坐标系里的坐标,所以这时须对其进行坐标系转换,把新建坐标系中的坐标转换到总坐标系中,其公式也为：xpx0ApcosBp sinypy0Ap sinBpcos式中各字母的含义如上；至此,利用此坐标系中桩坐标可运算至 YH点；5）YH HZ 段：此段亦需单独建立坐标系,原点设在HZ点,X 轴方向与 ZD HZ段方向一样, Y轴方向与 ZD HZ 段方向垂直, X轴与 Y轴两者构成测量坐标系,利用下式运算各中桩点坐标：同样,由于这时xlp5 l p2 40 R l3 l pRl 020y6YH HZ 段的坐标是新建立的坐标系里的坐标,所以这时须进行坐标系转换,把新建坐标系中