数学分析-极限练习题及详细答案

1、一、选择题1若lim怛，1，则当xT0时，函数(x)与()是等价无穷小。xT0sinxA.sin|x|B.ln(1A.sin|x|B.ln(1-x)C.l-cosJxID.Jl2x-11.【答案】Do2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且limf(x)xt02.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且limf(x)xt0tanx-sinx=1则=A.5B.3C.1D.02.【答案】limf(x)，lim1八x)xT0tanx-sinxxt01-cosxcos2xf(x)B.解析由洛f(x)，limxTo2cos-3xsinxsinx，lim，limf(x)，1可得f”(0)，3xt0-6cos-

2、4xsin2x2cos-2x+cosxxt02+1则可得3当XT0时，与31+3x-1为同阶无穷小的是()A.3xB.A.3xB.3x4C.3x2D.x11-211-21-231A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当x5时，分母时f(x),0,.兀sin-2故xTL】(2X(-0.5)2n1，,一_，2.兀sm2limxt0.51(2X0.5)2n,1，故，有两个跳跃间断点，选C。25.已知f(x)，x5.已知f(x)，x在(_8，+8)内连续，且limf(x)，0，贝y常数a，b应满足的充要条a-ebxxT8件是()a0，b0aa0，b0aWO,b0aWO,bvOa0,b0 x,a

3、-eblb05.【答案】B。解析：limf(x)lim0,xTxTa-ebxI-bebxla06.关于曲线yx+x2-x+1的渐近线，下列说法正确的是(只有水平渐近线，没有斜渐近线既没有水平渐近线，也没有斜渐近线只有水平渐近线，没有斜渐近线既没有水平渐近线，也没有斜渐近线只有斜渐近线，没有水平渐近线既有水平渐近线，又有斜渐近线只有斜渐近线，没有水平渐近线既有水平渐近线，又有斜渐近线6.【答案】C。解析:题意可知，无水平渐近线；alimf(x)6.【答案】C。解析:题意可知，无水平渐近线；alimf(x)limx+x2,blimf(x)-axlimx+.x2-x1-2xxTxxTxxTxxTxT

4、1-x11lim：x2-xxTJx2x1x22xT7若f(x)在x=a处为二阶可导函数，则limf十h)-f(a)-心)=()hT0h2A.f(a)/2B.f(a)C.2f(a)D.-f(a)h22h7.【答案】A。解析：limf(a*h-f(a)-hf(a)lim山十h一山)h22hhT0h2hT08.设f(x)2x3x-2，则当x趋近于0时，有()A.f(A.f(x)是x的等价无穷小B.f(x)与x同阶但非等价无穷小C.f(C.f(x)是比x高阶的无穷小D.f(x)是比x高阶的无穷小，则lima的值为()nnT，则lima的值为()nnTA.2B.3C.4D.59.【答案】A。解析:2n2

5、n24n14limlimlim2。n2-32n2nTnTnT厶2x3x28.【答案】B。解析：f(x)2x3x-2,limln2ln3，所以f(x)2x3x-2xt0与x是同阶但非等价的无穷小。2n2n29.a10.已知函数f(x)3x7的间断点()10.已知函数f(x)3x7的间断点()x2-2x-3A.X=77*3C.X=-1或X=3D.X=1或X=-33x710.【答案】CA.X=77*3C.X=-1或X=3D.X=1或X=-33x710.【答案】C。解析：f(x)百-x22x3,x2，2x3=0,x=3,，1,所以3,-1是函数的间断点。111.设当xG(0,)时f(x)二xsin则在

6、x(0,+8)内(A.f(x)与f(x)都无界B.f(x)有界,f(x)无界C.f(x)与f(x)都有界D.f(x)无界,f(x)有界11TOC o 1-5 h z11.【答案】B.解析limf(x)limxsin0,limf(x)limxsin0故f(x)有界,x00 xxtx0 xf(x)sin1一cos1,limf(x)，无界，选B.xxxxT012.在区间0.1上，函数f(x)nx(1，x)n的最大值记为M(n),则limM(n)的值为()nA.e-1A.e-1B.eC.e2D.e312.【答案】A.解析.f(x)二n(1，x)xn2(1，x)n-1二n(1，x)n，1(1，xnx)所

7、以f(x)的驻点111有两个，分别是x=1和x，且x是极大值点又因为是闭区间0,1,所以x也是TOC o 1-5 h zn1n1n11n1最大值点，所以M(n)f()()(n1)(1一)(n1)所以当na时.nlimM(n)lim(nTnlimM(n)lim(nTn1n*n111)(n1)lim(1)n1n*n1113.lim123.n()13.x+n2A.B.0C.11A.B.0C.11d213.【答案】D13.【答案】D。解析：由lim123.n=limn(n1)2xn22，故选Do14.计算：A.丄214.【答案】14.计算：A.丄214.【答案】B3x32x1limxt7x35x22B

8、.37).C.3D.515.已知limxg-ax-b=2，15.已知limxg-ax-b=2，其中a.b0，所以x=0为极小值。x,0127、关于曲线y=的渐近线的正确结论是()xA.没有水平渐近线，也没有斜渐近线B.x=0为其垂直渐近线，但无水平渐近线C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线D.只有水平渐近线【答案】C.下列说法正确的是()若f(x)在x=x0连续，则f(x)在x=x0可导若f(x)在x=x0不可导，则f(x)在x=x0不连续若f(x)在x=x0不可微，则f(x)在x=x0极限不存在若f(x)在x=x0不连续，则f(x)在x=x0不可导【答案】D.解析：例如函数f(x)=丨x丨在x

9、=0处连续，但不可导，所以排除A、B、C；函数若f(x)在x=x0可导，则f(x)在x=x0连续，根据逆否命题与其等价，可知D正确。当x0时，()是无穷小。sinxA.-xsinxA.-xB.2-xC.D.1-cosx2.1丿2.1丿xx-22.1丿2.1丿xx-229.【答案】D.解析：当x,0时，1-cosx,0，所以当x,0时，1-cosx是无穷小。30.极限limxsin-L=()x,0一A.0B.11【答案】A.0B.11【答案】A.解析：limxsin一=0。x,0一下列变量中，无穷小量的是(C.2D.-1A.ln1A.ln1(x0+)xB.lnx(xfl)C.cosx(xfO)D

10、.x2C.cosx(xfO)D.x2-431.【答案】B.31.【答案】B.解析:limln-=g所以a错误;xtO+Xlimlnx，0B正确；limcosx，1C错误;x-1x-0lim込二|，1故D错误.x-2x24132曲线y,肓的渐近线情况是（）A.只有水平渐近线A.只有水平渐近线C.既有水平渐近线又有垂直渐近线B.只有垂直渐近线D.既无水平渐近线又无垂直渐近线2.1丿2.1丿xx-22.1丿2.1丿xx-232.【答案】C.解析：方法一：画出函数图像可知。方法二：lim1=0，lim1，所以既xgxx0 x有水平渐近线，又有垂直渐近线。x2133.设y，则x，1为y的（）x1A.连续

11、点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.可去间断点x2133.【答案】D。解析：lim=2，在x=1处左右极限存在，但是没有定义，所以是可去x1x1间断点。二、填空题1.计算1.计算J4tanxdx，0sinxt4dx，0cosx2.1丿2.1丿xx-22.1丿2.1丿xx-21.【答案】2ln2。中公教育解析：根据凑微分法：dcosx，lncosx40dcosx，lncosx40,lln24tanxdx，J4dx，J4-00cosx0cosx1+-xxx-22.【答案】4.解析：X3e=exx-2xx-23.极限lim1-1X3X丿3.【答案】1解析:e3.【答案】1解析:elim1-1x丿=li

12、mX3-x-11=e-i=exx-2xx-2x2,2x3x2-14.lim一x2-1x1x2,2x3x+3_4.【答案】2。解析：lim=lim二2xix2-1xix+15.limnn3,3n二.n35.【答案】3.解析：limnn3+3”二e：豊1ln（泪，3），根据洛必达法则，e豐:ln（n3，3）n33”(ln3)5=e豐3”(ln3)4=eln3=3”(ln3)5=e豐3”(ln3)4=eln3=3e”3n3+3=e”33n2+3ln3=e”36n+3(ln3)2=e”36+3n(ln3)36.函数fx)=Fx+2,x0在x=0处连续，则k=k,x=06.【答案】3.【解析】根据连续的

13、定义，eo,2=k=3。7.lim1,-7.lim1,-n3n丿-n7.【答案】e-2。【解析】根据两个重要极限lim1,2=lim1,22-2=e-2n3n丿n3n丿8-fx-=不匕斜渐近线方程8.【答案】y=x-2.解析：根据题意可假设斜渐近线方程为y=kx,b，则有1414设f”(xo)存在,xx-2x2k，limf(x)，lim=1，则b，limf(x)xgxxgx2+2x一3xgx3x，lim一x，xx2+2x一3，所以斜渐近1414设f”(xo)存在,xx-21414设f”(xo)存在,xx-2tan2x2SeC2tan2x2SeC22x2lim，lim，x03xx033则k=线方

14、程为y=x-2.9.极限lim竺空的值是。x03x9.【答案】2。【解析】根据洛必达法则,310.函数fx)=ex+2,x丰0在x=o处连续,Ik,x，01414设f”(xo)存在,xx-21414设f”(xo)存在,xx-210.【答案】3.【解析】根据连续的定义，eo+2，k，3。11.lim(1-2x)x=x011.【答案】e-2。解析:lim(12x)i，lim1+(-2x)士|，lim1+x0IIx0 x0111112.lim七m，ng12.【答案】2。解析：放缩法，11121+12V+2+_+jo；2+込3+辽+.；-1，2(1一+迈一且+、.汙-迈+.；n一万二1丿，2込1+,_

15、1_爲1+逼2+迈,/3+翦222+.+=：=222+一-轟+騒lim人，2，同理，放小之后也是2。n8耳n113.当x0时，若“=,贝y“X2与COSx一1是等价无穷小。13.【答案】2。解析：lim“坨2x0COSx一1，1,limx02“x一sinx，lim旦x0一Cosx1414设f”(xo)存在,xx-21414设f”(xo)存在,xx-2f(x)=0，则lim0 xx01.1.【答案】xx-214.【答案】f(x)。解析：lim，limf(x)，f(x)0 xTxXXxTx10000三、不定项选择题1.当xT0时，下列可与x进行等价无穷小替换的有()A.sinxB.arctanxC

16、.cosxD.ln(1+x)1.【答案】ABD.四、判断题1.当xT0时，sinx(1cosx)是x3的等价无穷小。1.【答案】X.解析:sinx(1cosx)lim，sinx(1cosx)lim，limxt0 x3xt0sinx(1cosx)x3x2sinx1cosx，lim-limxt0 xxt0 x21因为1因为sinxx,1一cosx?x2,所以limsinx(1COsx)，1x1，1xT0 x3221.1.【答案】xx-22.【答案】x.解析:lim2.【答案】x.解析:lim(12x)，lim(12x)xt0 xt02，e212极限lim(12x)x，e2。xT0 x2ax63.已知lim1一=5，则a的值为一7。TOC o 1-5 h zxt11一xx2ax63.【答案】V.解析：因为lim,则可设x2ax0,取5.【答案】证明过程如下。解析：证明：X26x+102，P意正数，80,取=min（3，l）,则当|x2时由于|x4=x22x2|x4，对任x2x