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文档简介
1、近世代数第二章 群论 7陪集、指数和Lagrange定理 10/12/2022一、集合的积设 为群,是群 子集, 定义若，则 的两个非空 10/12/2022二、陪集的引入引例 整数加群，模4的剩余类：构成的一个分类：现利用群的观点，分析此分类的特点： 分类中存在一个特殊的类0是子群, 而其余的类都不是子群. 每个类正好是这个子群乘上这个类中任取定的一个元素.i=i+0. 10/12/2022三、子群陪集的定义 定义1 设,. 称群的子集和分别为在中的左陪集与右陪集.思考题1 若, 又设,那么“”成立吗?为什么?不一定是交换群,所以未必成立.答：由于 10/12/2022例1在中的全部不同的左
2、陪集有: 10/12/2022例1在中的全部不同的右陪集有: 10/12/2022四、陪集的性质及陪集分解 左陪集的性质及左陪集分解 2） 3） 4）1）群中每个元素属于且只属于一个左陪集，可以按照其子群的左陪集分类.的按照其子群的左陪集分类中除去外，再无子群因此群群存在. 10/12/2022定义2设是子群在群中的所有不同的左陪集，称等式为群关于子群的左陪集分解，而称为群的一个左陪集代表系.关于子群 10/12/2022右陪集的性质及右陪集分解1） 2） 3） 4） 10/12/2022五、右陪集与左陪集的对应关系 定理 1设，则群陪集含有相同个数的元素；且在中是到的一一映射;是,则是到映射
3、.的任何两个证明 集的个数与右陪集的个数相同.左陪到的一一映射;,的一一 10/12/2022由定理1知，即是群关于子群的一是群的一个右陪集代表系.个左陪集代表系，则关于子群 10/12/2022思考题2？（）（）？ 10/12/2022六、指数和Lagrange定理 定义 3称群的子群的不同左(右)在中的指数.陪集的个数(有限或无限)为记作定理 2 (Lagrange定理)有限群，则.例1中 10/12/2022Lagrange定理证明证明 因为, 所以也是有限群，且由定理1, 且所以, 在中左陪集的个数也有限. 设从而 10/12/2022推论推论1有限群子群的阶整除群的阶.的任一元素的阶
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