高等数学第十章曲线积分

1、高等数学第十章曲线积分第1页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四一、对弧长的曲线积分的概念1定义 2物理意义 表示线密度为 的弧段 的质量.第2页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四二、对弧长的曲线积分的性质1线性性质： 若 , 则5. 奇偶对称性： 2可加性：3 的弧长：4. 单调性：设在上 ， 则关于x轴对称，为y的奇函数关于x轴对称，为y的偶函数第3页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四三、对弧长的曲线积分的计算方法方法：化为定积分计算（注：下限上限） （1）参数方程：若 则 （2）直角坐标：若 则 （3）极坐标：若 ; 则“描

2、述代入”法第4页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四（4）参数方程：若 则注： 被积函数可用积分曲线方程化简！四、对弧长的曲线积分的应用1几何应用 求曲线的弧长 2物理应用 质量 质心 转动惯量 第5页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四一、对坐标的曲线积分的概念1定义 2物理意义 变力 沿 所作的功.对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）第6页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四二、对坐标的曲线积分的性质若 （方向不变），则设 是 的反向曲线弧，则 2. 方向性：1可加性：3. 奇偶对称性：关于x轴对称，为y的偶函数关于x轴对称，为y的

3、奇函数关于y轴对称，为x的偶函数关于y轴对称，为x的奇函数第7页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四三、对坐标的曲线积分的计算方法（化为定积分计算）（1）参数方程：1直接计算法：设 从 变到 ; 则设 ; 从 变到 ; 则“描述代入”法第8页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四设 从 变到 ; 则（2）直角坐标：设 从 变到 ; 则注: 下限 起点 上限 终点第9页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四3利用积分与路径无关的条件计算法与路径无关 单连域.单连域.2格林（Green）公式计算法（注意使用条件！） （这里 为区域 的正向边界

4、曲线)，为区域内任意闭曲线. 第10页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四四、两类曲线积分之间的联系 其中 为有向曲线弧 在点 处的切向量的方向角. 五、对坐标的曲线积分的解题方法 第11页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四No积分与路径无关 封闭取特殊曲线 转化为定积分积分与路径有关 封闭 确定D 应用Green公式 对L补上特殊曲线 在封闭曲线 上应用Green公式 转化为定积分 YesNoYesNoYes解题方法流程图 第12页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数 及积分曲线

5、 然后判断等式 是否成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 内与积分路径无关. 此时的计算方法是，看积分曲线 是否封闭. 若 为封闭曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方法是，看积分曲线 是否封闭. 若 为封闭曲线, 则直接利用若 不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法（如取平行于坐标轴的折线 )来计算所给积分，即第13页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四Green公式计算所给积分，即若 不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种, 一种是将曲线再计算 最后将两式相减便得原曲线积分的值,即积分化为定积分

6、来计算；另一方法是通过补特殊路径 , 使 与 构成封闭曲线，然后在封闭曲线 上应用Green公式, 即第14页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四六、对坐标的曲线积分的物理应用 求变力沿曲线所作的功： .第15页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四五、对弧长的曲线积分典型例题 【例1】计算 其中 为摆线的一拱 分析由于本题积分曲线 的方程为参数形式，从计算方法框图上看，我们可采用线路2的方法计算.解： 由于 而故 第16页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例2】计算曲线积分 其中 为圆周分析由于圆周 在极坐标下的方程为 故从解题方

7、法框图上看，我们可采用线路3的方法计算。解： 圆周 在极坐标下的方程为则 故.第17页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四分析由于本题积分曲线 的方程可化为 或 的形式, 故从计算方法框图上看, 我们可采用线路1的方法计算。但考虑到化为以 为积分变量的定积分计算比较困难, 故本题解: 由于 所以【例3】计算 , 其中 为双曲线 从点 至点 的弧段 积分曲线 应采用 的形式. 第18页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例4】 计算 其中 为圆周直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界分析 由于积分曲线 为闭曲线, 由三段组成故应根据每段曲线的特点

8、，选择不同的计算方法. 在 与上可用框图中线路1的方法计算，在 上可用线路3的方 法计算。第19页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解：积分曲线 为闭曲线（如图）其中 故 可分解为第20页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例5】 设 为椭圆 其周长记为 求 分析 由于积分曲线 可恒等变形为 而被积函数 中又含有 故可将代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分由于 关于 轴对称, 函数 关于 为奇函数, 故有第21页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解：由奇偶对称性可知 所以注：由于被积函数 定义在曲线 上, 故 满足曲线的

9、方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.第22页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是 而由轮换对称性可知： 故由奇偶对称性知： 故本题有如下简单的解法。【例6】* 求 , 其中解: 第23页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例7】设螺旋线弹簧一圈的方程为 其中 它的线密度 求此线关于轴的转动惯量 分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分 表示，然后计算积分即可。解：所求的转动惯量为 而

10、故 第24页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四六、对坐标对曲线积分典型例题【例1】计算曲线积分 其中 为曲线沿 增大的方向.分析 由于 故曲线积分与路径有关. 又因为曲线不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为再代入被积函数中计算。第25页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解：由于 所以分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分

11、曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。 【例2】 计算曲线积分 , 其中 为有向闭折线, 这里的 依次为点 、 、第26页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解法1：化为定积分计算. 由于 (如图)，这里所以 从 变到 。从 变到 。从 变到 。第27页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四从而 解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 上 所围成部分的上侧，由Stokes公式，得为 在坐标面 上的投影区域，则第28页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四

12、分析 由于 , 故曲线积分与路径有关。【例3】计算曲线积分 , 其中为区域 的边界，取逆时针方向。又因 为封闭曲线（如图）。且 、 在 所围区域上满足格林公式的条件，故本题可采用格林公式方法来计算，即采用框图中线路221的方法。.第29页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解: 令 ， . 则即 由于故利用格林公式，得第30页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例4】 计算曲线积分 . 其中 为圆周 （按逆时针方向绕行）.分析 由于本题积分曲线 为圆周 , 故可首先写出 的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算，即可采用框图中线路223的方法计算；

13、另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可采用框图中线路221的方法计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。第31页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解法1：化为定积分计算。的参数方程为： , 从 变到 . 则解法2：利用格林公式计算。 设 由所围区域为 ,则 ; 于是第32页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四分析 由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径 的积分，被积函数中含有 和 的项,【例5】 计算曲线积分

14、, 其中为曲线 上从点 到点 的一段弧.积分的计算将是非常困难的。因此，本题采用补特殊路径，然后应用Green公式的方法计算本题，即采用框图中线路222计算。线 不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直第33页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解: 补直线段 : , 从 变到 ; 并设曲线所围区域为 （如图），则由Green公式，得：又故 .第34页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例6】设 是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分 .分析 因 , , 则由于 与 在原点 处不连续, 因此：（1）若给定的曲线 所围成的闭区域不包括

15、原点 , 则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点 , 那么 、 在 所围成的闭区域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取Green公式,由此将 上的曲线积分转化为 上的曲线积分.一条包围点 的特殊的封闭光滑曲线 , 在 上应用第35页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解： 因 , , 则故 . （1）若给定的曲线 围成的闭区域不包括原点 . 由知曲线积分 与路径无关, 故 .（2）若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点 , 则取一条特殊的有向曲线 ( 充分小), 规定 的方向为逆时针（如图所示）。设 所围成的区域为 ,

16、则在 上应用Green 公式，得第36页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四所以 . 而 故或利用参数方程计算：令 : , , 从 到 .所以第37页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例7】计算曲线积分 , 其中为 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.解：记 , . 则由于 ,分析 本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看 以决定是否用格林公式或其他的方法计算。则所给积分与路径无关。现取 , 从 变到 ;则有第38页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四【例8】设位于点 的质点 对质点 的引力大小为（ 为常数, 为质点 对质点 之间的距离), 质点沿曲线自 运动到 .求在此运动过程分析 设质点 对质点 的引力 . 因此，问题的关键是写出引力 的表达式.中质点 对质点 的引力所作的功.则所求的功为第39页，共41页，2022年，5月20日，21点31分，星期四解： 作图如右图所示