第4章1-4 数字滤波器的原理和设计方法

1、第四章 数字滤波器的原理和设计方法Theory and Design Method of Digital Filter本章习题（课本P243）4.1，4.3，4.4(1)，4.6(1)，4.8，4.10(1)， 4.12，4.14，4.17，4.18选做：4.25内容提要数字信号处理的目的之一是设计某种设备或建立某种算法用以处理序列，使序列具有某些确定的性质，这种设备或算法结构就称为数字滤波器。数字滤波器通常是用有限精度算法实现的离散时间线性非移变系统，它本身既可以由硬件也可以由软件来实现，还可以由专用DSP处理器配合相应的软件由软硬件结合实现。数字滤波器可以分为有限冲激响应(FIR)和无限冲

2、激响应(IIR)两种。 数宇滤波器和快速傅里叶变换一样，是数字信号处理的重要组成部分。在许多科学技术领域中广泛使用着各种滤波器。模拟滤波器主要用来处理连续时间信号，而数字滤波器用来处理离散时间信号和数字信号。 数字滤波器是在模拟滤波器的基础上发展起来的，但它们之间存在着一些重要差别。与模拟滤波器比较，数字滤波器有以下优点：精度和稳定性高；改变系统函数比较容易，因而比较灵活；不存在阻抗匹配问题；便于大规模集成；可以实现多维滤波。本章内容安排如下：4.1节 概述数字滤波器的表述方法。4.2节 讨论无限冲激响应(IIR)数字滤波器的基本网络结构。4.3节 讨论有限冲激响应(FIR)数字滤波器的基本网

3、络结构。4.4节 详细介绍IIR数字滤波器的设计方法。4.5节 讨论IIR数字滤波器的频率变换设计方法。4.6节 详细介绍FIR数字滤波器的设计方法。4.7节 对FIR和IIR数字滤波器进行比较。4.1 概述在第二章讲到，一个数字滤波器可以用差分方程表示，即对应的系统函数为数字滤波器的功能是把输入序列通过一定的运算，变换成输出序列。数字滤波器一般可用两种方法实现：一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流程图，用数字硬件构成专用的数字信号处理机；另一种是编写滤波运算程序，在计算机上运行。由差分方程可看出，实现数字滤波器需要3种基本运算单元，即加法器、单位延迟器和常数乘法器。这些单元有方框图法和

4、流程图法两种表示法，因此，数字滤波器的运算结构也有两种表示法，如下图所示。例如一个二阶的IIR数字滤波器可用差分方程表示为其方框图和信号流程图如下图所示。数字滤波器有无限冲激响应(IIR)和有限冲激响应(FIR)两种。IIR数字滤波器常采用递归结构，而FIR数字滤波器主要采用非递归结构。数字滤波器的结构直接影响系统运算的速度、精度和成本。4.2 无限冲激响应(IIR)数字滤波器的基本网络结构无限长单位冲激响应滤波器有以下几个特点：(1)单位冲激响应h(n)是无限长的；因此称为IIR滤波器；(2)系统函数H(z)在有限z平面(0|z|)上有极点存在；(3)结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构

5、上是递归型的。但是，同一种系统函数H(z)，可以有多种不同的结构，它的基本网络结构有以下几种：一、直接I型IIR滤波器的差分方程：对应的系统函数为：这就表示了一种计算方法。表示将输入加以延时，组成M节的延时网络，把每节延时抽头后加权(加权系数是bk)，然后把结果相加，这就是一个横向结构网络。表示将输出加以延时，组成N节的延时网络，然后将每节延时抽头后加权(加权系数是ak)，然后把结果相加，最后的输出y(n)是把这两个和式相加而构成。由于包含了输出的延时部分，故它是个有反馈的网络。这种结构称为直接I型结构，其结构流图如下图所示。由图可看出，总的网络是由上面讨论的两部分网络级联组成，第一个网络对应

6、于系统函数的分子，这意味着，它实现的是系统函数的各零点；第二个网络对应于系统函数的分母，这意味着，它实现的是系统函数的各极点，从图中又可看出，直接I型结构需要(N+M)级延时单元。直接I型特点：直观、速度慢、不经济(需要N+M个延迟器)二、直接II型我们知道，一个线性移不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数是不变的，也就是总的输入输出关系不改变。这洋我们就得到另一种结构如图4.5所示，它的两个级联子网络，第一个实现系统函数的极点，第二个实现系统函数的零点。可以看出两行串行延时支路有相同的输入，因而可以把它们合并，则得到图4.6的结构，称为直接II型结构，或典范型结构。这种结构，对于N阶差

7、分方程只需N个延时单元(一般满足NM)，因而比直接I型的延时单元要少，这也是实现N阶滤波器所需的最少延时单元，因而又称典范型。它可以节省存储单元(软件实现)，或节省寄存器(硬件实现)，比直接I型为好。但是，它们都是直接型的实现方法，其共同的缺点是系数ak，bk对滤波器的性能控制作用不明显，这是因为它们与系统函数的零、极点关系不明显，因而调整困难；此外，这种结构极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系数的变化过于灵敏，也就是对有限精度(有限字长)运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。三、级联型如果将N阶IIR系统函数分解成二阶因式连乘积，则可得到级联结构，即这样，整个系统将由M个二

8、阶系统级联构成，如下图所示。具体地，将系统函数表达式的分子和分母多项式都进行因式分解，得到：由于H(z)的系数都为实数，所以H(z)的零点和极点或者是实数，或者是共轭复数。若将上式中每对共轭复数因子合并起来构成一个实系数因子，则可写成为了简化级联形式，特别是在时分多路复用时，采用相同形式的子网络结构就更有意义，因而将实系数的两个一阶因子组合成二阶因子，则整个H(z)就可以完全分解成实系数的二阶因子的形式：其中称为滤波器的二阶基本节。级联节数视具体情况而定，当M=N时，共有 节。如果有奇数个实零点，则有一个2k等于零。同样，如果有奇数个实极点，则有一个系数2k等于零。Hk(z)是用典范型结构来实

9、现的。一个六阶节系统的级联实现如下图所示。级联结构的特点是调整系数1k、2k就能单独调整滤波器第k对零点，而不影响其他零、极点，同样，调整系数1k、2k就能单独调整滤波器第k对极点，而不影响其他零、极点。所以这种结构，便于准确实现滤波器零、极点，因而便于调整滤波器频率响应性能。这种结构的主要优点是二阶基本节搭配灵活，可以按实际需要调换二阶节的次序，还可以直接控制系统的零点和极点。这种级联结构是一种常用的结构。四、并联型将因式分解的H(z)展成部分分式的形式，就得到并联型的IIR滤波器基本结构这一公式是最一般的表达式，式中N=N1+2N2，由于式中系数ak，bk是实数，故Ak，Bk，gk，ck，

10、Gk都是实数，dk*是dk的共轭复数。当MN时，则上式中不包含第三项，如果MN。则第三项变成G0一项。一般IIR滤波器皆满足MN的条件。上式表示系统是由N1个一阶系统、N2个二阶系统和各延时加权单元并联组合而构成。为了结构上的一致性，以便多路复用，一般将一阶实极点也组合成实系数二阶多项式，并且将共轭极点对也化成实系数二阶多项式，当MN时，则有：可表示成当N为奇数时，包含有一个一阶节。即有一节的2k=1k=0，当然这里并联的基本二阶节仍用典范型结构。下图画出了M=N=3时的并联型实现。并联型可以用调整1k、2k的办法来单独调整一对极点的位置，但是不能像级联型那样单独调整零点的位置。其运算速度最快

11、。此外，并联结构中，各并联基本节的误差互相没有影响，所以比级联型的误差一般来说要稍小一些。在要求准确的传输零点的场合下，宜采用级联型结构。除了以上几种基本结构外，还有一些其他的结构，这取决于线性信号流图理论中的多种运算处理方法。当然各种流图都保持输入到输出的传输关系不变，即H(z)不变。这其中有一种方法称为流图的转置，它利用的是流图的转置定理。转置定理如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)仍不改变。这里我们不去证明它了。利用转置定理，可将上面讨论的各种结构加以转置而得到各种新的网络结构。例如，对典范型结构转置后的网络如图4-9所示，画成

12、输入在左方，输出在右方的习惯形式，则如图4-10所示。例4.1 用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个2阶节都采用直接II型结构。P.153 4.5题 习题集P134 例3-44.3 有限冲激响应(FIR)数字滤波器的基本网络结构有限长单位冲激响应滤波器有以下几个特点：(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零；因此称为FIR滤波器。(2)系统函数H(z)在|z|0处收敛，极点全部在z=0处（因果系统）；(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中(例如频率抽样结构)也包含有反馈的递归部分。设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列，0nN-1，则滤波

13、器的系统函数为就是说，它有(N-1)阶极点在z=0处，有(N-1)个零点位于有限z平面的任何位置。FIR滤波器有以下几种基本结构：一、直接型FIR数字滤波器的差分方程为(4.7)由上式可画出FIR数字滤波器的方框图和流程图，分别如图4.12和图4.13所示。因为上式所表示的是输出y(n)与输入信号x(n)之间的线性卷积关系，所以直接型结构也称为卷积型结构，有时还称为横向滤波器结构。二、级联型将H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式，则得FIR系统的级联结构为：对应于上式的流程图如下图所示。图中每一基本节控制一对零点。在需要控制系统传输零点的场合可使用这种结构。级联型所用的系数乘法次数较直接型多

14、，运算时间较直接型长。三、快速卷积型如第二章所述，两个长度为N的序列的线性卷积，可以用2N-1点的循环卷积来代替。式(4.7)表示FIR滤波器的输出y(n)是输入x(n)和冲激响应h(n)的线性卷积。因此，可以通过增添零取样值的方法将序列x(n)和h(n)延长，然后计算它们的循环卷积，从而得到FIR系统的输出y(n)。循环卷积的计算可以使用FFT，于是得到图4.15所示的快速卷积型结构。图中输出y(n)为四、线性相位FIR数字滤波器的网络结构在很多场合下，要求设计的滤波器具有线性相位特性例如，对于线性相位的选频滤波器来说，处于滤波器通带内的信号，在滤波器的输出端除了有一延迟(延迟等于相位特性曲

15、线的斜率)外，应和输入端完全一样。有限冲激响应系统的最重要的特点之一就是它们可以设计成严格线性相位的。具有线性相位的因果有限冲激响应系统的单位取样响应具有如下偶对称特性，即：（4.9）图4.16表示的是线性相位FIR系统的典型冲激响应h(n)。那么，为什么这个条件就意味着线性相位呢？我们下面来分析具有这样的冲激响应的FIR系统的幅度和相位特点。将FIR系统的系统函数重写为：下面分两种情况进行讨论：(1)N为偶数时，利用式(4.9)得(4.11)令z=ej，得系统的频率响应为令则可将上式写成于是系统的幅度响应和相位响应分别为(4.14)(4.15)从式(4.14)可以看出，系统的幅度响应H()是

16、一个标量函数，当=时，H()=0，这说明H()在=处不依赖于a(n)或h(n)。因此，频率响应在=处不为零的滤波器(如高通滤波器)不能用这种类型的滤波器来逼近。此外，由于 对=呈奇对称，所以H()对也呈奇对称。从式4.15可以看出，滤波器的相位特性是严格线性的，且系统具有(N-1)/2个取样周期，即h(n)长度的一半的时延。(2)当N为奇数时，利用式(4.9)得(4.16)将z=ej代入上式，得到令m=(N-1)/2-n，上式变成再令 ，b(n)=2h(N-1)/2-n, n=1,2,(N-1)/2，可以把上式写成于是滤波器的幅度响应H()和相位响应()分别为H(n)为偶对称的线性相位FIR数

17、字滤波器的幅度响应H()和相位响应()如下图所示。可以看出，当N为偶数时，H()对呈奇对称，相位特性是严格线性的。当N为奇数时，H()对=0，2各点是偶对称的；相位响应是严格线性。根据式(4.11)和式(4.16)分别画出N为偶数和奇数时，线性相位FIR滤波器的结构流程图，如图4.18和图4.19所示。从图中可以看出，线性相位N阶FIR滤波器只需要N/2次(N为偶数)或(N+1)/2次(N为奇数)乘法。用与上面相似的方法可以证明，当FIR系统的单位取样响应h(n)为奇对称，即h(n)=-h(N-1-n) 时，系统同样具有线性相位特性(参看习题4.6)。由于线性相位FIR滤波器的冲激响应h(n)

18、必须满足对称条件h(n)=h(N-1-n)，因此它的零点位置受到严格的限制。根据对称条件，有令m=N-1-n，得到上式表明，H(z)和H(z-1)除相差(N-1)个样本间隔外，没有什么不同。因此，如果zk是H(z)的零点，那么zk-1也是H(z)的零点。这就是说，线性相位FIR滤波器的零点必互为倒数出现，在h(n)为实数情况下，H(z)的零点必然互为共轭出现。因此，线性相位FIR滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对。具体来说，有图4.20所示的几种情况：(1)若H(z)的零点zk既不在实轴上，又不在单位圆上，则zk必是4个互为倒数的两组共轭对，如z1、1/ z1、z1*和1/ z1*所示。(2)

19、如果零点zk在单位圆上，则零点以共轭对出现，如z2和z2*所示。(3)如果零点zk在实轴上，则零点互为倒数出现，如z3和1/z3所示。(4)若零点zk既在单位圆上，又在实轴上，则零点为1和-1。冲激响应为偶对称的线性相位FIR滤波器，它的系统函数多项式的系数是镜像对称的。例如，四阶系统的系统函数的形式是 a+bz-1+cz-2+bz-3+az-4而五阶系统的系统函数的形式是 a+bz-1+cz-2+cz-3+bz-4+az-5五、频率取样型在第三章P.77关于频率取样中我们已经指出，一个有限时宽为N的序列其z变换可以用单位圆上的N个等间隔取样来表示。根据式(3.50)所示的z变换的插值公式，(

20、3.50)FIR系统的系统函数可以表示为：(4.24)其中H(k)是h(n)的Z变换H(z)在z=WN-k各点上的取样值，即式(4.24)为实现FIR系统提供了另一种结构，这种结构由两个网络级联构成。具体来说，将式(4.24)表示成其中，H1(z)=1-z-N， ，如图4.21所示。图中所示的级联网络的第一个网络H1(z)是由N节延迟线组成的梳状滤波器，它的差分方程为 y1(n)=x(n)-x(n-N)H1(z)在单位圆上有N个等分零点zok，即H1(z)的频率响应呈梳状特性，即H1(z)的流程图和幅度特性如图4.22所示。第二个网络H2(z)是一组并联的一阶网络其中，每个一阶网络Hk(z)都

21、是一个谐振器，它们在单位圆上各有一个极点zpk，这些极点为因此，H2(z)是有N个极点的谐振网络。这些极点正好与梳状滤波器H1(z)的零点相抵消，从而使H(z)在这些频率上的响应等于H(k)。图4.23所示的便是FIR滤波器的频率取样型结构。这种结构由一个简单的FIR系统和一个IIR系统级联组成。它的主要优点是，并联谐振网络的系数H(k)，就是FIR滤波器在 处的响应，因此，可以直接控制滤波器的响应。它的主要缺点是：(1)所有的系数H(k)和WN-k都是复数，复数相乘运算较麻烦；(2)所有谐振网络的极点都在单位圆上，如果滤波器的系数稍有误差，极点就可能移到单位圆外，因此系统不容易稳定。克服上述

22、缺点的方法有：第一，使谐振网络的极点从单位圆上向内收缩到半径为r的圆上，这里r略小于1。在这种情况下的H(z)为(4.26)梳状滤波器的零点也要同时移到半径为r的圆上。第二，用实系数的二阶网络实现复系数的一阶网络，从而使系数的复数乘法运算变成实数乘法运算。具体来说，就是利用实序列h(n)的离散傅里叶变换H(k)的对称性质(P.27)，即(4.27)把复系数的一阶网络按复共轭对来分组，在N为偶数的情况下，式(4.26)可表示为因为Hr(k)H(k)，所以考虑到 ，上式变成又根据4.27，得到从而，(4.30)其中描述方程(4.30)的流程图如图4.24所示。当N为奇数时，k=N/2的频率样本不存

23、在，因此包含|H(N/2)|的项应从式(4.30)和图4.24中去掉。在一般情况下，图4.24所示的频率取样结构比较复杂，所用的存储单元和乘法器比直接型要多。但它有如下优点：第一，图4.24中各二阶系统输出端的乘法器都与H(k)成比例。如果滤波器的多数取样值H(k)为零(例如窄带低通或窄带带通滤波器)，那么频率取样结构比直接型少用一些乘法器。但存储器还是要比直接型多用一些。第二，滤波器结构的极点和零点数目仅取决于冲激响应的长度。如果输入用有限冲激响应滤波器组(即长度为N的几个不同的冲激响应)处理，则所有滤波器的一阶因式(1-z-N)和二阶环节各都可用同一种结构实现。因而，只要单位冲激响应长度相

24、同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器。因而，图4.24的结构是高度模件化的，适合于对二阶系统进行时分复用。例4.2 设一个FIR数字滤波器的单位取样响应为画出该滤波器的频率取样结构的信号流程图。例4.3 有一数字滤波器的流程图如下所示。欲使其具有线性相位特性，a1, a2, b2, b3应为何值？简单说明理由。已知b0=1，b1=0.5。考察线性相位的特点和偶对称、奇对称。4.4 IIR数字滤波器的设计方法就广义而言，数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性非移变时域离散系统。设计数字滤波器包括三个基本步骤：(1)根据实际需要确定滤波器的技术指标

25、，例如滤波器频率响应的幅度特性和截止频率等。(2)用一个稳定的因果系统逼近这些指标，具体来说，就是由这些指标计算系统函数H(z)。(3)用有限精度的运算实现H(z)，包括选择运算结构、进行误差分析和选择存储单元的字长。第一步与实际应用有关。第三步关于滤波器的结构问题已在上节讨论了，而有关滤波器的误差分析和存储器字长的选择等问题将在第六章中研究。本节和下一节主要讨论第二步涉及的问题。一般来说，滤波器的性能要求，往往以频率响应的幅度特性的容许误差来表征。以低通滤波器为例，如图4.25所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围(而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围)。在通带内，幅度响应以误差1逼近

26、于1，即阻带内幅度以误差2逼近于零，即p和T分别称为通带截止频率和阻带截止频率。为了能按照这种误差要求逼近理想低通滤波器，必须有一个宽度不为零的过渡带。过渡带内幅度响应从通带平滑地下降到阻带。在给出滤波器的一组技术指标之后，下一步就是寻找一个频率响应符合允许指标的离散时间线性系统。这样，滤波器的设计问题便归结为数学逼近问题。显然，对于IIR 系统，可以应用有理函数去逼近所希望的频率响应；对于FIR系统，则可用多项式逼近所希望的频率响应。这是因为对于IIR系统，其系统函数为z-1或z的有理分式：而FIR系统的系统函数为z-1的多项式：设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：(1)先设计一个合适的

27、模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，这是因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。(2)计算机辅助设计法。这是一种最优化设计法。先确定一种最佳准则，例如设计出的实际频率响应幅度|H(ej)|与所要求的理想频率响应幅度|Hd(ej)|的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等，然后求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数。这种设计一般得不到滤波器系数作为所要求的理想频率响应的函数的闭合形式表达式，而是需要进行大量的迭代运算、故离不开计算机。我们这里只研究第一种方法。利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是要把s平面映

28、射到z平面，使模拟系统函数Ha(s)变换成所需的数字滤波器的系统函数H(z)，这种由复变量s到复变量z之间的映射(变换)关系，必须满足两条基本要求：第一，H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即s平面的虚轴j必须映射到z平面的单位圆ej上，也就是频率轴要对应。第二，因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。也就是s平面的左半平面Res0必须映射到z平面单位圆的内部|z|1。我们知道，“模拟原型”滤波器有多种设计方法，例如巴特沃思型滤波器，切贝雪夫型滤波器，椭圆函数型(考尔型)滤波器等。从模拟滤波器映射成数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，主要的有以下几种映射

29、方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。4.4.1 冲激响应不变法一、变换原理冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)。将模拟滤波器的冲激响应加以等间隔的抽样，使h(n)正好等于ha(t)的抽样值，即满足其中T是抽样周期。实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器，就是要建立模拟系统函数Ha(s)与数字系统函数H(z)之间的关系。在第二章已经讨论了z变换与拉氏变换之间的关系，即(4.32)冲激响应不变法将模拟滤波器的s平面变换成数字滤波器的z平面，如下图所示。这种映射不是简单的代数映射，而是s平面上每一条宽度为2/T的横条都将重叠地映射到整

30、个z平面上，而每一横条的左半边映射到z平面单位圆以内，右半边映射到z平面单位圆以外，而s平面虚轴映射到z平面单位圆上一周。由于s平面每一横条都要重叠地映射到z平面上，这正好反映了H(z) 是和Ha(s)的周期延拓序列之间有变换关系z=esT，故冲激响应不变法并不相当于从s平面到z平面的简单代数映射关系。这正是用冲激响应不变法设计的数字滤波器的频率响应产生混叠失真的根本原因，关于这一点下面将详加说明。二、混叠失真现在来讨论用冲激响应不变法得到的数字滤波器与所参照的模拟滤波器的频率响应之间的关系。在式4.32中，令z=ej和s=j，得到上式表明，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。

31、由第二章2.5节抽样定理可知，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真，即但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，这就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生混叠失真，因而模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快，频谱混叠失真就越小。这时采用冲激不变法设计数字滤波器就能得到良好的结果，有(4.34)上面讨论用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器时，涉及到参数T。但是，如果用数字域频率来规定数字滤波器的指标，那么在冲激响应不变法设计中T是一个无关紧要的参数，因此，为了方便常取

32、T等于1。冲激响应不变法最适合于可以用部分分式表示的传递函数。这从后面的推导可以看出，部分分式表示的传递函数容易计算其反拉氏变换，从而得到相应的冲激相应h(n)。三、模拟滤波器的数字化方法由于冲激响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha(t)，然后抽样后得到h(h)=ha(nT)，再取z变换得H(z)，过程较复杂。而且由这一变换过程看出，它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便。(主要是因为部分分式容易求反拉氏变换)下面我们来讨论冲激响应不变法所造成的s平面和z平面的对应关系。设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次(一般都满

33、足这一要求，因为只有这样才相当于一个稳定的模拟系统)。因此可将Ha(s)展开成部分分式表示式:(4.35)其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换(4.36)使用冲激响应不变法求数字滤波器的冲激响应h(n)，即令t=nT，并代入上式得：(4.37)对h(n)求z变换，即得数字滤波器的系统函数H(z)(4.38)将(4.35)的Ha(s)和(4.38)的H(z)进行比较，可以看出：(1) s平面的单极点s=sk变换到z平面上z=eskT处的单极点；(2) Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak；(3) 如果模拟滤波器是稳定的，即所有极点sk的实部小于零Resk0，则

34、|eskT|=eReskT1 ，即变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，因此数字滤波器也是稳定的；(4) 虽然冲激响应不变法能保证s平面极点与z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个s平面与z平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。从(4.34)式看出，数字滤波器频率响应还与抽样间隔T成反比，如果抽样频率很高，即T很小，则滤波器增益会太高，这很不好，因而希望数字滤波器的频率响应不随抽样频率而变化，故作以下修正，令则有(4.39)及这样，数字滤波器的增益不随T变化。例4.4 已知一模拟

35、滤波器的传递函数为使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。解：将Ha(s)展开成部分分式得于是极点s1=-1，s2=-3。直接使用(4.39)，得设T=1，则模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为由图看出，由于Ha(j)不是充分限带的，所以H(ej)产生了很大的频谱混叠失真，尤其在高频部分。四、优缺点从以上讨论看出，冲激响应不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系，= T。因而一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器。但是，因为有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用

36、于限带的模拟滤波器，而高通和带阻滤波器不宜采用冲激响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率。对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。4.4.2 双线性变换法为了消除频谱的混迭效应，可以考虑先将S平面压缩到一个中介平面s1的-/T, /T横带内，再映射到Z平面上，从而可以消除频谱混迭。一、变换原理双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，为了克服多值映射这一缺点，我们首先把整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的一条横带里(宽度为2/T，即从-/T到/T)，其次再通过上面讨论过的标准变换关系：z=es1T将此横带变换

37、到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面是一一对应的关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。如下图所示。将s平面整个j轴压缩变换到s1平面j1轴上的-/T到/T一段，可以采用以下变换关系：这样=变到1=/T，=0变到1=0，可将上式写成：解析延拓到整个s平面和s1平面，令j=s，j1=s1，则得再将s1平面通过以下标准变换关系映射到z平面：这样就得到s平面和z平面的单值映射关系为：一般来说，为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应的关系，可引入待定常数c，使、s变成：从而，(4.40)上面两式是s平面和z平面之间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。二、变换常数c的选

38、择用不同的方法来选择c就使模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率点处有对应的关系，也就是可以调节频带间的对应关系。有两种方法选择常数c：(1)采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有1。当1较小时有从而，因而可得，此时，模拟原型滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性。(2)采用数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率c=1cT)与模拟原型滤波器的一个特定频率c严格相对应。即(4.42)则有这一方法的主要优点是在特定的模拟频率和特定的数字频率处，频率响应是严格相等的，因而可以较准确的控制截止频率的位置。三、逼近的情况由式4.40确定的双线性变换，确实符合

39、我们提出的对变换关系应满足的两点要求：(1)首先把z=ej代入(4.40)式，可得即s平面的虚轴确实与z平面的单位圆相对应。(2)其次，将s=+j代入4.40式，得因此由此看出，当0时，|z|1；0时，|z|1；0时，|z|1。也就是说，s的左半平面映射到z平面的单位圆内，而s的右半平面映射到z平面的单位圆外(同样可得s的虚轴映射到z平面单位圆上)。因而稳定的模拟滤波器，经双线性变换后，所得到的数字滤波器也一定是稳定的。四、优缺点除了这两点满足要求外，双线性变换最大的优点是避免了频率响应混叠现象，讨论如下：(4.42)式表示了模拟角频率与数字频率之间的变换关系，重写如下：(4.42)它表明s平

40、面与z平面是单值的一一对应关系，s平面整个j轴单值对应于z平面单位圆的一周，即频率轴是单值变换关系。由图看出，s平而的正、负虚轴分别映射成z平面单位圆的上半部分(辐角为正)及下半部分(辐角为负)，频率轴是单值变换关系，且时，=为折叠频率，故不会有高于折叠频率的分量，这就避免了冲激响应不变法的频率响应混叠现象。但是又产生了新的问题，除了在零频率附近，(4.42)式的频率变换关系接近于线性关系外，当增加时，变换关系就是非线性的了，也就是频率与之间存在着严重的非线性关系。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了问题，首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后就得到非线性相位的数字滤波器，不再保持

41、原有的线性相位了；其次，这种非线性关系就要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数(这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性)，不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变。双线性变换中数字域频率和模拟频率之间的非线性关系限制了它的应用范围，只有当非线性失真是允许的或能被补偿时，才能采用双线性变换。通常，低通、高通、带通和带阻等滤波器具有分段恒定的频率特性，可以采用预畸变的方法来补偿频率畸变，因此可以采用双线性变换设计方法。但对于频率响应起伏较大的系统，如模拟微分器，就不能使用双线性变换使之数字化。此外，若希望得

42、到具有严格线性相位的数字滤波器，也不能使用双线性变换设计方法。例4.5 已知一模拟滤波器的传递函数为使用双线性变换法求数字滤波器的系统函数。解：按照常数c的选择方法(1)选定常数c=2/T，设T=1，将代入Ha(s)，得到4.4.3 数字巴特沃斯滤波器巴特沃斯(Butterworth)滤波器是根据幅度响应在通带内具有最平特性而定义的滤波器。对一个N 阶低通滤波器来说，所谓最平特性是指平方幅度函数的前(2N-1)阶导数在=0处为零。巴特沃斯滤波器的另一个特性是在通带和阻带内幅度特性是单调的。(4.46)模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为其中为角频率，在c处幅度响应的平方为1/2，N为滤波器的阶数

43、。当=0时，幅度响应为1。从式(4.46)看出，随着N的增大，幅度响应曲线在截止频率附近变得越来越陡峭，即在通带内有更大部分的幅度接近于1，在阻带内以更快的速度下降至零。巴特沃斯滤波器特性与参数N的关系如图4.33所示。巴特沃斯滤波器存在极点，而零点在=处。根据(4.46)式的平方幅度函数，可知Ha(s)Ha(-s)必成如下形式：(4.47)由此得极点(4.48)从上式可看出巴特沃斯滤波器极点分布的特点：在s平面上共有2N个极点等角距地分布在半径为c的圆周上，这些极点对称于虚轴，而虚轴上无极点；N为奇数时，实轴上有两个极点；N为偶数时，实轴上无极点；各极点间的角度距为/N。图4.34所示的是N

44、=3时各极点的分布情况。知道巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由s平面左半平面的极点构成传递函数Ha(s)。将式(4.47)写成以下形式：上式中sk是s平面左半平面的极点，sr是右半平面的极点，A和B都为常数。因巴特沃斯滤波器有2N个极点，且对称于虚轴，所以可将左半平面的极点分配给Ha(s)，以便得到一个稳定的系统。把右半平面的极点分配给Ha(-s)，Ha(-s)不是所需要的，可以不管它。于是当N为偶数时，有A由滤波器在=0处的单位响应来确定，即由得到这样，求模拟巴特沃斯滤波器传递函数Ha(s)的公式可写为(4.50)式中，sk为左半平面的极点，sk*为sk的共轭极点，N为偶数。当N为奇数时，

45、应使用公式(4.51)其中，sp为负实轴上的极点，其它参数与式(4.50)相同。得到模拟巴特沃斯滤波器的传递函数后，下面就可以采用冲激响应不变法或双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：(1)根据实际需要规定滤波器在数字截止频率P和T处的衰减(单位为dB)。(2)由数字截止频率P和T的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数N和频率c。(3)求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成传递函数Ha(s)。左半平面极点：传递函数：(4)使用冲激响应不变法或双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。巴特沃斯低通滤波器的增益

46、定义为G()=-10 lg|Ha(j)|2=-20 lg|Ha(j)| (dB)在=0处增益为0 dB，在=c处增益为-3dB，因此c称为3dB截止频率。例4.6 设计一个数字巴特沃斯低通滤波器，在通带截止频率P=0.2处的衰减不大于1dB，在阻带截止频率T=0.3处衰减不小于15dB。解：(1) 根据滤波器的指标，得：由巴特沃斯滤波器的幅度平方函数，可知从而解这两个方程得N=5.8858，取整N=6，c=0.7032。按此值设计的滤波器满足通带指标要求，阻带指标将超过给定值。(2) 把N=6, c=0.7032代入式4.48，得到s平面左半平面的3对极点分别为极点对1：-0.1820土j0.6792 极点对2：-0.4972土j0.4972极点对3：-0.67924土j0.1820 由这3对极点构成的滤波器的传递函数为(3)将Ha(s)用部分分式展开，用式(4.39)求得数字滤波器的系统函数为显然，根据冲激不变法设计出来的系统函数可以直接用并联型实现。(4)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ej代入系统函数H(z)表示式，计算幅度响应|H(ej)|和相位响应argH(ej)，如图4.35所示。可以看出，设计的滤波器完全满足规定的技术指标。因为高阶模拟巴特沃斯滤波器是充分带限的，所以不会有很大的混叠失真。如果得到的滤波器不满足技术指标，可以试采用更高阶的滤波器。