一类具有自扩散项的捕食模型的稳定性分析

1、一类具有自扩散项的捕金模型的稳定性分析摘 要：本文主要对一类具有自扩散项的捕食-被捕食模型进行了稳定性分析，考虑了常微系统下的一类捕食-被捕食模型， 给出了该模型正平衡点的存在条件，分析了一类具有自扩散项的模型，证明了两种模型在正平衡点附近系统的局部渐近稳定性，结 果表明此两类模型种群在空间的分布随时间的增大最终会达到均匀稳定状态。关键词：正平衡点 局部渐进稳定性 自扩散1 前言捕食关系1是自然界普遍存在的物种之间相 互作用的基本关系之一，也是种群动力学研究的 一个主要课题，捕食一食饵2相互作用关系的研 究具有非常重要的理论意义和应用价值。反应扩散 系统3是描述种群生态学的重要工具，其中捕食一

2、 被捕食模型是重要的模型之一。自从1926年经典的Lotka-Volterra捕食模型4 建立以来，经过几十年的发展，从种族密度分布均 匀的生态数学模型，即常微分方程动力系统，到种 族密度在空间分布不均匀的生物数学模型5，即带 有扩散项的偏微分方程动力系统，都取得了丰硕的 成果。Gause和Witt在1935年建立了如下一般形式 的两种群Lotka-Volterra系统6:j Z/ （% + A】+ CjZ/j ） d 2 = 2（% + b岌2 +）其中 a. bi，Ci（i=1,2）为 实数，（i=1,2） 分别表示两种群的本质增长率，b;（i=1,2）称为种 内作用系数，体现了两种群种内

3、的竞争，c;（i=1,2） 称为种间作用系数，表现了种群间的关系（Lotka- Volterra 模型）o上述Lotka-Volterra模型是假设两个种群的相 对增长率是线性函数。而一个捕食者在单位时间内 不可能吃掉任意多的食饵，所以有必要对模型进行 改进。为此提出了具有功能性反应的捕食一被捕食 模型，其一般形式为：=l（*一洌1） 一= （%）W2 2 （弓 + 力“2 ）其中巾（U1）称为功能性反应函数，k称为转 化系数。假定种群在空间上是均匀分布的情况下只考 虑了时间对种群密度的影响,而实际上在许多生态 系统中，种群为了获取赖以生存的食物和栖息环境 必然会从自身密度高的区域向密度低的区

4、域迁移。2 一类具有自扩散项的捕食模型的稳定性分 析基于实际的生物学意义，建立的模型如下：- 0, x e Q3 t/3A(z/3 + d5/1*13) =+ 四”2 _ $)，7 0, x e Qdni/1 = dnii2 = dnii3 = 0,t 0,a: e dCl n, （x, 0） = （x） 0,z = l,2,3,A：eQ其中4是食饵的种群密度（i=1,2）;u3是捕 食者的种群密度；耳为内部增长率；b;是食饵的自 抑制系数；Y；是捕食者捕获食饵i的单位捕食率； &为生物常数换算量（i=1,2,3 ） ； d;是自扩散系数 （i=1,2,3 ） ； d;是交错扩散系数（i=4,

5、5 ） ； 8为捕食者 的死亡率。引理（Hurwitz判据）设有 n 次代数方程 aoXn+aiXn1+a2Xn2+_+an_iX+an=G， 其中ao, ai, a2an为常数，且a 0，则它的一切 根具有负实部的充要条件是下列不等式同时成立： % % 0 a3 a2 ax4 %三 , A2 三 , A2 = 0, A,0,，不考虑种群密度的空间分布，可建立如下模 型：对于常微系统，容易得到该系统的正平衡 点，但我们只考虑非零平衡点S（ u*,u；,u；）u* =1 为饱+财气:=也匹为0如箜ZV02 +ZW1U* =阪孔+附也-心3 ZVM+ZWi为了方便起见，让（站心板）表示任意的平衡解

6、， 则（妃心方3 ）的特征方程由下列行列式给出-2&国-.甲L 0-牌0/;-2/y7.-y/,2A3 阮对于正平衡解s（u*,u；,u；），其特征方程根据 上述行列式化简如下：中（人）=3+ax2+a2x+a34 =b0 +b由乏A = 略礼们+叩神s +月以用A鑫=以的函顼3 +b庭煎逐3 =化勺宙05* +月月2） 如果性* 0：脂+尺） b的-顷、.可以得出AiA2A3都是正的，从而正平衡解 S（ u*,u2,u*）是局部渐近稳定的。 8 minmax 8 0B2 = 3,ML +/）+&，；）3同 + 钮;）+（#北 + 顷;）网3 + 角匕指:+ 氏0戊=（瞄+妇，;）+腐均,；应

7、（片4 +顽）+（/* + b2ui）均响；。通过计算B甚-b3 = #,轴* + 馈;+R.（q +%）加；（+4）+姑;（4 +4） +W0、+d2d3 +君）+ 舟”;（必 +%）（印房 +席好；） +缶响但）2”； +曷械2（；）% + 澎02”；W +2）0所以可以得出结论正平衡解S7（U*,U；,U；）是 局部渐近稳定的。3数值模拟3.1无扩散情况下的动力学曲线模拟捕食者山、食饵U,U2的相图模拟及捕食者与 食饵的密度随时间变化的动力学曲线模拟图1捕食者U3与食饵Ui，U2的相图及捕食者与食饵密度随时间变化动力曲线图此时，马=42=4.5,加=0.1上2=2,。1=3.5,。2=1,丫1=1,定的。72=1,8=2.23.2自扩散系数对平衡点稳定性影响的数值模拟Two FunctionO 24681012141618d 3图2自扩散系数da的线性化特征矩阵的特征值曲线图此时，r1=4,r2=4.5,b1=0.1,b2=0.251,pi=3.5,P2=1, Yi=1,Y2=3,8=2.2本文的研究结果表明，无扩散的捕食一被捕 食模型存在正平衡点，并且计算出了此模型的正平 衡点，通过理论推导和MATLAB