波动光学方法

1、 波动理论是一种比几何光学方法更为严格的分析方法，其严格性在于： (1)从光波的本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场的场分布,具有理论上的严谨性； (2) 未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模和多模光波导。波动光学方法1分析思路2分离变量电矢量与磁矢量分离: 可得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；时、空坐标分离: 亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空间坐标纵、横分离：波导场方程，是关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(

2、x,y)和H(x,y)切向分量要连续。3用纵向场表示横向场4波导场方程 波导场方程： 波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程。当给定波导的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”。5模式的基本特征每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波；每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件；模式具有确定的相速群速和横场分布。模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。6数学表达式：物理意义：光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸）相互正交，模

3、式独立载运光能量，光波场总功率等于各个模式携带功率的迭加；光波导实际场分布可以表示为各个模式本征函数的迭加。模式正交归一性7模式命名根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否，可将模式命名为： (1)横电磁模(TEM)： Ez0，Hz0； (2)横电模(TE)： Ez0，Hz0； (3)横磁模(TM)： Ez0，Hz0； (4)混杂模(HE或EH)：Ez0，Hz0。8平面光波导中的场分布Ey,Hx,HzHy,Ex,Ez波导场方程：场分量：TE模式: TM模式:n1n3n2d折射率：覆盖层、芯区、衬底分别为：9场分布特点禁区： bn1k0导模： n1k0 b n3k0 c210，传播场 c22, c2

4、3 b n2k0 c220，传播场辐射模： n2k0 b 0 c21，c22 ，c23 0，传播场10归一化工作参数芯区：衬底：覆盖层：归一化频率：11导模(TE)本征解覆盖层：x0Ey=Aexp(-W2x/d)芯区： -dx0Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d)衬底： x-dEy= (AcosU-BsinU)exp(W3(x+d)/d纵向：Hz=(j/wm0)(dEy/dx)12对称平板波导的本征值方程边界条件：TE模式: Ey,Hz在上下界面连续； TM模式: Hy,Ez在上下界面连续。TE模的本征值方程：场分布奇对称：场分布偶对称：对称平板波导：n2=n3。13模式分析平板波

5、导的特征方程都是超越方程，一般只能用数值方法求解。对称波导的特征方程可以用图解法求得近似解。关系式：U2 +W2 = V214条形光波导15由波导场方程求取Ez由纵横关系式求取横向场分量由边界条件获得本征值方程由本征值方程求取本征值场求解思路16各区域本征值17本征值方程Exmn模式Eymn模式18模式场分布Exmn模：Ex(x,y)=E1sin(xmp/2a) sin(ynp/2d)Ex11模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a) sin(yp/2d)Ex21模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a) sin(yp/2d)Ex12模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a) sin(yp

6、/d)Ex22模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a) sin(yp/d)(0 x2a; 0y2d)m代表x方向亮斑数目；n代表y方向亮斑数目19光纤中模式的初步分析当采用波动理论来分析光波在光纤中的传输时，须求解波导场方程。其方法是首先求出纵向场分量Ez和Hz，然后利用纵横关系式求出场的横向分量。在园柱坐标系中，Ez和Hz满足的波导场方程为：20分离变量 代入波导场方程得到：21模式分类判据当G2(r)0时为正弦函数形式，对应于“驻波场”或“传播场”；当G2(r)0 时为衰减指数形式, 对应于“衰减场”或“消逝场”。 在传播场与消逝场的交界处,有 G2(r)0。22导模23辐射模24漏模2

7、5两种方法的比较导模：约束光线漏模：隧道光线辐射模：折射光线TE/TM模：子午光线HE/EH模：倾斜光线26阶跃折射率光纤中的场解数学模型圆柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析27数学模型数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。28波导场方程与解的基本形式 六个场分量：Er，E，Ez，Hr，H，Hz。 但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。波导场方程：解的基本形式：29贝塞尔方程及其解纵向场分量满足：贝塞尔方程

8、贝塞尔方程的解：第一类和第二类贝塞尔函数：Jn，Nn。第一类和第二类汉克尔函数：Hn(1)，Hn (2)。第一类和第二类变态汉克尔函数：In，Kn。30场解的选取依据：导模场分布特点：在空间各点均为有限值；在芯区为振荡形式，而在包层则为衰减形式；导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式：Jn呈振荡形式，Kn则为衰减形式。本征解选取：在纤芯中选取贝赛尔函数Jn，在包层中选取变态汉克尔函数Kn。3132333435本征解的确定纤芯(0ra)：横向分量由纵向分量确定。36本征值方程的导出边界条件：在r = a, Ez, Hz, Ef, Hf 连续EIz|a = EIIz|a :AJn(U)-CKn(W

9、)=0HIz|a = HIIz|a :BJn(U)-DKn(W)=0EIf|a = EIIf|a :HIf|a = HIIf|a :确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD系数行列式为零，即可导出本征值方程。37本征值方程又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与相联系,因此它实际是关于的一个超越方程。当n1、n2、a和0给定时, 对于不同的n值,可求得相应的值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本征值方程可以有多个不同的解nm(n=0,1,2,3. m=1,2,3.),每一个nm都对应于一个导模。38归一化工作参数归一化工作频率：归一化横向传播常数：归一化横向衰减常数：有

10、效折射率：归一化工作参数：39贝塞尔函数递推公式(I)微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：40贝塞尔函数递推公式(II)微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：41模式分类的物理意义偏振特性: TE模与TM模是偏振方向相互正交的线偏振波;HE模与EH模则是椭圆偏振波, 其中HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合右手定则),EH模偏振旋转方向则与光波行进方向相反；场强关系: EH模电场占优势,而HE模磁场占优势;(Ez,Hz)(Et,Ht),模式近似为横场分布；相位关系: EH模的Hz分量超前于Ez90,HE模的Hz分量落后于Ez90。42色散曲线色散曲线结构参数给定的光纤中,模式

11、分布是固定的。可根据本征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数与光纤归一化频率V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲线分析图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数。给定V值, V=Vc, 则Vc越大导模数越多;反之亦然。当Vc2.405时, 在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止, 为单模传输;43模式数目给定 V 值，阶跃折射率光纤中的导模数目近似等于V2/2, 所含精确模式可根据导模截止与远离截止条件确定。V模式导模总数0-2.4052.405-3.8323.832-5

12、.1365.136-5.5205.520-6.380.HE11HE21, TE01, TM01HE12, HE31, EH11HE41, EH21HE22, TE02, TM02.22+4=66+6=1212+4=1616+4=20.44单模工作条件单模条件:单模光纤尺寸:单模光纤截止波长:单模光纤截止频率:仅当波长大于截止波长时方可在光纤中实现单模传输。这时，在光纤中传输的是HE11模，称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均为2.405。45模式本征值模式的截止与远离截止: 临近截止: W=0 , 场在包层中不衰减远离截止: W, 场在包层中不存在截止与远离截止条件: 模式临近截止远离截止TE0m(TM0m)J0(Uc)0J1(U)0HElm Jl-2(Uc)0Jl-1(U)0EHlm Jl(Uc)0 Jl+1(U)0*除了HE1m模式以外,U不能为零模式本征值: UcUU46弱导条件：n1n2 n光线与纤轴的夹角小；芯区对光场的限制较弱；消逝场在包层中延伸较远。弱导光的特点：HEl+1,m模式与EHl-1,m色散曲线相近；场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量；可以在直角坐标系中讨论问题可以得到简化的本征解与本征值方程。弱导光纤：线偏振模47线偏振模LPlm的场分量LPlm模只有四个不为零的场分量,可以是