函数单调性的判定解读课件

1、一、函数单调性的判定第三章导数的应用第二节函数单调性的判定 函数的极值二、函数的极值一、函数单调性的判定第三章导数的应用第二节函数单调性的判 定理 1设函数 y = f (x) 在a, b上连续，在 (a, b)内可导， (1)若 x (a, b)时,f (x) 0， 则 f (x) 在a, b上单调递增； 一、函数单调性的判定 (2)若 x (a, b)时,f (x) 0， 则 f (x) 在a, b上单调递减; (3)若 x (a, b)时,f (x) = 0， 则 f (x) 在a, b上为常数. 定理 1设函数 y = f (x) 在a, b证 (1)在a, b上任取两点x1、x2 ，

2、且 x1 x2，由拉格朗日中值定理有其中 x (x1,x2 ).由于 f(x)在(a, b)内可导,从而 f(x)在x1,x2 上连续,在(x1,x2 )内可导,证 (1)在a, b上任取两点x1、x2 ，且 x1 0，故 f (x1) 0， x2 x1 0, 因此 定理中的闭区间改为其他各种区间结论也成立. f (x2) f (x1) 0，故 求函数 y = f (x) 的单调区间的一般步骤是：(1)确定函数 f (x) 的定义域； 并用这些点把定义区间分成若干个部分区间；(3)列表讨论函数在各个部分区间的单调性. (2)求出 f (x) 的全部驻点(即使 f (x) = 0的点)和导数 f

3、 (x) 不存在的点，注意求函数 y = f (x) 的单调区间的一般步骤是：(1)确例 1求函数 f (x) = x2 的单调区间解 (1)函数的定义域为( , )；(2) f (x) = 2x， 令 f (x) = 0，得 x = 0;(3) x = 0 把( , )分成两个部分区间：( , 0)， (0, ),列表讨论 f (x) 的符号: x( , 0) 0 (0, ) f (x) 0 f (x) 0 箭头 ， 分别表示函数在指定区间递增和递减.所以,函数在( , 0内单调递减;0,+)内单调递增. 例 1求函数 f (x) = x2 的单调区间解 (1)解 (1)函数的定义域为 (

4、， )；例 2令 y = 0,得 x = 1; 当 x = 0时, y 不存在.(3)列表讨论 f (x) 的符号:(2)x( , 0) (0,1)(1, ) f (x) -f (x) 0 不存在 0 1 0 0.5由定理知:函数在( , 0和1,+)内单调递增;在0,1内单调递减.解 (1)函数的定义域为 ( ， )；例 2令 y 证 设 f (x) = e x ex , 则 f (x) 在 1, )内连续,例 3 证明当 x 1时, e x ex .f (x) = e x e 0由定理知: f (x) 在1, )内单调递增,且 f (1) = 0. 在 (1, )内,故 x 1 时, f

5、(x) f (1) , 从而e x ex 0即 e x ex .证 设 f (x) = e x ex , 则 f (x) 定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 及其附近的点有定义，若对点 x0 附近任一点 ( x x0 ), 均有(1) f (x) f (x0), 则称 f (x0) 为 f (x) 的极大值，称点 x0 为 f (x) 的极大点；(2) f (x0) 0, 在 x0 的右侧, f (x) 0,则 f (x0) 是 f (x) 的极大值； (2)如果在点 x0 的左侧, f (x) 0,则 f (x0) 是 f (x) 的极小值； (3)如果在点 x0 的左、右两侧(点

6、 x0 除外) f (x) 同号, 则 f (x) 在 x0 处没有极值. 定理 3 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 求函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域;(2)求函数的导数, 确定驻点和导数不存在的点；(4)由定理3, 判定函数的极值点并求出极值.(3)列表讨论 f (x) 在上述各点左右近旁的符号；注意求函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域;(2)求函数解 (1)函数的定义域为 ( ， )；例 4 求函数 的极值.(3)列表讨论 f (x) 的符号:x( , 1)(1,3)(3, ) f (x)-f (x) 1 0 极大值 3 0 极小值令 y = 0,得(2

7、)(4)极大点为 x = 1, 极大值为 极小点为 x = 3, 极小值为 f (3)= 12.解 (1)函数的定义域为 ( ， )；例 4 求解 由例2知, 函数的驻点是 x = 1, x = 0 是使例 5 y 不存在的点.列表讨论 f (x) 的符号:x( , 0) (0,1)(1, ) f (x) -f (x) 0 不存在 1 0 极小值 极大值 因此,极大点为 x = 0, 极大值为 f (0)= 0; 极小点为 x = 1, 极小值为 f (1)= 0.5.解 由例2知, 函数的驻点是 x = 1, x = 0定理 4( 极值的第二充分条件 )(1)如果 f (x0) 0，则 f

8、(x) 在 x0 处有极小值 f (x0)； 且 f (x0) = 0， f (x0) 0.设函数 y = f (x) 在点 x0 处二阶导数存在，(2)如果 f (x0) 0，则 f (x) 在 x0 处有极大值 f (x0).定理 4( 极值的第二充分条件 )(1)如果 f 例 6 求函数 f (x) = 2x3 3x2 12x +14 的极值.解定义域为 ( , + ). f (x) = 6x2 6x 12 = 6(x+1)(x -2)，令 f (x) = 0 得驻点 x = 1, x = 2, f (x) = 12x 6 = 6(2x -1)， 因为 f (1) = 18 0, 故 x = 2 为极小点, f (2) = 6 为极小值.例 6 求函数 f (x) = 2x3 3x2 12x例 7 求函数 f (x) = x4 的极值.解定义域为 ( , + ). f (x) = 4x3，令 f (x) = 0, 得驻点 x = 0, 代入得 f (0) = 0. f (x) = 12x2， 因为用第二充分条件无法判定 f (x) 在 x = 0 处有无极值