第2章 基本测量理论与测量数据处理

1、第2章 基本测量理论与测量数据处理 2.1 测量标准2.2 测量方法2.3 测量误差2.4 测量误差的合成与分配2.5 测量数据处理 思考题2 2.1 测量标准一、 标准的定义和分类测量标准包括以下几种： （1） 参考标准：标准测量仪器规定功能的最高级别标准，又称为原始标准。1测量标准的定义标准：标准是测量的依据，没有标准便无所谓测量。测量标准：指提供参考标准或对其它测量设备进行校准的 高级测量设备。2测量标准的分类 （2） 传递标准：又称工作标准，它是经过与参考标准相比较而得到的标准。如标准信号发生器等。 （3） 人为标准：它是一个测量标准的具体物化表现。如电阻、电容、电感标准。 （4） 内

2、部标准：专指不需要外部标准设备的测量标准。如铯原子钟。 （5）工业标准：在没有原始的国家标准的情况下，用来作为生产厂家和用户标准的实用标准。 （6）标准参考部件：用于建立或检验测量设备性能的各种标准部件。2. 基本的电子标准国际单位制的SI基本单位如下：（1） 米（m，长度）。（2） 千克（kg，质量）。（3） 秒（s，时间）。（4） 安培（A，电流）。（5） 开尔文（K，温度）。（6） 摩尔（mol，物质的量）。（7） 坎德拉（cd，光强度）。以下是最常用的国际单位制的导出量：赫兹（Hz，频率）;瓦特（W，功率）;库仑（C，电荷量）;伏特（V，电位）;法拉（F，电容）;欧姆（，电阻）;西门子

3、（S，电导）;韦伯（Wb，磁通量）;特斯拉（T，磁通量密度）;亨利（H，电感）。2.2 测量方法常用测量方法有三种直接测量间接测量调零测量 一、 直接测量 直接测量是一个直接的比较过程，指直接从电子仪器或仪表上读出测量结果。二、间接测量 当测量对象不便于测量时，我们可先对与之有确定函数关系的另一个或几个量进行直接测量，并通过数学推演，得到原始测量对象的量值，这种测量方法即为间接测量。 例如要在不断开电路的情况下，测定图2.1中流过负载RL的电流。 已知负载电阻RL，只要用电压表V测得RL两端的电压U，即可由公式I=U/ RL算出负载中的电流。VRRL+-U图2.1三、 调零测量 调零测量法的原

4、理是，将基准源与未知的被测量进行比较，并调节其中之一，使二量值的差为零，这样，从基准源的读数即可推算出被测量的值。 以图2.2为例，U为标准电压源，R1和R2是标准分压电阻，A为电流表。 测量时，通过调节R1和R2的比例，使电流表指示为零，这时A待测电压源R1R2+-UxU+-图2.22.3 测量误差一、测量误差的概念与常用测量术语（1）测量误差：测量结果与被测量真值的差别。（2）真值与示值真值：被测量本身所具有的真实大小。示值：测量仪器所显示出的被测量的量值。（3）测量正确度、精密度和准确度测量正确度：对有效的多次测量结果取平均值，其值 与真值的接近程度。表示测量结果中系 统误差大小的程度

5、(a) 正确度高、精密度低； (b) 正确度低、精密度高； (c)准确度高精密度、正确度均高 测量的准确度、精密度、正确度的含义可由图2.4 来表示。 图2.4测量精密度：指对同一对象进行重复测量所得结果彼 此间的一致程度，表示测量结果中随机 误差大小的程度。测量准确度：表示测量结果与真值符合程度，是系统 误差和随机误差的综合。（4）等精度测量和非等精度测量等精度测量： 在测量条件完全相同的情况下进行的测 量，测量结果的精密度相同。非等精度测量：在测量条件不完全相同的情况下进行的 测量，测量结果的精密度不同。二、 误差的定义与表示方法1. 绝对误差 设测量值为X，被测量真值为A0，则绝对误差X

6、可表示为X=X-A0 由于真值A0很难得到，通常用 高一等级标准器具的示值 A代替A0 ， A称为实际值。这时绝对误差可表示为X=X-A 如果测量误差是统计独立且不随时间变化的，则可以用高一等级标准检定出来，在实际测量时对测量结果加以修正。修正值一般用C表示： C=-X=A-X因而有 A=C+X 例如，某电压表量程为10V，技术说明书中给出的修正值为0.2V ，当用其测量一电压时，读数为4. 9V，则可以认为实际电压值为 A=C+X= 4. 9V+ 0.2V = 5.1V 例如测量两个频率， f11000hz， f11hz； f21000000hz， f210hz； 尽管f2 f1，但我们不能

7、得出f1的测量比f2准确的结论。 相对误差有以下几种：实际相对误差、标称（示值）相对误差和满度相对误差。为弥补绝对误差的不足，提出了相对误差的概念。2. 相对误差 绝对误差的表示方法不能确切反映测量的准确程度。 （1） 实际相对误差 （2）标称相对误差 它是用绝对误差X与被测量的实际值A的百分比值来表示的，即 又称示值相对误差，它是用绝对误差X与仪器的测量值X的百分比值表示的，即 （3）满度相对误差 也即引用误差。定义为绝对误差X与测量仪器满度值Xm的百分比： 满度相对误差常用来表示电工仪表的等级，常用电工仪表分为0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.0、 2.5、 5.0七级

8、，表示它们的最大满度相对误差分别为0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.0、 2.5、 5.0。 例1：用一块量程为5V、1.5级的电压表去测量电压，测量值为4.26V,问绝对误差和示值相对误差各为多少？ 解 ：用量程为5V、1.5级的电压表去测量电压绝对误差为示值相对误差为 例2：检定一个1.5级100mA的电流表，发现在50mA处误差最大，为1 .4mA，问这块电流表是否合格？ 解 ：电流表的最大满度相对误差为 可见，这块电流表合格。 例3：若要测一个10V的电压，手头有两块电压表，一块量程为150V、1.5级，另一块量程为15V、2.5级，问选用哪一块表合适？ 解 ：用量

9、程为150V、1.5级的电压表测量产生的绝对误差为用量程为15V、2.5级的电压表测量产生的绝对误差为因为 ，所以选用量程为15V、2.5级的电压表更合适。三、测量误差的来源测量误差的主要来源有以下几个方面： （1）仪器误差：由于仪器原理的近似性及设计生产的不完善而产生的误差。 （2）使用误差：由于对测量设备操作使用不当而产生的误差。 （3）人身误差：由于测量人员感官能力的局限性产生的误差。 （4）方法误差：由于所使用的测量方法不当或测量原理不严密而引起的误差。 （5）环境误差：由于环境因素与要求的测量条件不一致所形成的误差。四、 测量误差的分类和处理误差按性质和特点分为三类系统误差随机误差粗

10、大误差1系统误差 在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误差。 系统误差的特点：测量条件不变时误差为确定值，测量条件改变时误差按一定规律变化。系统误差体现了测量的正确度，误差越小，正确度越高。图2.5 系统误差特征a：恒定系统误差b：累进性系统误差c：周期性系统误差d：按复杂规律变化的系统误差 图2.5描述了几种不同系统误差的变化规律：产生系统误差的原因主要有以下几种： （1）测量仪器的局限性。 （2）测量时环境条件(如温度、湿度及电源电压)与仪器使用要求不一致。 （3）采用近似的测量方法或近似的计算公式。 （4）测量人员读取

11、仪器示值的偏差。消除系统误差的方法： （1）采取措施，克服产生系统误差的原因。 （2）根据系统误差具有的确定性对测量数据加以修正。 （2）代替法：在测量条件不变的情况下，用一个标准已知量代替被测量，并调整标准量使仪器示值不变，则被测量就对于标准量。 （3）交换法：交换被测量在测量系统中的位置或测量方向，设法使两次测量中误差源对被测量的作用相反，对两次测量的结果取平均值。 （4）微差法：消除系统误差的典型测量技术： （1）零示法：在测量中使被测量对指示仪表的作用与某已知标准量对它的作用相互平衡，以使指示仪表为零，这时被测量就等于标准量。产生随机误差的主要原因有：（1）测量仪器产生噪声，零部件配合

12、不良等。（2）温度及电源电压的无规则运动，电磁干扰等。 （3）测量人员感觉器官的无规律变化产生的读数偏差。2随机误差 在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式无规律变化的误差称为随机误差。 随机误差体现了测量的精密度，随机误差越小，精密度越高。图2.6 测量值xi的正态分布曲线 随机误差的这些特性表明其服从统计规律，用数理统计的方法来表征，其服从正态分布，如图2.6和图2.7所示。 多次测量时随机误差的变化特点： （1）有界性：绝对值不会超过一定界限。 （2）对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会相等。 （3）低偿性：随机误差的算术平均值随测量次数n的无限增加趋近于零。

13、图2.7 误差i的正态分布曲线 测量数据及测量随机误差分布的概率密度分别为：式中Ex称为数学期望，其定义为称为方差，其定义为在工程中实际上当n足够大时，定义：处理随机误差的基本方法：以X代替被测量的真值。 表征测量值的分散程度，越小，测量值的分散程度越小。3.粗大误差 粗大误差：指在规定条件下，测量值明显偏离实际值时所产生的误差。产生粗大误差的原因主要有：（1） 测量方法不当或错误。（2） 测量操作疏忽和失误。（3） 测量条件的突然变化。处理方法：剔除不用。2.5 测量数据处理 一、 有效数字及数字的舍入规则1有效数字 当用数表示一个量时，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半，我们把这种数中

14、从左边第一个非零数字到右边最后一个数字都叫做有效数字。例如：365 （三位有效数字） 3.1405 （五位有效数字） 12.10 （四位有效数字） 0.0074 （二位有效数字）2数字的舍入规则 （3）当保留n位有效数字，若后面的数字恰为第n位单位数字0.5，则第n位数字为偶数或零时舍掉后面的数字，为奇数时第n位数字加1。目前广泛采用如下舍入规则： （1）当保留n位有效数字，若后面的数字小于第n位单位数字0.5就舍掉。 （2）当保留n位有效数字，若后面的数字大于第n位单位数字0.5，则第n位数字进1。 简单概括为：小于5舍，大于5入，等于5时取偶数。二、 等精度测量结果的处理 对等精度测量得到

15、的测试数据，通常按下述步骤进行处理： （1） 利用修正值等方法对测得值进行修正，将修正后的各数据Xi依次列成表格。（2）求出算术平均值：（3） 列出残差：（4） 列出Ui2，计算标准偏差的估计值：目的是减弱或消除恒值系统误差（5） 按|Ui|3的原则，检查并剔除粗大误差。（6）判断有无系统误差，如有，可进行修正或重新测量。（7） 算出算术平均值估计值的标准偏差：（8） 写出测量结果的表达式：三、 实验曲线的绘制1 直线拟合 假定实验数据的最佳拟合直线方程为：Y=AX+B，式中A，B为常数，分别表示直线的斜率与截距。令 根据最小二乘原理，满足最佳拟合，也即(A, B)为最小的条件为：最终有2 曲

16、线拟合 一般情况下，可选定m次多项式作为测量数据的近似函数关系式（回归方程）。根据最小二乘原理，可得 该式包含有m+1个方程组，可以联列求解m+1个未知数：a0、a1、am，即得最佳拟合曲线方程。思考题2 1. 测量误差的来源有哪些？2. 某数字电压表显示最大数值为19 999，最小一挡量程为20 mV，问该电压表的最高分辨率是多少？3. 被测电压为50 V，用0.5级量程为0300 V和1.0级量程为0100 V的两只电压表去测量，哪一个测量结果更准确？4. 测量上限为500 V的电压表，当实际值为445 V时示值为450 V，求该示值的绝对误差、相对误差、引用误差和修正值。5. 伏安法测电阻的两种电路如图2.9所示，图中A为电流表，内阻为RA，V为电压表，内阻为