空间直线、平面与

1、平面与空间直线平面及其方程 我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。 设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为A,B,CA2+B2+C20，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为： 注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。 例题：设直线L的方向数为3，-4，8，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程. 解答：应用上面的公式得所求的平面方程为： 即 我们把形式为： Ax+By+Cz+D=0. 称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。几种特殊位置平面的方程 1、通过原点 其平面方程的一般形式为： Ax+By+Cz=0.

2、2、平行于坐标轴 平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0. 平行于y轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz+D=0. 平行于z轴的平面方程的一般形式为： Ax+By+D=0. 3、通过坐标轴 通过x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz=0. 通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz=0，Ax+By=0. 4、垂直于坐标轴 垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为： Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直线及其方程 任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线

3、的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。 设已知直线L的方向数为l,m,n，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为： 上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。 直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下： 这就是直线方程的一般式。平面、直线间的平行垂直关系 对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。 总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了

4、。第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线.故其一般方程为：一 空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量.已知直线上的一点和它的一方向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有：此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）.（写时参照书上注释）如设就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程.二两直线的夹角

5、两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.设两直线和的方向向量依次为和，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算两直线和垂直： （充分必要条件）两直线和平行：（充分必要条件）三直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为.设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，那么直线与平面垂直：s/n 相当于（充分必要条件）直线与平面平行：sn 相当于（充分必要条件）平面束方程： 过平面直线的平面束方程为四杂例：例1：求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点（3，2，5）的直线方程.

6、解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以因此，所求直线的方程为例2：求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为再求已知直线与这平面的交点.将已知直线改成参数方程形式为x= -1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t，从而求得交点为以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量故所求直线方程为例3：求直线 在平面上的投影直线的方程 解：应用平面束的方法 设过直线的平面束方程为即这平面与已

7、知平面垂直的条件是解之得代入平面束方程中得投影平面方程为yz10所以投影直线为小结：本节在本章中非常重要的，学生要搞清楚平面与直线的方程及平面法向量与直线方向向量的方向位置关系等平面与空间直线平面及其方程 我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。 设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为A,B,CA2+B2+C20，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为： 注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。 例题：设直线L的方向数为3，-4，8，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程. 解答：应用上面的公式得所求的平面方程为： 即 我们把形式为： Ax+By+Cz

8、+D=0. 称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。几种特殊位置平面的方程 1、通过原点 其平面方程的一般形式为： Ax+By+Cz=0. 2、平行于坐标轴 平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0. 平行于y轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz+D=0. 平行于z轴的平面方程的一般形式为： Ax+By+D=0. 3、通过坐标轴 通过x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz=0. 通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz=0，Ax+By=0. 4、垂直于坐标轴 垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为： Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直线及其方程 任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。 设已知直线L的方向数为l,m,n，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为： 上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。 直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下： 这就是直线方程的一般式。平面、直线间的平行垂直关系 对于