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文档简介

1、第三节 格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用 教学重点：格林公式 教学难点：格林公式的应用 教学内容：一、Green公式单连通区域. 设为单连通区域，若内任一闭曲线所围的部分都属于.称为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）.规定平面的边界曲线的方向，当观看者沿行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1. 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有=.为的取正向的边界曲线.即格林公式证：对既为- 型又为-型区域：连续，=： 又 =+ =对于-型区域，同理可证 = 原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在上应用格林公式

2、相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证.几何应用，在格林公式中，取，= 说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 2）记法= 3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分. 4）几何应用. 例1 计算 ： 解： 原式=， ，计算星形线围成图形面积 =二 平面上曲线积分与路径无关的条件与路无关：是为一开区域，在内具有一阶连续偏导数，若内任意指定两点及内从到的任意两条曲线 恒成立，则称在内与路径无关.否则与路径有关. 例1 ：从到的折线从到的直线 解：=3 ：,即 =定理：设，在单连通区域内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线，=.（

3、2）对内任一曲线，与路径无关（3）在内存在某一函数使在内成立.（4），在内处处成立.证明：（1）（2） 在内任取两点，及连接的任意两条曲线， 为内一闭曲线 由（1）知，即+=（2）（3）若在内与路径无关.当起点固定在（）点，终点为后，则是的函数，记为.下证：=的全微分为=. ，连续，只需证， ， 由定义 =+ =+ =， 即， 同理.（3）（4）若=，往证=， 由具有连续的一阶偏导数故=（4）（1）设为内任一闭曲线，为所围成的区域.=.例2曲线积分， 为过，和点的圆弧.解： 令，则， 与路径无关. 取积分路径为.+=计算， （1）为以为心的任何圆周. （2）为以任何不含原点的闭曲线.解：（1）

4、令，在除去处的所有点处有=，做以0为圆心，为半径作足够小的圆使小圆含在内，=，即= （2）= 0三、二元函数的全微分求积 与路径无关，则为某一函数的全微分为=+注：有无穷多个.验证：是某一函数的全微分，并求出一个原函数.解：令，原式在全平面上为某一函数的全微分，取， = 例5 计算， 为从到再到，是半圆弧 解：令， ， 添加直线，则，原式+= =原式=例6设在上连续可导，求，其中 为从点到的直线段.解；令， = ，故原积分与路径无关，添构成闭路，原式+ 原式= 练习：1.证明：若为连续函数，而为无重点的按段光滑的闭曲线，则. 2.确定的值，使在不经过直线的区域上，与路径无关，并求当为从点到点的路径时的值. ， 3设，为上的连续函数，证明小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积.2. 格林

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