量子力学算符之间的对易关系

1、量子力学算符之间的对易关系第1页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 与 之和 定义为 为任意函数 一般 ，例如粒子的哈 密顿算符是动能算符 与势能算符 之和 （2）算符之积：算符 与 之积定义为 （1） （2） 第2页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒 个相同算符 的积定义为算符 的 次幂 例如 则 为了运算上的方便，引入量子括号（3） （5） 第3页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三若称算符 与 是不对易

2、的（不能交换位置） 即若 称算符 与 是对易的 即下面几个经常使用的对易关系 请自行证明（6） （7） 第4页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易动量算符是微分算符 因为 则坐标算符与动量算符：设 为任意函数（12） （13） 第5页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三比较后可得 但是 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 其中坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。 （14a） （14b） (14c) 第6页，共24页，2022年

3、，5月20日，21点41分，星期三1.3 角动量算符的对易关系只证明其中一个，请注意证明方法记忆方法：从左至右以 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。 (15) 第7页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三以相同的推导方法和记忆规律，有 另外有 （16） （17） （18） 第8页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三1.4 几个重要的推论 (1) (2) （3）球坐标下 是 的函数，若有径向函数算符 则 （19） （20） （21） （22） 第9页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三2 共同本征函数完备系 2.1

4、共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 和 有一个共同的本征函数 ，则必有 及 ，即在 态中可以同时确定 这两个力学量的数值，那么 这似乎提醒我们有 ，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ），如果 和 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数 （23） 第10页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三有 则 这时才说 和 是对易的。这个结论可以推广到多个算符，即如果一组算符有共同的本征函数完备系 ，则这组算符对易例如即在 态中 同时有确定值 及 ，所以 是 的共同的本征函数，并且是完备的，所以 （24） 第11页，共24页，2022年，5月20日，21点4

5、1分，星期三2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 系的共同的本征函数。 这里仅就非简并本征函数系加以证明 若算符 和 相互对易，对于 的本征函数 ，有 可见 也是算符 的属于本征值 的本征函数。已经假定 非简并，所以对应 的两个本征函数 和 最多只能相差一个常数，所以（26） （25） （27） 第12页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三可见， 同时也是 的属于本征值 的本征函数。同理，对 的其它本征函数也有此结论。所以， 和 有组成完备系的共同的本征函数。 例如，角动量算符 ，所以它们有组成完备系的共同的本征函数 ，在 态中，力学量同时有确定值 及 。

6、 氢原子哈密顿算符所以， 对易，它们有组成完备系的共同的本征函数 ，在该态中三者同时有确定值： （28） 第13页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三2.3 力学量完全集 有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和 对易的其它力学量 。如果 的共同的本征函数仍然有简并，则必定还存在独立于 而又和 对易的其它力学量 ， 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全确定一个共同本征函数

7、，则这组力学量称为力学量完全集。在完全集中，力学量的数目一般称为体系的自由度。第14页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三例题一 任意态 求 态中 的可能值、概率及 。 解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成， 列表对应求解：第15页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三解法二 由 得 由 正交归一性得 第16页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三例题二 在对某一状态进行测量时，同时得到能量 能唯一确定这一状态吗？ 解：能。因为三个力学量对易， 故共同本征态为 第17页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三例题三

8、求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均 值 。 解：首先应注意， 是 的共同本征函数，而 不对易，故 不是 的本征函数。 利用对易关系 ，则 第18页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三同理 由于坐标 与 的对称性，可得 ，故3 不确定关系 若算符 和 不对易时，常记为 是一个力学量算符或普通的数。首先定义 （29） （30） （31） 第19页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三注意， 仍为厄米算符，若巧妙设计积分利用 的厄米性，可推出(课本p91)最后得出不确定关系(代数中二次式理论) 不确定关系（32） （33） （34） （35） 第20页，共

9、24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值, 或者说，它们不能有共同本征函数。 对不确定关系 应着重掌握其物理意义 例如 所以可见，若动量确定， ；则 ，即位置 完全不确定。试想，动量为 的自由粒子以波长 的状态（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？或 （36） 第21页，共24页，2022年，5月20日，21点41分，星期三反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为即位于 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的不确定范围可参见教材。（37） 第22页，