《线性代数与空间解析几何》课件

1、线性代数与空间解析几何哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲2007.9第二章 矩 阵1线性代数与空间解析几何哈工大数学系代数与几何教研室 矩阵的概念及运算可逆矩阵*矩阵的初等变换与初等阵矩阵的秩分块矩阵本章主要内容2矩阵的概念及运算本章主要内容21. 矩阵的定义由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表称为阶数为的矩阵.2.1.1.矩阵的概念2.1 矩阵的概念31. 矩阵的定义由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表称简记为当 m=n 时称为n 阶方阵. 矩阵同形它们行数和列数相同. 矩阵相等它们同形且对应元素相等.2.特殊矩阵 零矩阵: 方阵的行列式: 或.4简记为当 m=n 时称为n 阶方阵

2、. 矩阵同形它们行数和列 对角矩阵: 单位矩阵:E ,In 或 数(纯)量矩阵: 上三角矩阵:5 对角矩阵: 单位矩阵:E ,In 或 数(纯)量矩阵: 上 下三角矩阵: 行矩阵: 列矩阵:6 下三角矩阵: 行矩阵: 列矩阵:62.2 矩阵运算 矩阵的线性运算 矩阵的乘法运算 方阵的幂及行列式 的乘法公式 矩阵的转置72.2 矩阵运算 矩阵的线性运算 矩阵的乘法运算 方阵的幂 加 法:负矩阵:减 法: ( A与B 要同形).2.2.1 矩阵的加法: 运算性质:8 加 法:负矩阵:减 法: ( A与B 要同形).2.2. 运算性质:2.2.2 数乘9 运算性质:2.2.2 数乘9其中,则 2.2

3、.3 矩阵乘法10其中,则 2.2.3 矩阵乘法10 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数后列数.总结如下:11 可乘原则: 前列数=后行数.总结如下:11 运算性质:学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什 么熟知的运算规律.特别是乘法运算.(A是mn的矩阵) 12 运算性质:学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什(A是mn的设求 AB .解注意: 在这个例子中 BA 无意义.例113设求 AB .解注意: 在这个例子中 BA 无意义.例113则注意: 在这个例子中,虽然 AB 与 BA 均有意义

4、,但是AB 是 22 矩阵,而BA是 11 矩阵.例214则注意: 在这个例子中,虽然 AB 与 BA 均有意义,但设则注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵,但是 AB = 0.例315设则注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB例315设求 AB 及 AC.解注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C.这说明消去律不成立!例416设求 AB 及 AC.解注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB 总结一下矩阵乘法的一些反常性质:不满足交换律: 不满足消去律:可能有零因子: 如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换.17

5、 总结一下矩阵乘法的一些反常性质:不满足交换律: 不满足消祝 大 家 中秋节 快 乐预习2.3-2.4!18祝 大 家 中秋节 快 乐预习2.3-2.4!182.2.4 方阵的幂 AA有意义当且仅当A为方阵. 对于方阵相乘可以定义乘幂的概念: 因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于 同阶方阵A与 B, 一般运算性质:192.2.4 方阵的幂 AA有意义当且仅当A为方阵. 对矩阵多项式仍是方阵.设为A的矩阵多项式，A是方阵，则称20矩阵多项式仍是方阵.设为A的矩阵多项式，A是方阵，则称20 由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即2.2.5 方阵的行列式及乘

6、法公式21 由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成2.2.(行列式乘法公式)运算性质(定理2.1):设A, B, 为 n 阶方阵, k 为数, 则有22(行列式乘法公式)运算性质(定理2.1):设A, B, 例1 设A为3阶方阵, B为4阶矩阵, 且|A|=3, | B |=-2, 则|B| A|= .解 |B| A|=|-2A|=(-2)3| A |=(-8)3=-24.例2 设A为n阶矩阵, k为非零常数,则 |-k A|= . (A) k| A | (B) k| A | (C) (-1)nk n| A | (D) kn| A |-24 23例1 设A为3阶方阵, B为4阶矩阵, 且|A|

7、=3,解 定义称为A的转置矩阵.2.2.6 矩阵的转置24 定义称为A的转置矩阵.2.2.6 矩阵的转置24 运算性质25 运算性质25 特殊矩阵对称矩阵: AT =A反对称矩阵: AT = - A26 特殊矩阵对称矩阵: AT =A反对称矩阵: AT = - 2. 矩阵与行列式有什么区别?问题:272. 矩阵与行列式有什么区别?问题:27本节主要内容 逆矩阵的定义 可逆的条件 伴随矩阵2.3 逆 矩 阵28本节主要内容 逆矩阵的定义 可逆的条件 伴随矩阵2.3 在解方程 ax=b 的时候,如果 a 0, 等式两边同乘以 a-1, 得 x=a-1b . 线性方程组 AX=b, 能否在一定条件下

8、引进 A-1 的概念,使得解为 X = A-1b ?由a-1 a=1想到 A-1A= E.问题的提出: A应当满足什么条件?如何定义A-1 ?29 在解方程 ax=b 的时候,如果 a 0,定义 A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B, 使 AB = BA = E 则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵. 记作B = A-1.2.3.1 逆矩阵的定义注 定义中矩阵 A 与B的地位是相同的, 如果 A可逆,且B是 A的逆,则B也可逆, 且A 也是B的逆,即A与B互逆.30定义 A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B, 使2.3.1 问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵, 哪些是不可逆阵 ? 1. E-1=E2.

9、 当 k1k2kn0 时,有:31问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,1. E-1=E2.性质若矩阵A可逆,则A的逆矩阵唯一.证设B, C都是矩阵A的逆矩阵,则有32性质若矩阵A可逆,则A的逆矩阵唯一.证设B, C都是矩阵A的可推广至有限个积可逆阵还具有如下性质: A,B 可逆33可推广至有限个积可逆阵还具有如下性质: A,B 可逆33 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵? 如何求一个可逆矩阵的逆矩阵?复习行列式的展开性质若A, B可逆,而A+B 不一定可逆， 即使可逆即乘法的消去律成立.可以推出当A可逆时,由34 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵?复习行列式的展开性质若伴随矩阵: A为n 阶方阵

10、2.3.2 可逆的条件35伴随矩阵: A为n 阶方阵2.3.2 可逆的条件35称为矩阵A的伴随矩阵. A* 是用方阵A的元素的代数余子式 组成的矩阵. 36称为矩阵A的伴随矩阵. A* 是用方阵A的A A= AA =AEAA(A)=( A)A =E引理2.1 (基本公式)A为n阶方阵37A A= AA =AEAA(A)=( 设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则 1. A 可逆A02. A 可逆时, A-1=定理 2.2从而 |A| 0.必要性得证.证若A可逆,则38设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则 1. A 可逆A故矩阵A可逆,且 在|A| 0时,若 |A| 0, 则由 也可逆39故矩

11、阵A可逆,且 在|A| 0时,若 |A| 0, A= 0 时, 称 A 为奇异阵A0 时, 称 A 为非奇异阵40 A= 0 时, 称 A 为奇异阵A0 时, 称例1讨论并求 2 阶矩阵的逆矩阵解 当时A 可逆, 利用伴随矩阵求逆矩阵41例1讨论并求 2 阶矩阵的逆矩阵解 当时A 可逆, 利用伴求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵 X, 解 A=-270,X =A-1B =还可以用初等变换求解例2其中42求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵 X, 解 A=-27解 设设,计算则例343解 设设,计算则例3434444 总结关于方阵 A :A 可逆 |A| 0 AA*=A*A=|A| E在|A| 0时,

12、求逆公式:45 总结关于方阵 A :A 可逆 |A| 0 AA*=A本节内容提要 矩阵的初等变换 矩阵的等价 矩阵的等价标准形2.4 矩阵的初等变换46本节内容提要 矩阵的初等变换 矩阵的等价 矩阵的等价标解线性方程组的过程中经常用到:问题的引入1.互换两个方程的位置.2.用一个非零常数乘某个方程.3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去. 这三种变换不改变方程组的解,且对应与矩阵的三种变换.47解线性方程组的过程中经常用到:问题的引入1.互换两个方程的位 矩阵的三种初等行变换: 换法变换: rirj 倍法变换：ri (0)ri 消法变换: krj+riri 矩阵的三种初等列变换： 换法变换:

13、cicj倍法变换：ci ( 0)ci 消法变换：kcj+cici 2.4.1 矩阵的初等变换48 矩阵的三种初等行变换: 换法变换: rirj 矩阵的三问题如果矩阵A 经过初等变换变为B , 那么A 与B 之间究竟有何种关系?定义 矩阵的三种初等行变换和三种初等 列变换统称为矩阵的初等变换.初等变换可逆.第三种初等变换保持行列式值不变.初等变换保持矩阵可逆性不变.A B记为49问题如果矩阵A 经过初等变换变为B , 定义 矩阵的三种 性质: 自反性A 与 A 等价;对称性若A 与B等价，则B与A等价;传递性若A与B等价，B 与C等价，则A与C等价. 初 若A B，则称A 与 B 等价.2.4.

14、2 矩阵的等价 A与B等价A与B同形且等秩.50 性质: 自反性A 与 A 等价;对称性若A 与B等价，则B2.4.3 矩阵的等价标准形定义 满足下面两个条件的矩阵称为行阶 梯形矩阵或阶梯形矩阵: (1)零行全部位于非零行下方; (2) 非零行的左起第一个非零元素的 列数由上至下严格递增. 例11.行阶梯形512.4.3 矩阵的等价标准形定义 满足下面两个条件的矩阵2.行最简形定义 如果阶梯形矩阵A满足: (1) 非零行左起第一个非零元素都是1; (2) 非零行左起第一个非零元所在列只有 一个非零元.则称A为行最简形矩阵.例2522.行最简形定义 如果阶梯形矩阵A满足:例2523.矩阵的等价标

15、准形定理3.3 任意矩阵A都与一个形如 矩阵等价.A的等价标准形定义 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 其余元素都是零 . 则称这个矩阵为 标准形 矩阵（唯一）. 533.矩阵的等价标准形定理3.3 任意矩阵A都与一个形如A的矩阵都是标准形矩阵. 用分块矩阵的表示方法,形如:54的矩阵都是标准形矩阵. 用分块矩阵的表示方法,形如:54结 论 1 任一矩阵A都可经初等行变换化成行阶梯形;2 任一矩阵A都可经初等行变换化成行最简形;3 任一矩阵A都可经初等变换化成标准形.A 行阶梯形行行A 行最简形A标准形初55结 论 1 任一矩阵A都可经初等行变换化成行阶梯形 3 2 3 4 5 93 1 0

16、2 1 50 1 3 2 6 106 4 6 8 12 243 2 3 4 5 90 1 3 2 4 40 0 0 0 2 60 0 0 0 0 01 0 -1 0 0 10/30 1 3 2 0 -80 0 0 0 1 30 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0行行列行阶梯形行最简形标准形E3 00 0=例3 化 简56 3 2 3 4 5 93 2 3 预 习 完 2.6(-) Bye!57预 习 完 2.6(-) Bye!57祝大家国庆节快乐预习2.4,2.5！58祝大家国庆节快乐预习2.4,2.5！58设A, B是三

17、阶方阵，则解例1由59设A, B是三阶方阵，则解例1由59 设A为3阶方阵, A*为A的伴随矩阵,且|A|=1/2, 则|(3A)-1 -2 A*|的值为( ). (A) 16/27 (B)- 4/3 (C) 5 (D) -16/27分析 已知条件涉及A*, 应该立即联想到公式A A*= A*A =|A|E，A还可逆,利用这个公式可以得到A*=|A| A-1. 解 |(3A)-1 -2A*| = |(1/3) A-1 -2|A|A-1| = |(1/3) A-1- A-1| =|(-2/3) A-1| =(-2/3) 3|A-1| =(-8/27)2 =-16/27例260 设A为3阶方阵,

18、A*为A的伴随矩阵,且|A设A是n 阶方阵，的伴随矩阵,试证:证由下面分三种情况讨论:(1)若则(2)若且则显然结论成立:有例361设A是n 阶方阵，的伴随矩阵,试证:证由下面分三种情况讨论:(3)若而下面证明反证:若则 可逆,所以这与 矛盾.62(3)若而下面证明反证:若则 可逆,所以这与 2.5 矩阵的秩本节内容提要 矩阵的秩的概念 矩阵的秩的求法632.5 矩阵的秩本节内容提要 矩阵的秩的概念 矩阵的秩2.5.1 矩阵的秩的概念定义 矩阵A的子方阵的行列式称为矩阵A 的 一 个子式. 1 子矩阵定义 划去A的某些行或列后剩下的元素， 按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的一 个子矩阵. 2 子

19、式642.5.1 矩阵的秩的概念定义 矩阵A的子方阵的行列式称为3 矩阵秩的定义A的非零子式的最高阶数r.记作: r(A)=r并规定: r(0)=0., 例23阶子式只有一个,且 ,所以r(A)=rA中存在一个r阶非零子式,但 其中任意r+1阶子式都等于零. r(A)=2. A的秩:653 矩阵秩的定义A的非零子式的最高阶数r.记作: r(A)4 运算性质若 A 是mn 矩阵，则1. 0 r(A)minm,n2. r(AT) = r(A)3. r(kA)=0 k=0r(A) k04. r(A1)r(A),(A1为 A的子阵) 664 运算性质若 A 是mn 矩阵，则1. 0 r(A)定理2.3

20、 初等变换不改变矩阵的秩.求法:A 行阶梯形阵初1.2.行阶梯形矩阵的秩=非零行的个数.2.5.2 秩的求法可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形 来求矩阵的秩.67定理2.3 初等变换不改变矩阵的秩.求法:A 注称A为行满秩.,称A为列满秩.n方阵A可逆,称A为满秩阵.68注称A为行满秩.,称A为列满秩.n方阵A可逆,称A为满秩阵.例1其中解1并求可求69例1其中解1并求可求6900思考7000思考70本节内容提要 初等矩阵与初等变换的关系 求逆矩阵的初等变换法 矩阵等价的充要条件2.6 初等矩阵71本节内容提要 初等矩阵与初等变换的关系 求逆矩阵的初等问题:为什么要引入“初等矩阵” 呢？ 如果对

21、于单位矩阵E进行一次初等变 换,它会变成什么样? 如果矩阵A经过一次初等变换变为B, 那么A与B间如何建立等量关系?72问题:为什么要引入“初等矩阵” 呢？ 如果对于单位矩阵E进定义 单位矩阵E经过一次初等变换所得 到的矩阵称为初等矩阵:2.6.1 初等矩阵的概念73定义 单位矩阵E经过一次初等变换所得2.6.1 初等矩阵1. (换法)交换单位矩阵E 的第 i 行与第 j 行 （或交换E 的第 i 列与第 j 列）:第i 行第j 行第i 列第 j 列741. (换法)交换单位矩阵E 的第 i 行与第 j 行第i第 i 行第 i 列2. (倍法)给单位矩阵 E 的第 i 行乘以非零数 ( 或给

22、E 的第 i 列乘以非零数 ):75第 i 行第 i 列2. (倍法)给单位矩阵 E 的第 i 3. (消法)将单位矩阵 E 的第 j行的 k 倍加到 第 i 行:第 j 行第 i 行第 i 列第 j 列 或看作是将 E 的第 i列的k 倍加到第 j 列.763. (消法)将单位矩阵 E 的第 j行的 k 倍加到第 j性质1初等阵可逆且逆还是初等矩阵.2.6.2 初等矩阵的性质77性质1初等阵可逆且逆还是初等矩阵.2.6.2 初等矩阵的性质 初等矩阵转置还是初等矩阵.性质3用初等矩阵左乘一个矩阵,相当于对它进行一次相应的初等行变换.用初等矩阵右乘一个矩阵,相当于对它进行一次相应的初等列变换.性

23、质278 初等矩阵转置还是初等矩阵.性质3用初等矩阵左乘一个矩阵,相例179算解 原式例282计算解 原式例282 对一般情况我们有:总结:83 对一般情况我们有:总结:83A B一次行存在相应初等阵P 使:PA=BA B一次列存在相应初等阵Q使:AQ=B 初等阵与一次初等变换的关系84A B一次行存在相应初等阵P 使:PA=BA A B行存在初等阵P1 P2Ps使:P1P2PsA=BA B列存在初等阵Q1 Q2Qt使:AQ1Q2Qt=B存在初等阵P1 P2Ps Q1 Q2Qt使:P1P2PsAQ1Q2Qt=B A B（ A B ）初初等阵与初等变换的关系85A B行

24、存在初等阵P1 P2Ps使:P1P2PsA(-) Bye!预习完 2.786(-) Bye!预习完 2.786*定理2.4A可逆 初等阵 使:证显然A可逆 A E初 仍是初等阵.即存在初等阵 P1P2PsAQ1Q2Qt=E使2.6.3 矩阵等价的充要条件r(A)=n( A可分解为初等阵的积)87*定理2.4A可逆 初等阵 设A, B都是mn阶矩阵,则AB m阶可逆矩阵P, n阶可逆矩阵Q 使证是初等阵之积,故可逆且使A B 初A B 令存在初等阵P1P2Ps AQ1Q2Qt=B使推论188设A, B都是mn阶矩阵,则AB m设A 是mn阶矩阵,P 是m阶可逆阵, Q 是n 阶可逆矩阵,则推论3

25、设A 是可逆矩阵, 则A E行因为初等变换不变秩.证 A可逆,则 使可逆,所以存在初等阵推论289设A 是mn阶矩阵,P 是m阶可逆阵, 推论3设A 是可逆由A可逆，有 说明A仅经过初等行(列)变换可化为 En . 完全相同的变换可以把 En化为 A-1 .2.6.4 求逆矩阵的初等变换法可得90由A可逆，有 说明A仅经过初等行(列)变换可化为 En .2由此可得到求逆矩阵的初等变换法:构造一个n(2n)矩阵:构造一个 (2n) n矩阵:行列*方法1方法291由此可得到求逆矩阵的初等变换法:构造一个n(2n)矩阵:构用初等行变换求矩阵A的逆矩阵:解先将A化为行阶梯阵,再化为单位阵例392用初等

26、行变换求矩阵A的逆矩阵:解先将A化为行阶梯阵,再化为单可验证93可验证93例4则 B =( ). (A) AP1P2 (B) AP2P1 (C) P1P2A (D) P2P1A94例4则 B =( ).94注 可用初等变换法求矩阵方程可逆方法为：行例5用初等变换法求矩阵方程其中95注 可用初等变换法求矩阵方程可逆方法为：行例5用初等变换法解故96解故96本节内容提要 分块矩阵的运算 分块矩阵的初等变换2.7 分块矩阵97本节内容提要 分块矩阵的运算 分块矩阵的初等变换2. 处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小 矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的 子块. 2.7.1

27、分块矩阵的概念定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵. 矩阵分块的三个原则: 体现原矩阵特点. 根据问题需要. 能够把子块看作元素进行运算. 98 处理有特点的大矩阵时需要进行分块2.7.1 分块矩阵的概念 加法: 原矩阵同形且分块方式相同 数乘: 分块方式任意2.7.2 分块矩阵的运算99 加法: 原矩阵同形且分块方式相同 数乘: 分块方式任意2. 乘法: AB =C ( Amp , Bp n ) A的列数 = B 的行数 A的列的分法 = B 的行的分法100 乘法: AB =C ( Amp , Bp n )10例1101例1101 转置:特别102 转置:特别102例2103例2103尤其要

28、注意AB = 0时的特殊情况:说明B 的每一列都是齐次线性方程组AX= 0的一个解. *例3A为一子块104尤其要注意AB = 0时的特殊情况:说明B 的每一列都是齐次(-) Bye!预习 2.8105(-) Bye!预习 2.81052.7.3 特殊的分块矩阵 分块对角矩阵如1062.7.3 特殊的分块矩阵 分块对角矩阵如106|A|=|A1| |A2| |As|Ai是方阵时，|Ai|0时,即Ai可逆时,A可逆107|A|=|A1| |A2| |As|Ai是方阵时，|Ai|108108Ai 是方阵时，|A|=|A1| |A2| |As|A可逆 |Ai| 0（i=1,2,s） 分块三角矩阵可逆

29、或109Ai 是方阵时，|A|=|A1| |A2| |As|A可逆本节内容提要 利用分块矩阵的初等变换求秩 分块矩阵的初等变换2.8 分块矩阵的初等变换 分块初等阵110本节内容提要 利用分块矩阵的初等变换求秩 分块矩阵的初 对分块矩阵同样可以引进初等变换和初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的一次初等变换,可以看作是关于元素的一批初等变换的合成.我们只以分成4块的情况简单解释.设2.8.1 分块矩阵的初等变换111 对分块矩阵同样可以引进初等变换和设2.8.1 分块矩阵定义 下面三种针对分块矩阵M 的变形, 统称为分块矩阵的初等变换: 初等行变换 初等列变换(1)换法:(2)倍法: (3)消法:

30、 这里要假定运算满足可行性原则. 为什么要求P 可逆?可逆矩阵112定义 下面三种针对分块矩阵M 的变形, 这里要假定运算满分块初等阵分块单位阵一次初等变换2.8.2 分块初等阵换法:倍法:消法:113分块初等阵分块单位阵一次初等变换2.8.2 分块初等阵换法 分块初等变换不改变分块阵的秩. 消法分块初等变换保持行列式值不变. 用分块初等变换求逆. 对分块阵进行一次初等行(列)变换,相当 于对原矩阵进行一系列初等行(列)变换. 分块行分块列114 分块初等变换不改变分块阵的秩. 消法分块例1 求 其中A，B 可逆.解行行行115例1 求 其中A，B 可逆.解设 A, B 都是可逆方阵, 则有下列公式