高中三角函数知识点与常见习题类型解法

1、11:1三角函数知识点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数:(1)弧长公式：laR R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。(2)扇形的面积公式:1S 1lR2为圆弧的半径,l为弧长。(3)同角三角函数关系式:倒数关系： tan a cot a倒数关系： tan a cot a商数关系:, sin atana cosa, cosa cot asin a(4)平方关系：sin2 a cos2 a(4)x函数sin xcosxtanxcotxasinacosatanacot a2 asinacosatan acot a-a 2cosasinacot atan a所谓奇偶指的是整数 k的奇偶

2、性;诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)一 k22、两角和与差的三角函数:(1)两角和与差公式：cos()cosacos sin asinsin(a) sin a cos cosasintana(a) cos()cosacos sin asinsin(a) sin a cos cosasintana(a) tana tan1 tan a tan公式的逆用或者变形】(2)二倍角公式:sin2a2sinacosacos 2acos 2a2.22 c 2cos a sin a 1 2sin a 2costan 2a2 tan a1 tan a从二倍角的余弦公式里面可得出：降哥公式:cos2 a1 c

3、os 2asin2a 1cos2 a2(3)半角公式(可由降骞公式推导出).一 a sin 21 cosaa cos21 cosatan2cosacosasin a1 cosa1 cosasin a3、三角函数的图像和性质：（其中k z）三角函数y sin xycosxytanx图像iyLI yLiN )-%,r口Ji1J*QHK*(定义域(-oo, +oo)（-0c,+0)xk22值域-1,1-1,1(-oo, +oo)最小正周期T 2T 2T奇偶性奇偶奇单调性2k-,2k-单调递增2 ,2(2k 1) ,2k 单调递增(k5k1）单调递增2k-,2k二单调递减22(2k ,(2k 1)单调

4、递减对称性对称轴：x k2对称中心：（k ,0）对称轴：x k对称中心：（k2,0)对称中心：J0)零值点xkxk2xk最值点xx2k, ymax122k, ymax12x :x (2 k , y max2k 1) ,y1max1无4、函数 y Asin(x）的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如y Asin（ x）图像及性质）(1)函数 y Asin( x )和 y Acos(x)的周期都是T2 n(2)函数 y Atan( x )和 y Acot(x)的周期都是Tn（3）五点法作y Asin（ x）的简图，设t及对应的y值再描点作图。x ,取0、一、 、232、2来求相应x的值以提倡先

5、平移后伸缩。切记每一，卜变换总是对字（4J天 J 1松伸二佰工供口共伸经失 闺蚁干核1甲而工供）母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。11、已知 tanx 2 ,求 sin x, cosx 的值.【函数的平移变换】 y f (x)y f (x a)(a 0)将 y【函数的平移变换】 y f (x)y f (x a)(a 0)将 yf(x)图像沿x轴向左(右)平移 a个单位(左加右减) y f (x) y f (x) b(b 0)将 yf(x)图像沿y轴向上(下)平移 b个单位(上加下减)【函数的伸缩变换】 y f (x) y f (wx)(w 0)将 y y f (

6、x) y f (wx)(w 0)将 y短，0 w 1伸长) y f (x) y Af(x)(A 0)将 y1，f (x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 一倍(w 1缩 wf(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A 1伸长，0 A 1缩短)【函数的对称变换】 y f (x)y f( x)将y f(x)图像绕y轴翻折180 (整体翻折) y f (x)(对三角函数来说：图像关于 x轴对称)y f (x) y f (x)将y f(x)图像绕x轴翻折180 (整体翻折)；(对三角函数来说：图像关于y轴对称)yf (x)y f (x)将yf(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧

7、(偶函数局部翻折)；yf (x)y f(x)保留y f (x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动)5-方法技巧一一 三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换：特别是用“1”的代换；如 1 sin 2 a cos2 a tan x cot x tan 45 等。(2)项的分拆与角的配凑。 TOC o 1-5 h z 222222如分拆项：sin a 2cos a (sin a cos a) cos a 1 cos a；配凑角：()；等。 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 22(3)降次与升次；切化弦法。(4)引入辅助角。y a

8、sin bcosVa2 b2 sin( ) 、a2 b2 cos( )，这里辅助角所在象限由b .a、b的符号确te,角的值由tan一确te。a【典型例题】：3310解：因为 tan x sin x 2 ,又 sin2 a cos2 a 1 , cosx联立得sin x 2cosxsin2 x2cos x2,5,55sin xcosx3-10丁10记sin xcosx3 102,5,55sin xcosx3-10丁10记sin xcosx3 10而10而所以 sin xcosx310法二：因为sin x cosxsin x cosx2, TOC o 1-5 h z 25 HYPERLINK l

9、 bookmark125 o Current Document sin x sin x解这个方程组得5,5 cosx cosx 52 求 tan( 120)cos(210)sin( 480 )的值 tan( 690 )sin( 150 )cos(330 )解 原式 tan( 120 180 )cos(18030 )sin( 360 120 ). * tan( 72030o)sin( 150 )cos(36030 )3，. 3.tan60 ( cos30 )( sin120 ) tan30 ( sin150 )cos303，. 3.c sin x cosx3、右2,求 sin xcosx 的值.

10、sin x cosx解：法一：因为 sinx c0sx 2, sin x cosx所以 sin x cosx 2(sin x cosx)得至1 sinx3cosx ,又sin2 a cos2 a 1,联立方程组，解得所以 sin x cosx 2(sin x cosx),所以(sin x cosx)2 4(sin x cosx)2,所以 1 2sinxcosx 4 8sin xcosx,所以有sinxcosx444、求证：tan2 xsin 2 x tan2 x sin2X。证明： 法一：右边= tan2 x sin2,一2x tan x(tan2 xcos2 x),222.2tan x(1

11、cosx ) tan xsin x ；法二:左边=tan2 x sin2.2x tanx (1 cos2 x)tan2x tan22xcosx，一 222.2tan x(1 cosx ) tan xsin x5、求函数yx2sin( 一2冗、-）在区间0,2 6上的值域。解：因为,所以由正弦函数的图象，得到x 冗y 2sin(2 6)216、求下列函数的值域.2(1) y sinx cosx2;解：（i）2y sin x=1 cos2x2sin( 21,22 sin xcosx(sin x cosx)cosx 2x cos x 2(cos2 x cos x) 3cosxit 1,1, y21

12、2 131 2 13(t t) 3 (t 2)z (t -)713利用二次函数的图象得到y 1,13.(2) y 2sinxcosx (sin x cosx)2=(sin x cosx) 1 (sin x cosx)令 t sinx cosx J2 sin(x /)，则 t J2,V245则y t2 t 1,利用二次函数的图象得到y ,1 J2.47、若函数y=Asin( 3x +()( w 0,巾0)的图象的一个最高点为(2, J2),它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6, 0),求这个函数的一个解析式。1解：由最高点为(2,J2),得到A J2,最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x

13、轴交点的间隔是 -4 TOC o 1-5 h z 我一一 、 ， ，1T1 一冗个周期，这样求得 -4,T=16,所以 - HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 48又由 亚 V2sin( 2),得到可以取一.y 2 2 sin(x ). HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 84848、已知函数 f (x)=cos 4x 2sin xcosx sin 4x. .1 sin x(I )求f(x)的最小正周期；(阴若* 0,求f (x)的最大值、最小值.数 y 的值域.23 cosx解：(I)因为 f (

14、x)=cos 4x 2sin xcosxsin4 x=(cos2xsin 2x)(cos 2x + sin 2x) sin2 x(cos2 x sin2 x) sin 2x cos2x sin 2x 、2 sin( 2x)2 sin(2x )44所以最小正周期为（阴若x 0,白则4）二处,所以当x=0时，f（x）取最大值为sin（阴若x 0,白则4）4 448f （x）取最小值为22.9、已知 tanJ2,求（1）cos sin;(2) sin2cos sin2sin . cos 2 cos 的值.cos sin解：(1)cossin( sin1cossin1 tan1 tancos2(2)

15、sinsin cosf （x）取最小值为22.9、已知 tanJ2,求（1）cos sin;(2) sin2cos sin2sin . cos 2 cos 的值.cos sin解：(1)cossin( sin1cossin1 tan1 tancos2(2) sinsin cos22cos2sin sin cos-2sin cos2 cos22 sin2- cossinsincos22 cos说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） 程简化。,进行弦、切互化，就会使解题过10、求函数 y 1 sin x cosx (sin x cosx)2 的值域。解：设tsin x cos

16、xV2sin(x -)t2 t 1 (t2)22时,ymax43 ,因为t4.2,当 tJ2,旧,则原函数可化为123二时，ymin 二，24所以，函数的值域为3,3 V2 o41111、已知函数f(x) 4sin2x 2sin2x 2, x R ； (1)求f (x)的最小正周期、f(x)的最大值及- 一-TT此时x的集合；(2)证明：函数f(x)的图像关于直线x 对称。8解：f(x) 4sin2 x 2sin 2x 2 2sin x 2(1 2sin2 x)2sin 2x 2cos2x 2,2sin(2x -)4(1)所以f(x)的最小正周期T兀，因为x R,一- 一- TT -TT所以，

17、当2x - 2k，即x42k/口时，f(x)最大值为2J2；8(2)证明：欲证明函数(2)证明：欲证明函数f (x)的图像关于直线x一对称，只要证明对任意x R ,有 8- 冗- 冗，、f ( - x) f ( x)成立,88一一TT因为f( 一一TT因为f( x)82、.2sin2( - x) - 2、.2sin( - 2x)842f( 8x) 2，2sin2( 8x) 42.2sin( j 2x)272cos2x ,2 x/2 cos2x , ,冗 、 ,冗 、，冗、_ .所以f (x)f (一x)成立，从而函数 f(x)的图像关于直线x88冗 ,一对称。812已知函数y= cos2x+s

18、inx12已知函数y= cos2x+sinx22 cosx+1(xC R)(1)当函数y取得最大值时，求自变量 x的集合；(2)该函数的图像可由 y=sinx(x C R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?AA、1BC、3D、2解：(1) y=1 cos2x+ -3-sinx cosx+1= 1 (2cos 2x 1)+ 1 +2L3 (2sinx cosx) +1= 1cos2x+ 2-3 sin2x+5 1 ，_=_(cos2x sin +sin2x41 .=sin(2x+24-)+564cos -)+ -64所以 y 取最大值时，只需 2x+ =+2kTt, (kCZ),即 x= +k

19、 % , (kCZ)。所以当函数y取最大值时，自变量 x的集合为x|x= -+kTt ,k Z（2）将函数y=sinx依次进行如下变换:（i ）把函数y=sinx的图像向左平移 一，得到函数y=sin（x+ 一）的图像;图像;（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+ 一）的图像;214-倍2（横坐标不变）6,得到函数 y= sin（2x+ 一）的,一-一.，一，5 * -.（iv ）把得到的图像向上平移 5个单位长度，得到函数4y=1 sin(2x+25 ，一）+ 5的图像。64综上得至U y=

20、 cos22. 3 .x+ sinxcosx+1的图像。、选择题:1、(08 全国 6) y2(sin x cosx)A、最小正周期为2那偶函数B、最小正周期为2兀的奇函数C、最小正周期为%的偶函数最小正周期为冗的奇函数2、（08全国一 9）为得到函数 ycos-的图象，只需将函数 y3sin x的图像（A向左平移工个长度单位6C向左平移壁个长度单位B、向右平移向右平移63、(08 全国二 1)若 sin工个长度单位6切个长度单位6A、第一象限角4、（08全国二10）.函数0且 tan0是，则 是B、第二象PM角G第三象限角第四象限角f （x） sin x cosx的最大值为（114、(。8卷

21、4) tanx cotx coJ x()5、( 08 卷 8)函数y sin（2x 一）图像的对称轴方程可能是（3B、 x12x 126、( 08 卷 7)函数y=cosx（x C R）的图象向左平移一个单位后，得到函数2y=g（x）的图象,g（x）的解析式A -sin xB 、sin x、-cos xcosx7、（08卷5）已知函数f （x）（12cos2x)sinx, x R ,则 f (x)是(A、最小正周期为的奇函数、最小正周期为的奇函数2C最小正周期为的偶函数、最小正周期为的偶函数28、（08卷11）函数f (x) cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（-3, 1B、- 2,G

22、 -3,32D、2,9、（08卷7）将函数y sin(x )的图象F向右平移一个单位长度得到图象3F,若 F的一条对称轴是直线x ,则的一个可能取值是（1210、(08 卷 6)函数f (x)512sin x11121112sin x2sinfA、以4为周期的偶函数为周期的奇函数C、以2为周期的偶函数为周期的奇函数11、若动直线x a与函数f(x)sin x和 g(x)cosx的图像分别交于 M , N两点，则MN的最大值为12、（08 卷 10）已知 cossin7jt6的值是（B、D、13、 08 卷1) sin330A、A、 tanxSn sinxCo cosxD、 COtX1515、（

23、08卷6）把函数ysin x（x R）的图象上所有的点向左平行移动一个单位长度，再把所得图象3上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,得到的图象所表示的函数是（A 、y sin2xsiny sin2xsin2x16、（08 卷 9）.5sin 7cos7c tan2-7B、 a17、（08 卷 2）函数（sin x、2cosx）1的最小正周期是（17、（08 卷 2）函数（sin x、2cosx）1的最小正周期是（3218、（08 卷 7）在同平面直角坐标系中,函数x 3co丐万）（x1 ,、0,2 ）的图象和直线y 的交 2点个数是（A、0二、填空题19、（08 卷 9）若角的终边经过点

24、P（1, 2）,则tan2的值为19、（08 卷 9）若角的终边经过点P（1, 2）,则tan2的值为20、（08 卷 1）cosx 的最小正周期为一，其中 0 ,则6521、（08 卷 16）。,一2,则函数y 闲x 1的最小值为sin 2x22、（08 卷 12）若 sin（）则 cos2+sin（ 2+x）的最大值是23、（08 卷 6）函数 f（x+sin（ 2+x）的最大值是24、（08卷17）求函数y 7 4sin xcosx 4cos2 x 4cos4x的最大值与最小值。25、(08卷15)已知函数f(x) sin2 x 73sin xsin x (0)的最小正周期为冗；(I)2

25、, ，一,一 2 1r ，求 的值；(n)求函数f(x)在区间0,2上的取值围.326、(08卷17)已知函数f(x) 2co s2 x 2sin xcos x 1( x R,0)的最小值正周期是 一；2(i)求 的值；(n)求函数f (x)的最大值，并且求使 f (x)取得最大值的x的集合.27、(08 卷 17)已知函数 f (x) cos(2x ) 2sin( x )sin( x ),344(i)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(n)求函数f(x)在区间一,一上的值域12 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark208 o Current D

26、ocument x xx HYPERLINK l bookmark210 o Current Document 28、(08 卷 17)已知函数f(x) 2sin-cos-2j3sin晶.444.一 _ . 它 (I)求函数f(x)的最小正周期及最值；(n)令g(x) f x -,判断函数g(x)的奇偶性，并3说明理由.参考答案:一、选择题：1 10: D、C C B、B、A、D、C 9、A、A;1120: 11、G 13、B、14、D 15、C 16、D 17、B 18、C;二、填空题： TOC o 1-5 h z 19、420、10 21 、V322 、工 23、2。 HYPERLINK

27、l bookmark214 o Current Document 325三、解答题：24、 解： y 7 4sin xcosx 4cos2x 4cos4 x HYPERLINK l bookmark182 o Current Document 227 2sin 2x 4cos x 1 cos x HYPERLINK l bookmark198 o Current Document 2. 27 2sin 2x 4cos xsin x27 2sin 2x sin 2x21 sin 2x 6 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark101 o Current Docume

28、nt 22由于函数z u 16在 1,1中的最大值为：zmax1 16 102最小值为：zmin1 16 6故当sin 2x 1时y取得最大值10,当sin 2x 1时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降哥，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的围是关键;25、解：(I) 25、解：(I) f (x)1 cos 2 x 3 . sin 2 x22- sin 2 x 1cos2 x 22. o冗sin 2 x 一 6因为函数f(x)的最小正周期为 冗，且 0,2所以2冗，解得 1.2 TOC o 1-5 h z _1(n)由(I)得 f(x) sin 2x -. HYPERLINK l bookmark142 o Current Document 62 冗- 冗7 7t1冗/所以一 W2x- ，所以 一0 sin 2x - 1 ,6662613 3一一 一TT因此 00 sin 2x 61 一一 一TT因此 00 sin 2x 6 HYPERLINK l bookmark18 o Current Docume