基本函数与极限课件

1、(i) 基本函數及其圖形介紹 函數: 所謂函數是兩個集合元素間的一種對應關係,但此種對應關係具有方向性,意即集合A中的甲元素對應到集合B中的乙元素和集合B中的乙元素對應到集合A中的甲元素意義是完全不同的。一般的表示方法為 ,其中A,B為集合,而f 表示函數的對應關係 , (i) 基本函數及其圖形介紹 函數: 所謂函數是兩個集合即若 ,則 。我們稱A為函數f 的定義域(Domain), 而B則稱之為函數f 的值域(Range), 其中值域中每一個元素皆能被定義域中的某一元素對應到, 亦即 。以下我們只討論有關數字的函數。習慣上若不特別表示,則任一函數的定義域為實數集合 或此函數在 中為有意義定義

2、(well defined)的子集合,此定義域稱為自然定義域(Natural Domain)。即若 ,則 。我例如 的定義域 為 , 而值域為 。所有直角座標上滿足y=f(x)的點所成的集合稱之為函數f 的圖形,其中變數x屬於f 的定義域。一個函數f 定義為y=f(x)=mx+b 則稱此為線性函數 (Linear Function)。例如 的定義域 為 斜率和直線方程式 (Slopes and Equations of Lines) 線性函數所對應的直線方程式 , 其圖形如下圖所示斜率和直線方程式 (Slopes and Equations直線的斜率(Slope of Line)圖1中直線的斜

3、率定義為直線的斜率(Slope of Line)例1: 求通過以下給定兩點的直線斜率。(a) (-7,6)和(4,5)解:直線斜率為 (b) (5,-3)和(-2,-3)解:直線斜率為(c) (2,-4)和(2,3)解: 直線斜率為為無定義,此為當直線平行y軸時的情況。例1: 求通過以下給定兩點的直線斜率。若a,b,c為常數,且a,b不全為0,x和y為變數,則方程式ax+by=c稱為直線方程式,其圖形為一條直線。當b0時 ,對應一線性函數。當b=0時, 雖然不對應任何線性函數, 但其圖形則為垂直於x軸的直線。若a,b,c為常數,且a,b不全為0,x和y為變數,則方程式例2: 求斜率為 通過(0

4、,-3)的直線方程式。解:例2: 求斜率為 通過(0,-3)的直線方程式。斜截式(The Slope-Intercept Form) 若已知直線的斜率為m,y軸的截距為b,即通過點(0,b),則根據斜率的定義得此直線的方程式 y-b=m(x-0) 經過移項後得一稱之為斜截式的直線方程式 y=mx+b斜截式(The Slope-Intercept Form) 下圖為斜截式的圖形下圖為斜截式的圖形例3: 利用斜截式求y-截距為 ,而斜率為 的直線方程式。解: 例3: 利用斜截式求y-截距為 ,而點斜式 (The Point-Slope Form)根據相似三角形定理,圖1中直線上任一點P(x,y)和

5、點A所形成的直線斜率和點A及點B所形成的直線斜率相等,點斜式 (The Point-Slope Form)根據相似亦即故此條直線的方程式為亦即故此條直線的方程式為例4: 利用點斜式求斜率為 通過(3,-7)的直線方程式。解:例4: 利用點斜式求斜率為 通過(3,-7)例5: 利用點斜式求通過(5,4)和(-10,-2)的直線方程式。解: 斜率 。令 ,則例5: 利用點斜式求通過(5,4)和(-10,-2)的直線方例6: 求過(8,-4)和(-2,-4)的直線方程式。解: 斜率例6: 求過(8,-4)和(-2,-4)的直線方程式。令 ,則令 ,則垂直線的方程式(Equation of a Ver

6、tical Line)垂直於x軸的直線並不適於點斜式,其方程式為 x=kk為垂直線和x軸交點的x分量。例7: 求過(4,3)和(4,-6)的直線方程式。解: 此為垂直線x=4。垂直線的方程式(Equation of a Vertical平行線(Parallel Lines)若兩條直線的斜率相同,則稱這兩條直線為平行線。例8: 求過點(3,5),且平行於直線2x+5y=4的直線方程式。解: 直線2x+5y=4的斜率為 直線 為過點(3,5),且平行於直線2x+5y=4的直線。平行線(Parallel Lines)若兩條直線的斜率相同,垂線(Perpendicular Lines)垂線(Perpe

7、ndicular Lines)如圖3所示直線 和 為通過原點的垂線,則根據畢氏定理如圖3所示直線 和 為通過原點的垂線,則根據畢氏由於 和 分別為直線 和 的斜率,且由於此種幾何性質和座標的選取無關,故可知任兩條不平行於x軸或y軸的直線,垂直的充要條件為斜率的乘積為 。由於 和 分別為直線 和 的例9: 求過直線3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線方程式。解: 直線3x+4y=8和6x-10y=7交點為(2,1/2)。垂直於直線3x+4y=8的直線斜率為 。故直線 為過直線3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線。例9: 求過直線

8、3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直例10: 近幾十年來, 美國16歲及超過16歲以上的人口中投入勞力工作的比例以近似固定比例的方式從1960的59.4%增加到1998年的67.1%。找出描述此線性關係的方程式。解: 令x=0代表1960,則x=1998-960=38代表1998年。斜率例10: 近幾十年來, 美國16歲及超過16歲以上的人口中投再令 ,利用點斜式可得方程式 y-5.94=0.203(x-0) y=0.203x+5.94為描述此線性關係的方程式。再令 ,例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分

9、比,其中x代表年份。(a) 決定1998年淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比。解: y=1.5457x-3067.7 y=1.5457(1988)-3067.75.21998年中淋病患者大約有百分之5.2%對抗生素產生抗藥性。例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比,其中x代表年份。(b) 指出並解釋此直線的斜率。解: 斜率為1.5457, 此意味著從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的比例以每年百分之1.5457的比例增加。例11: 線性方

10、程式y=1.5457x-3067.7可用來估 線性函數和應用 (Linear Functions and Applications)例12: 假設經濟學家 Greg Tobin 研究數塑膠牆板的供需並得到塑膠牆板每平方碼的價格p和每月需求量q(單位為一千平方碼)之間的關係為 , (需求函數) 線性函數和應用 (Linear Functions and塑膠牆板每平方碼的價格p和每月供應量q(單位為一千平方碼)之間的關係為 , (供應函數)(a)求價格分別為$45和$18時的需求量。解: 將p=45帶入得q=20, 因此當價格為$45時塑膠牆板的需求量為20,000平方碼。塑膠牆板每平方碼的價格p

11、和每月供應量將p=18帶入得q=56, 因此當價格為$18時塑膠牆板的需求量為56,000平方碼。(b)求價格分別為$60和$12時的供應量。解: 將$p=60帶入得q=80, 因此當價格為$60時塑膠牆板的供應量為80,000平方碼。將p=18帶入將p=12帶入得q=16, 因此當價格為$12時塑膠牆板的供應量為16,000平方碼。(c) 將上述的需求和供應函數畫在同一座標軸上。解: 如下圖所示(圖4)將p=12帶入基本函数与极限课件圖4中兩條曲線相交的點(40,30), 價格30稱為 平衡價格 (equilibrium price),在此點的供應量和需求量相等, 皆為40,000平方碼,

12、此為平衡數量 ( equilibrium quantity)。例12: 假設製造x個錄影帶的費用為 C(x)=12x+100 (單位為美金)製造0個錄影帶的費用為 C(0)=12(0)+100此稱為 固定成本 (fixed cost)。圖4中兩條曲線相交的點(40,30), 價格30稱為 平衡價一但公司投資固定成本製造錄影帶後, 每多製造一個錄影帶的成本為何? 例如製造5個和6個錄影帶的成本分別為C(5)=12(5)+100=$160 和 C(6)=12(6)+100=$172因此第6個錄影帶的製造成本為 $172-$160=$12$。製造第n+1個錄影帶的成本為C(n+1)-C(n)=12(

13、n+1)+100-(12n+100) =$12一但公司投資固定成本製造錄影帶後, 每多製造一個錄影帶的成本數字12恰為成本函數C(x)=12x+100的斜率, 亦即線性的成本函數中的斜率為多製造一個商品的成本,在某些經濟學上的書將之定義為邊際成本 (marginal cost)。數字12恰為成本函數C(x)=12x+100的斜率, 亦即線例13: 每多製造一批藥品的邊際成本為$10, 而製造100批的成本為$1500。在成本函數為線性函數的條件下,求出成本函數C(x)。解: C(x)=mx+b, 由於邊際成本等於斜率, 所以C(x)=10 x+b。製造100批的成本為$1500,故得 1500

14、=10100+b 1500=1000+b 500=b亦即成本函數為C(x)=10 x+500, 而其固定成本為$500例13: 每多製造一批藥品的邊際成本為$10, 而製造100損益平衡分析 (Break-Even Analysis)銷售x個價格為p的商品之收入函數 ( Revenue)為 R(x)=xp而利潤函數 (Profit)則為 P(x)=R(x)-C(x)其中C(x)為收入函數。當成本等於收入時的利潤為0, 此時的銷售量稱為損益平衡量 (break-even quantity),其由商品數量和價格所形成的對應點則稱之為損益平衡點 ( break-even point)。損益平衡分析

15、(Break-Even Analysis)銷售例14: 一個製造家禽飼料的公司發現製造和銷售x個單位飼料的成本為 C(x)=20 x+100管理階層決定每單位飼料收費$24。(a) 該公司需銷售多少飼料方能損益平衡?解: R(x)=24x, 當R(x)=C(x)時方能損益平衡,所以 24x=20 x+100可得x=25, 亦即該公司至少須賣出25單位的飼料方不會虧本。例14: 一個製造家禽飼料的公司發現製造和銷售x個單位飼料的(b) 100單位的飼料被賣出時的利潤為何?解: P(x)=R(x)-C(x) =24x-(20 x+100) =4x-100 P(100)=4(100)-100=300

16、因此當該公司賣出100單位的飼料之利潤為$300。(b) 100單位的飼料被賣出時的利潤為何?(c) 為求得$900的利潤, 該公司應賣出多少單位的飼料?解: 900=P(x)=4x-100 1000=4x x=250亦即該公司賣出250單位的飼料時,可得$900的利潤。(c) 為求得$900的利潤, 該公司應賣出多少單位的飼料?非線性函數 (Nonlinear Functions)函數的代數(The Algebra of Functions)實數函數的代數運算法: 我們可利用實數的基本運算定義函數f,g的代數運算。若f: AB, g: CD非線性函數 (Nonlinear Functions

17、)函數的(1) 其中 為新函數f+g的值域。(2)其中 為新函數f-g的值域。(1) (3) 其中 為新函數fg的值域。(4)其中 為新函數 的值域。(3) 一函數 f:AB, 若(1) 滿足 ,則我們稱之為非遞減函數( Nondecreasing Function)(2) 滿足 ,則我們稱之為遞增函數(Increasing Function)(3) 滿足 ,則我們稱之為非遞增函數(Nonincreasing Function)(4) 滿足 ,則我們稱之為遞減函數(Decreasing Function)一函數 f:AB, 一函數 f:AB, , 且實數集合A滿足 (1) 若 ,滿足f(-x)

18、=f(x),則稱函數 f 為偶函數(Even Function)。(2) 若 ,滿足f(-x)=-f(x),則稱函數 f 為奇函數(Odd Function), 特別地, 由於f(-0)=-f(0), 所以f(0)=0。一函數 f:AB, ,例15:求以下各函數的定義域和值域。解: (a) 的定義域為x1, 值域為x0。 解: (b) 的定義域為 例15:求以下各函數的定義域和值域。f(x)的值域為f(x)的值域為解: (c) 的定義域為R,值域為x3。解: (d) 的定義域為R,值域為x1。解: (e) 的定義域為基本函数与极限课件基本函数与极限课件解:解:二次函數;平移和反射(Quadratic Functions;Translation and Reflection)一個可表為的函數,我們稱之為二次函數(Quadratic Functions)。二次函數;平移和反射(Quadratic Functions由上述方程式知,其圖形是由拋物線 經由水平移動(若b0),垂直放大(若|a|1), 垂直縮小(若0|a|1),以x軸為對稱軸映射將圖形由上往下翻轉(若af(n),意即 為遞增數列,且由上式可知f(n+1)f(n),意即 由於3為集合 的上限,根據完備公設集合C的最小上限存在,我們用e