专题02从求根公式谈起

1、专题 02从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是：1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是： 若 abc0 ，则方程 ax2bxc0( a0) 必有一根为1. 若 abc0 ，则方程 ax 2bxc0(a0) 必有一根为1.2、善于变形解有些与一元二

2、次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为bb24acx1,22a这个公式形式优美，内涵丰富：公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1阅读下列的例题解方程：x2| x |20解：当x0 时，原方程化为x2x20 ，解得x12, x21(舍)当x0 时，原方程化为x2x20 ，解得x11(舍 )， x22请参照例题解方程：x2|

3、x3|30 ，则方程的根是（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例 2 方程 | x21| (4 2 3)( x2) 的解的个数为（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例 3已知 m，n 是二次方程x21999 x70 的两个根， 求（ m2 +1998 m6)(n22000n8) 的值 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出 m，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于 m， n 的等式，不妨从变形等式入手 .反思：一元二次方程

4、常见的变形方法有：把 ax2bxc0(a0)变形为 ax 2bxc把 ax2bxc0(a0)变形为 ax 2bxc把 ax2bxc0(a0)变形为 axcbx其中体现了“降次”代换的思想；则是构造倒数关系作等值代换.例4解关于x 的方程：(m1)x2(2 m1)xm30解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分m10 及 m1 0两种情况，当m1 0时，还考虑就b24ac 的值的三种情况加以讨论.例 5 已知三个不同的实数a ， b ， c满足 abc 3 , 方程 x2ax 10 和 x2bx c0 ，有一个相同的实根，方程 x2xa 0 和 x2cxb0 也有一个相同的实根，求a，

5、b， c 的值 .解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解.设出公共根，设而不求，消去二次项.例 6已知 a 是正整数， 如果关于x 的方程 x3(a17)x2(38a) x560 的根都是整数， 求 a的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现 1 为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于 a 的较低次数的方程 .能力训练级1x26x q 0可以配成 x p 27 的形式，那么x26

6、x q 2可以配成、已知方程_ 的形式 .（杭州市中考试题）2、若分式x2x2 的值为 0，则 x 的值等于 .x22x1（天津市中考试题）3、设方程 x21993x19940, 和 (1994x)21993 1995x 1 0 的较小的根分别为 ， ，则 .4、方程 | x24x5 |6 2x 的解应是（上海市竞赛试题）5、方程 ( x2x 1)x 31的整数解的个数是 .A、2 个B、3 个C、4 个D、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于 x 的一元二次方程 (m1)x25xm23m 20 的常数项为0，则 m 的值等于 （）A、 1B、2C、1或 2D 、0（德州市中考试题）7、已知 a

7、,b 都是负实数，且11a10 ，那么 b 的值是（）abbaA、15B、15C、1 5D 、 152222（江苏省竞赛试题）8、方程 x2| x | 10 的解是（）A、15B、15C、 15 或1 5D 、1 5222229、已知 a 是方程 x21999x 10 的一个根，求 a21998a1999 的值 .a2110、已知 a24a 1 0 且a4ma213 ，求 m 的值 .2a3ma22a（荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m，使得方程 x2mx20 和 x22xm0 有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的

8、方程 (4k)(8k) x2(8012k ) x320 的解都是整数，求整数k 的值 .级1、已知 、 是方程 x2(m 2) x10 的两根，则 (1m2 )(1m2 ) 的值为2、若关于 x 的方程 x2pxq0 与 x2qxp0 只有一个公共根，则(pq)1999 3、设 a,b 是整数，方程 x2axb0 有一个根为74 3 ，则 ab =_( 全国通讯赛试题 )4、用 x表示不大于 x 的最大整数，则方程x22 x30 解的个数为（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4个5、已知1| a |1 ，那么代数式1| a |（）aaA 、5B、5C、5D 、 5226、方程 x | x |

9、 3|x | 20 的实根的个数为（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个7、已知 x25x19910 ，则代数式 ( x2) 4( x1)21 的值为（）( x1)( x2)A 、1996B 、1997C、 1998D、19998、已知三个关于x 的一元二次方程 ax2bxc0, bx 2cxa 0, cx2axb 0 恰有一个公共实根，则a2b2c2）bcca的值为（abA 、0B、 1C、 2D、 3（全国初中数学联赛试题）19 8 3 ，求 x46x32x218x 23 的值 .9、已知 x2x8x15（“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程 x2| 2x1|40 ，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程(a 1)x2( a22) x (a22a) 0及 (b 1)x2(b22) x(b22b) 0（其中 a， b 为正整数）有一个公共根，求abba的值 .a