(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点17《 点、直线、平面之间的位置关系》解析版

1、考点17 点、直线、平面之间的位置关系（核心考点讲与练）空间中的平行关系1.平行直线(1)平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4(空间平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线

2、平行a，a，bab3.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab空间中的垂直关系1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言

3、判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直eq blc rc(avs4alco1(a,b,abO,la,lb)l推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面eq blc rc(avs4alco1(ab,a)b推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq blc rc(avs4alco1(a,b)ab2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)范围：eq blcrc(avs

4、4alco1(0，f(,2).3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直eq blc rc(avs4alco1(l,l

5、)性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq blc rc(avs4alco1(,l,a,la)l1.异面直线的判定方法2.求异面直线所成的角的三步曲3线面平行的证明方法（1）定义法：一般用反证法；（2）判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面4构造平行直线的常用方法（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；（2）构建平行四边形：可以利用已知

6、的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线)，从而构建平行四边形应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面5.判定平面与平面平行的4种方法（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；（2）面面平行的判定定理(主要方法)；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(

7、客观题可用)利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决6.证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质7.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明空间两直线位置关系的判定1.（2021重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测）已知直线 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF

8、 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，那么“ SKIPIF 1 0 ”是“ SKIPIF 1 0 ”（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据线面的位置关系可直接判断出结论.【详解】因为由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 或l与m 异面，由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，所以“ SKIPIF 1 0 ”是“ SKIPIF 1 0 ”的既不充分也不必要条件故选：D 求异面直线所成的角1. (2021山东临沂模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面

9、互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_【答案】【解析】如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.答案：2.（2022河南省十所名校高三）如图，圆锥的底面直径 SKIPIF 1 0 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 SKIPIF 1 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 所成的角的余弦值为（ ）A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D. SKIPIF 1 0 【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标运算

10、结合异面直线的成角的范围即可求出结果.【详解】 在劣弧 SKIPIF 1 0 上取 SKIPIF 1 0 的中点 SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为圆锥的底面直径 SKIPIF 1 0 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF

11、1 0 ,则 SKIPIF 1 0 ，因为异面直线的成角范围为 SKIPIF 1 0 ，故异面直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 0 .故选：C.直线与平面、平面与平面平行的判定与性质1.（2021海南省三亚华侨学校高三10月月考）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CC1的中点，（1）证明：直线AE/平面DCC1D1（2）求异面直线AE和BF所成角的余弦值.【答案】（1）证明过程见详解 （2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，证明 SKIPIF 1 0 ，然后

12、利用线面平行的判定定理即可证明 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 或其补角为异面直线AE和BF所成角，利用余弦定理求出异面直线所成角的余弦值即可【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，在正方形 SKIPIF 1 0 中，E、F分别是BB1，CC1的中点，所以 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，在正方形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，

13、所以四边形 SKIPIF 1 0 为平行四边形，则有 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 .（2）连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则在正方形 SKIPIF 1 0 中，因为E、F分别是BB1，CC1的中点，所以有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以四边形 SKIPIF 1 0 为平行四边形，则有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 或其补角为异面直线AE和BF所成角设正方体边长为2，

14、则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由于异面直线所成角为锐角或者直角所以异面直线AE和BF所成角的余弦值为 SKIPIF 1 0 2.（2022年高考数学一轮复习讲练测）如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：（1）BE平面DMF；（2）平面BDE平面MNG.【分析】（1）作辅助线，由中位线定理以及线面平行判定定理证明即可；（2）先证明BD平面MNG，DE平面MNG，再由面面平行的判定定理证明即可.【详解】证明：（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO

15、为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质1.（2022河南省联考高三核心模拟卷）在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

16、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中点.（1）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求三棱锥 SKIPIF 1 0 的体积答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 0 .【分析】（1）由余弦定理求得 SKIPIF 1 0 ，由面面垂直的性质定理得 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 垂直，从而得线线垂直，求得 SKIPIF 1 0 ，等腰三角形性质得线线垂直后可证得线面垂直；（2）通过转换法求得体积， SKIPIF 1 0 ，然后

17、由体积公式计算【详解】（1）证明：在四边形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 0 .在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .又平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

18、F 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 .又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .在 SKIPIF 1 0 中，可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是等腰三角形，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中点，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 又由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以

19、SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 .（2）解：由 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，可得点 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离是 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离是 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离的 SKIPIF 1 0 ，即点 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .2.（2022年高考数学一轮复习考点微专题）如图所示，在四边形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0

20、，将 SKIPIF 1 0 沿 SKIPIF 1 0 折起，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，构成四面体 SKIPIF 1 0 ，则下列说法正确的是（ ）A平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 B平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 C平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 D平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【答案】D【分析】在四边形 SKIPIF 1 0 中，由已知条件可得 SKIPIF 1 0 ，而在四面体 SKIPIF 1 0 中，由平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1

21、0 ，结合面面垂直的性质定理可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，从而有 SKIPIF 1 0 ，再由线面垂直的判定定理可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，再利用面面垂直的判定定理可得结论【详解】在四边形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 又在四面体 SKIPIF 1 0 中，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，且平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF

22、 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 故选：D3.（2022年高考数学一轮复习讲练测）如图所示，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD平面BCD求证：（1）CD平面PBD（2）平面PBC平面PDC【分析】(1)利用平面四边形ABCD证得BDDC，借助面面垂直的性质即可得解；(2)结合(

23、1)的结论及已知证得BP平面PDC，利用面面垂直的判定得解.【详解】（1）在平面四边形ABCD中，AD=AB，BAD=90，则ABD=ADB=45，又ADBC，即有DBC=45，而DCB=45，于是得BDC=90，在折后的几何体PBCD中，BDDC，因平面PBD平面BCD，平面PBD SKIPIF 1 0 平面BCD=BD，CD SKIPIF 1 0 平面BCD，所以CD平面PBD；（2）由(1)知CD平面PBD，PB SKIPIF 1 0 平面PBD，于是得CDBP，又BPPD，PD SKIPIF 1 0 CD=D，PD SKIPIF 1 0 平面PDC，CD SKIPIF 1 0 平面PD

24、C，则BP平面PDC，又BP SKIPIF 1 0 平面PBC，所以平面PBC平面PDC. 平行与垂直的综合问题1. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点（1）证明：DE平面ACC1A1；（2）若BB11，证明：C1D平面ADE【分析】（1）由线面平行的判定定理，只要证明DEA1C，就可证明DE平面ACC1A1（2）因为BB1平面ABC，由线面垂直的性质定理得，BB1AD，因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BCAD，所以AD平面B1BCC1，所以ADC1D，由勾股定理得C1DDB1，结合线面垂直的判定定理得C1D平面AD

25、E【详解】（1）连接A1B，A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，因为点E是AB1的中点，所以点E是A1B的中点，又因为点D是BC的中点，所以DEA1C，因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1（2）连接B1D，在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1平面ABC，AD平面ABC，所以 BB1AD，又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BCAD，又BCBB1B，所以AD平面B1BCC1，又C1D平面B1BCC1，所以ADC1D，由BC2，得BD1，又BB1CC11，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0

26、，所以C1DDB1，DB1 SKIPIF 1 0 ADD，所以C1D平面ADB1，即C1D平面ADE1.（2019年全国统一高考数学试卷（新课标）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为两个平面，则 SKIPIF 1 0 的充要条件是A. SKIPIF 1 0 内有无数条直线与 SKIPIF 1 0 平行B. SKIPIF 1 0 内有两条相交直线与 SKIPIF 1 0 平行C. SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平行于同一条直线D. SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透

27、直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断【详解】由面面平行的判定定理知： SKIPIF 1 0 内两条相交直线都与 SKIPIF 1 0 平行是 SKIPIF 1 0 的充分条件，由面面平行性质定理知，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 内任意一条直线都与 SKIPIF 1 0 平行，所以 SKIPIF 1 0 内两条相交直线都与 SKIPIF 1 0 平行是 SKIPIF 1 0 的必要条件，故选B【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0

28、”此类的错误2.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）如图，点 SKIPIF 1 0 为正方形 SKIPIF 1 0 的中心， SKIPIF 1 0 为正三角形，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 的中点，则A. SKIPIF 1 0 ，且直线 SKIPIF 1 0 是相交直线B. SKIPIF 1 0 ，且直线 SKIPIF 1 0 是相交直线C. SKIPIF 1 0 ，且直线 SKIPIF 1 0 是异面直线D. SKIPIF 1 0 ，且直线 SKIPIF 1 0 是异面直线【答案】B【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而

29、解决问题【详解】如图所示， 作 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ，过 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 连 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 均为直角三角形设正方形边长为2，易知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKI

30、PIF 1 0 ，故选B【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形3.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥 SKIPIF 1 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ，M为 SKIPIF 1 0 的中点，且 SKIPIF 1 0 （1）证明：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求四棱锥 SKIPIF 1 0 的体积【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）由 SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0

31、，又 SKIPIF 1 0 ，由线面垂直的判定定理可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）由（1）可知， SKIPIF 1 0 ，由平面知识可知， SKIPIF 1 0 ，由相似比可求出 SKIPIF 1 0 ，再根据四棱锥 SKIPIF 1 0 的体积公式即可求出【详解】（1）因为 SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SK

32、IPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）方法一：相似三角形法 由（1）可知 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 故四棱锥 SKIPIF 1 0 的体积 SKIPIF 1 0 方法二：平面直角坐标系垂直垂直法 由（2）知 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 建立如图所示的平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 0 因为 SKIP

33、IF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 从而 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 下同方法一. 方法三【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1

34、 0 ，即 SKIPIF 1 0 下同方法一. 方法四：空间向量法 由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在平面 SKIPIF 1 0 内，因此 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ，由于四边形 SKIPIF 1 0 是矩形，根据数量积的几何意义，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角

35、形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.一、单选题1（2022山东聊城二模）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线 SKIPIF 1 0 是底面所在平面内的一条直线，则该直线 SKIPIF 1 0 与母线所成的角的余弦值的取值范围为（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A

36、【分析】由侧面积与底面积的关系得出 SKIPIF 1 0 ，再由线线角的范围结合线面角的定义得出该直线 SKIPIF 1 0 与母线所成的角的余弦值的取值范围.【详解】设底面圆的半径为 SKIPIF 1 0 ，母线长为 SKIPIF 1 0 ，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，因为直线与直线所成角的范围为 SKIPIF 1 0 ，所以当直线 SKIPIF 1 0 与底面圆相切时，直线 SKIPIF 1 0 与母线所成角最大为 SKIPIF 1 0 ，则该直线 SKIPIF 1 0 与母线所成的角的余弦值的最小值为 SKIPIF 1 0 ；

37、当直线 SKIPIF 1 0 过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线 SKIPIF 1 0 与母线所成角最小，则该直线 SKIPIF 1 0 与母线所成的角的余弦值的最大值为 SKIPIF 1 0 ，即该直线 SKIPIF 1 0 与母线所成的角的余弦值的取值范围为 SKIPIF 1 0 .故选：A2（2022北京丰台二模）已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则下列结论中正确的是（）A若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 B若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIP

38、IF 1 0 C若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 D若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 【答案】B【分析】根据空间中线面、面面的判定定理与性质定理一一判断即可；【详解】解：由两条不同的直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与两个不同的平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，知：对于A，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 平行或 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相交

39、或 SKIPIF 1 0 ，故A错误；对于B，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则由面面垂直的判定定理得 SKIPIF 1 0 ，故B正确；对于C，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，故C错误；对于D，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，故D错误故选：B3（2022重庆八中模拟预测）已知三个平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIP

40、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则下列结论一定成立的是（）Ab，c是异面直线B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 Da与c没有公共点【答案】B【分析】因为 SKIPIF 1 0 两两相交，因此可以看作是三棱锥的三个面，作图分析即可.【详解】依题意作上图，对于A， SKIPIF 1 0 ，错误；对于B， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，正确；对于C， SKIPIF 1 0 ，故错误；对于D， SKIPIF 1 0 ，P点就是a，

41、c的公共点，错误；故选：B.4（2022江西二模（理）已知平面四边形ABCD中， SKIPIF 1 0 ，现沿BD进行翻折，使得A到达 SKIPIF 1 0 的位置，连接 SKIPIF 1 0 ，此时二面角 SKIPIF 1 0 为150，则四面体 SKIPIF 1 0 外接球的半径为（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【分析】取BD的中点E，连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，依题意可得 SKIPIF 1 0 即为二面角 SKIPIF 1 0 的平面角且 SKIPIF 1 0 ，即可 SKI

42、PIF 1 0 外接圆的圆心为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 外接圆的圆心为 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别作平面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的垂线，交于点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 即为四面体 SKIPIF 1 0 外接球的球心，再利用勾股定理求出外接球的半径即可.【详解】解：取BD的中点E，连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

43、 1 0 即为二面角 SKIPIF 1 0 的平面角，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 外接圆的圆心为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 外接圆的圆心为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别作平面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的垂线，交于点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 即为四面体 SKIPIF 1 0 外接球的球心.因为二面角 SKIPIF 1 0 的平面角为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0

44、.在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 即为外接球的半径 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故选：C.5（2022江西景德镇三模（理）已知正方体 SKIPIF 1 0 的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点，E、F分别是棱 SKIPIF 1 0 、棱 SKIPIF 1 0 的中点若 SKIPIF 1 0 平面BEF，则 SKIPIF 1 0 的最小值为（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A【分析

45、】根据线面平行求得点 SKIPIF 1 0 的轨迹，再结合几何关系，求 SKIPIF 1 0 的最小值即可.【详解】取 SKIPIF 1 0 中点分别为 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ，以及 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 如下所示：显然 SKIPIF 1 0 / SKIPIF 1 0 ，故平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 是同一个平面，又 SKIPIF 1 0 / SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 都在平面 SKIPIF 1 0 中； SKIPIF 1 0 / SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 面 S

46、KIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，故可得 SKIPIF 1 0 /面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 / SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，故可得 SKIPIF 1 0 /面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，故面 SKIPIF 1 0 /面 SKIPIF 1 0 ，又点 SKIPIF 1 0 在正方形 SKIPIF 1 0 ，故点 SKIPIF 1 0 的轨迹是线段 SKIPIF 1 0 ，故当且仅当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取得最小值；在 SKIPI

47、F 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 .故选：A.6（2022河北秦皇岛二模）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】D【分析】应用等体积法求 SKIP

48、IF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离，结合 SKIPIF 1 0 的长，即可求直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值.【详解】由题设， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 .又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF 1 0 上高为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .设 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF

49、1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 0 .故选：D7（2022湖南永州三模）中国古代数学瑰宝九章算术记录形似“楔体”的“羡除”所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体如图，在羡除 SKIPIF 1 0 中，四边形 SKIPIF 1 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为正三角形， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则羡除 SKIPIF 1 0

50、的体积为（）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【分析】作出辅助线，分割为一个三棱柱和两个相同的三棱锥，利用柱体和椎体体积公式进行求解.【详解】因为 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 所以EFAB，EFCD，因为四边形 SKIPIF 1 0 是边长为2的正方形，所以ABAD，过点A作AGEF于点G，连接DG，则AGAB，因为 SKIPIF 1 0 ，所以AB平面ADG，过点B作BHEF于点H，连接CH则AB平面BCH，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为正三角形，边长相等，所以羡

51、除 SKIPIF 1 0 被分割为三棱柱ADG-BCH和两个相同的三棱锥E-ADG和F-BCH，其中FG=FH=1，GH=AB=CD=2，由勾股定理可得： SKIPIF 1 0 ，取AD中点M，连接GM，则GMAD，由勾股定理得： SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故羡除 SKIPIF 1 0 的体积为 SKIPIF 1 0 故选：B8（2022浙江嘉兴二模）如图，已知正方体 SKIPIF 1 0 的棱长为 SKIPIF 1 0 ，则下列结论中正确的是（）若 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的动点，则

52、SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的动点，则三棱锥 SKIPIF 1 0 的体积为定值 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角的大小为 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的动点，则 SKIPIF 1 0 ABCD【答案】C【分析】连接 SKIPIF 1 0 ，利用面面平行的判定可证得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，由面面平行性质可知正确；根据中结论，利用体积桥的方式，由 SKIPIF 1 0 可

53、知正确；由面面平行知平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角即为平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角，根据二面角平面角定义知所求角为 SKIPIF 1 0 ，利用正切值可说明错误；根据线面垂直的判定可证得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，根据线面垂直性质知正确.【详解】对于，连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四边形 SKIPIF 1 0 为平行四边形， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， S

54、KIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，同理可得： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的动点，则 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，正确；对于，由知， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

55、 ，正确；对于，连接 SKIPIF 1 0 ，交 SKIPIF 1 0 于点 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角即为平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角， SKIPIF 1 0 四边形 SKIPIF 1 0 为正方形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 中点，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPI

56、F 1 0 即为平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角的平面角， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角不为 SKIPIF 1 0 ，错误；对于， SKIPIF 1 0 四边形 SKIPIF 1 0 为正方形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面

57、 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 上的动点，则 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，正确.故选：C.二、多选题9（2022辽宁葫芦岛一模）如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足 SKIPIF 1 0 平面ABC的是（）ABCD【答案】BC【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解【详解】解：对于A，如图所示，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为正方体的两个顶点，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1

58、0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四点共面，同理可证 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四点共面， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故A错误；对于B，如图所示， SKIPIF 1 0 为正方体的一个顶点，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，同理可证 SKIPIF 1 0 平面 S

59、KIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故B正确；选项C，如图所示， SKIPIF 1 0 为正方体的一个顶点，则平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故C正确；对于D，连接 SKIPIF 1

60、 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四点共面， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，与 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 相矛盾，故D错误故选：BC10（2022辽宁沈阳二模）在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，底面ABCD为梯形， SKIPIF 1 0 ，则（）A平面PAD内任意一条直线都不与BC平行B平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行C平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行D平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行【答案】ABD【分