数据拟合的非线性模型课件

1、数据拟合的非线性模型多项式拟合的正交化方法超定方程组最小二乘解温度数据的平滑处理数值分析 18数据拟合的非线性模型数值分析 18数据拟合的非线性模型求拟合函数 f(x, c0, c1, , cn )满足观测数据2/16例1.已知人口统计数据利用最小二乘法求指数拟合 y = c e a x x x1 x2 xm f y1 y2 ym 年 1991 1992 1993 1994 1995 1996数量 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24数据拟合的非线性模型求拟合函数 f(x, c0, c1, 指数函数拟合人口统计数据(单位：亿)(1)计算对数值 yk = ln

2、Nk ( k = 1,2,6)(2) 列出未知数a 、b的超定方程组 a + b t k = y k ( k = 1，2，6)(3)求超定方程组的最小二乘解,得 N= ea+bx , 并预测 N(2000), N(2008) N2000=12.7971, N2008=13.9783 设 N= ea+bt lnN=a+bt 令 y = lnN, 有 y(t)=a+bt t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 ln N 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.503/16指数函数拟合人口统计数据(单位：亿)(1)计算对数值 yk 例2.利用极坐标观察值确定慧星

3、轨道其中，p 为参数，e为偏心率 令k=1/r r 2.70 2.00 1.61 1.20 1.02 48 67 83 108 126 k 0.3704 0.5000 0.6211 0.8333 0.9804 0.8378 1.1694 1.4486 1.8850 2.1991线性方程组 ( j= 1,2,3,4,5 ) p=?, e = ?4/16例2.利用极坐标观察值确定慧星轨道其中，p 为参数，e为偏心r=2.70 2.00 1.61 1.20 1.02;fai=48 67 83 108 126*pi/180;n=length(r);b=ones(n,1);G=1./r cos(fai)

4、;X=Gb;p=X(1);e=X(2); p = 1.4521, e = 0.7027残差平方和: 0.00225/16fa=pi/4:.1:3.5*pi/2;ro=p./(1-e*cos(fa);polar(fai,r,ro),hold onpolar(fa,ro)R=r-p./(1-e*cos(fai)R=sum(R.2)r=2.70 2.00 1.61 1.20 1.02; 例3. 温度数据的拟合问题:中午1:00到第二天中午12:00温度记录数据如下66, 66, 65, 64, 63, 63, 62, 6160, 60, 59, 58, 58, 58, 58, 5857, 57, 5

5、7, 58, 60, 64, 67, 68用最小二乘法求拟合函数 f(x)=E + A cos(C x) + B sin( D x)E=?, A=？, B=? , C=? , D=?6/16例3. 温度数据的拟合问题:中午1:00到第二天中午12:0定义 设 j(x) (j=0,1,n )是多项式系列, 是一点列, 多项式i (x), j (x)在该点列上的值分别为则称 k(x) (k=0,1,n )为点列 上的正交多项式系. (j i)如果i = i(x1), i(x2), , i(xm)Tj = j(x1), j(x2), , j(xm)T7/16定义 设 j(x) (j=0,1,n )是

6、多项式 p0(x) = 1, pj(x) = x pj-1(x)( j=1,2,n )( j=2,3,n )8/16 给定数据表 x x1 x2 xmf(x) y1 y2 ym超定方程组:正交多项式系: , 组成拟合函数 9/16给定数据表 x x1 x2 正规方程:由正交性得10/16正规方程:由正交性得10/16超定方程组最小二乘解 X* 的几何意义11/16例向量组平面正规方程超定方程组最小二乘解 X* 的几何意义11/16例向量组平面Q列正交矩阵; R单位上三角矩阵矩阵的正交三角分解: G = QR12/16矩阵的LDLT 分解DLTX=L-1bA=LDLT超定方程组 AX = b记L

7、TX=D-1 L-1bX=(LT)-1D-1 L-1bQ列正交矩阵; R单位上三角矩阵矩阵的正交三角分解: G矩阵G的QR(正交三角)分解算法 G = ( gij)mn m n将矩阵按列分块，记为 G = g1, g2 , ,gn 分解算法 q1=g1 q2 = g2 r12q1, 其中 r12 = (g2，q1)/(q1，q1) n其中13/16矩阵G的QR(正交三角)分解算法 G = ( gij)mG = g1 g2 gn = q1 (r12q1+q2) (r1nq1 + + rn-1,nqn-1+ qn) G = q1, q2 , ,qn R G = QR g1 = q1 g2 = r12q1 + q2记 Q = q1, q2 , ,qn 其中14/16G = g1 g2 gn g1 = q多项式拟合用于数据平滑处理五点抛物线拟合公式设拟合函数为: P(t) = a0+ a1t + a2t2 a0 = yk 3(yk-2 4yk-1 + 6yk 4yk+1+ yk+2)/35 yk = a015/16多项式拟合用于数据平滑处理五点抛物线拟合公式设拟合函数为: 温度数据的平滑处理66, 66, 65, 64, 63, 63, 62, 61