平稳时间序列的ARMA模型

1、 ARMA1平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推平稳和宽平稳。移发生变化。平稳的定义分为定义1（严平稳） # 设x,t,T是一个随机过程t量，在不同的时刻x是在不同的时刻tt的随机变t是不同的随机变量，任取n个值t,t和任1n 意的实数汕则xx分布函数满足关系式1nF（x，x;t，t）F（x，x;t+h，t+h）n1n1nn1n1n则称,x,tt为严平稳过程。t在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征（数学期望和协方差）相等。定义2（宽平

2、稳）若随机变量,x,tT的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）t存在，且满足：任取tT，有E(x)二c；t任取tT，t+，T，有E(X(t)a)(X(t+,)a)=R(,)协方差是时间间隔的函数。则称x,tT为宽平稳过程,t其中R(,)为协方差函数。2各种随机时间序列的表现形式白噪声过程（whitenoise,如图1）。属于平稳过程。儿=u,uIID(0,0)tt3whitenoise210-1-2-3100120140160180200220240260280300图1白噪声序列（0=1）随机游走过程（randomwalk，如图11）。属于非平稳过程。yt=yt-1+ut,utiid(o,10y

3、=y(-1)+u5-5-1020020406080100120140160180图2随机游走序列（2=1）2DJPY1-1-2220240260280300320340360380400220020001800160014001200图3日元兑美元差分序列 #50100150200250300 图4深圳股票综合指数10080604020750800400450500550600650图5随机趋势非平稳序列（=0.1）200-20-40-60-80100200300400500600700800图6随机趋势非平稳序列（=-0.1）10.0Ln(Income)9.59.08.58.07.57.05

4、560657075808590图7对数的中国国民收入序列 1412108640050556065707580859095图8中国人口序列3延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B为延迟算子，有x=Bpx,p1。tpt特别1-B)是差分算子。4ARMA(p,q)模型及其平稳性和可逆性4.1模型类型及其表示在平稳时间序列的分析中，应用最广泛的是有限参数模型。p阶自回归模型：用自己的过去和现在的随机干扰表X。tx，X+X+X+aa是白噪声。t1t12t2ptpttq阶移动平均模型：用现在和过去的随机干扰表x。tX，aaaatt

5、1t12t2qtqp阶自回归和q阶移动平均模型：自己的过去及过去和现在的随机干扰表X。tX一X一X一一X，a一a一a一一at1t12t2ptpt1t12t2qtq其中a是白噪声序列。t4.2平稳性X，X+X+X+a是平稳时间序列的反映t1t12t2ptpt吗？如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？例设X是一阶自回归模型，即X，X+a或tt1t1t(B)X，a，其中(B)，1Btt11则X，；a(利用等比级数的通项和公式)t(1B)t=无jBja1tj，o=艺ja1tjj，o如果I1，X，艺4ja,a的系数随着j的增加而1t1tjtjj,o趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的

6、原则，由此可见，平稳的充分必要条件是II1，II1,X二-jXatit-jtX的系数随着j的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小t-j丿近大”的原则，由此可见，X=a，a的逆转形式存在的tt1t1充分必要条件为I11，I1p。kk注：偏自相关函数的概率意义是在给定X，,X的条件t1tk+1下，X和X的相关系数。ttkARMA（p，q）模型自相关和偏自相关均拖尾，但是快速收敛到零。表1自相关和偏自相关特征表偏自相关函数AR(p)MA(q)ARMA(P,q)拖尾截尾拖尾截尾拖尾拖尾型自相关函数对一个实际时间序列，我们能掌握的是一段样本数据，所以首先要利用样本数据估计模型的自相关函数和偏自相关函数。

7、【例】利用1997年1月2002年12月到北京海外旅游人数资料绘制自相关和偏自相关图，在这里去掉了2003年的数据是由于非典的流行使2003年到北京旅游的人数锐减，出现奇异值，不具有一般性。如图17所示。 1 #图171997年1月2002年12月到北京海外旅游人数曲线图 1 #Autocorrelations:SARSAuto-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751Box-LjungProb.口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1.587.115.o*.*25.892.0002.358.115.o*.*35.657.

8、0003.166.114o*37.775.0004.074.113O*38.205.0005.068.112O*38.573.0006.183.111.o*41.281.0007.034.110o*41.377.0008.011.110.*.41.387.0009.095.109o*42.154.00010.253.108.o*.*47.641.00011.427.107.o*.*63.578.00012.660.106.o*.*102.277.00013.386.105.o*.*115.737.00014.179.104.o*118.679.00015.038.103.o*.118.814.

9、00016-.022.103.*.118.860.000Autocorrelations:SARSPlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.图1897年1月到02年12月到北京海外旅游人数自相关图图18显示滞后一期和滞后两期的自相关函数分别为0.5874和0.35818，超过了两倍标准差，显著不为零，以后的自相关函数均显著为零，直到滞后期为周期的长度12时，自相关函数出现了峰值，为0.66015，这是季节性时间序列的十分典型的特征，该序列从自相关函数看长期趋势并不十分显著。而且可能建立MA模型会产生过多的参数，于是可能适应的AR模型

10、。根据偏相关系数，如图19所示PartialAutocorrelations:SARSPr-Aut-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1.587.118.o*.*2.020.118.*.3-.080.118.*o.4.003.118.*.5.064.118.o*.6.197.118.o*.7-.255.118*O.8.036.118o*9.223.118.o*.10.248.118.o*11.239.118.o*12.391.118.o*.*13-.305.118*.*o.14-

11、.165.118.*o.15-.044.118.*o.16-.029.118.*o.PlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.图1997年1月到02年12月到北京海外旅游人数偏自相关图偏自相关函数图19显示滞后期为1，7，12和13的偏自相关函数分别为0.5874、-0.2555、0.39145和-0.30474，显著不为零，该时间序列的偏自相关函数显示该时间序列可能适应的模型(1B)(lB12)X，a和112tt(1BB7B12B13)X，a。171213tt我们模拟模型为(1B)(1B12)X，a。112tt表2模型(1B)(1

12、B12)X，a的参数估计表112tt参数参数估计标准差t值P值110.4959420.09480105.2314030.00000.7672140.076675610.0059730.000012卩22.7398662.186436110.4004260.0000StandarderrorAIC3.1740588Loglikelihood-189.48646384.97291SBC391.80291表2显示，该模型为aX，22.739866+tt(10.495942B)(10.767214B12)进一步对模型的适应性进行检验，回归系数均显著外，残差的自相关函数均落在两倍标准差内，可以认为残差序

13、列是白噪声序列，如图20所示。Auto-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751Box-LjungProb.口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1-.048.115.*o.175.6762.039.115.O*.292.8643.040.114.o*.416.9374.056.113.O*.664.9565-.007.112.*.668.9856.112.111o*.1.681.9477.028.110o*.1.747.9728-.045.110*o.1.917.9839.117.109o*.3.083.96110.03

14、1.108o*.3.167.97711-.037.107*o.3.286.98612-.047.106*o.3.485.99113.130.105o*.5.011.97514.025.104o*.5.070.98515.017.103*.5.096.99116.067.103o*5.517.993图20最终模型残差的自相关函数图最终模型残差的白噪声检验结果表明残差序列可以视为白噪声序列，模型是适应的。当模型通过了检验，我们可以用该模型进行结构分析和预测分析了。3时间序列建模的方法为了对时间序列建模有一个较全面的了解，下面从样本观测数据出发，介绍建立时间序列模型的基本步骤。Box-Jenkins

15、方法是以序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特性为依据，找出序列可能适应的模型，然后对模型进行估计。通常可以考虑的模型ARMA、ARIMA和乘积型季节模型。（一）模型的识别对于一组长度为N的样本观测数据x,x,x，首先要对12N数据进行预处理，预处理的目的是实现平稳化，处理的手段包括差分和季节差分等。经过预处理的新序列能较好满足平稳性条件。模型的识别包括差分阶数d、季节差分阶数D、模型阶数、q、k和m的识别。识别的工具是自相关函数和偏自相关函数。如果样本的自相关函数(s)当sq时显著为零，则序列适应的模型是MA(q)。如果样本的偏自相关函数当sp时显ss著为零，则序列适应的模型是AR,p)。若

16、样本的自相关函数和偏自相关函数均拖尾，并且按负指数衰减，则序列是ARMA序列，这时应该从高阶到低阶拟合模型，从中选择最佳的。当自相关函数缓慢下降，或是具有季节变化，那么观测的序列是具有趋势变动或季节变动的非平稳序列，则需要做差分或季节差分，如果差分后的序列的样本的自相关函数和偏自相关函数既不截尾又不拖尾，而在周期s的整倍数时出现峰值，则序列遵从乘积型季节模型，否则遵从ARIMA模型。（二）模型的估计当模型的阶数确定之后，利用有效的拟合方法。如最小二乘估计，极大似然估计等方法，估计模型各部分的参数。（三）诊断性检验模型选择检验所选择的模型是否能较好地拟合数据。它包括模型过拟合和欠拟合检验。通过检

17、验的结果，修改模型。时间序列建模应该基于简约的原则，即用尽可能少的模型参数，对模型做出尽可能精确估计。所以在选择模型时应该反复试探，这是一个识别，建模，再识别，再建模的过程。附录1AR模型平稳的充分必要条件。由于(B)X=att有X二1at(B)t111设(B)=0有个根，则(B)可表示为，九九12p(B)=c(1-,B)(1-,B)(1-,B)，c为常数，不妨假设12p11为1。贝0X二a=at(B)t(1-,B)(1-,B)(1-,B)t12p用待定系数法，有是有限实数）kX1a=YAka(其中t(B)t(1-,B)tTOC o 1-5 h zk1k再用等比级数通项和公式，有X1at(B)

18、t=pA.(1-LB)/k1k=YA(艺,jBj)akktk1j0=艺(YAkkt-jj0k1,Aj是把X表示为白噪声的加权和的系数，根据前面kktk=11的结论，如果X=a平稳，其充分必要条件为权系数绝t(B)tk1,的模大于1，即在单位圆外。p对收敛，权系数绝对收敛的充分必要条件为所有的模小于111，所以其根121,1,12可见自回归模型的自回归多项式如果有在单位圆上的根,的模大于1，则,的模小于1。12Pp1则可以称为时间序列是非平稳的，或存在趋势。附录2MA模型可逆的充分必要条件设时间序列X是m阶滑动平均模型，有tX，aaaa，0(B)att1t12t2qtqt其中：0(B)，1BB2Bq12qX可逆的充分必要条件是：t特征方程0(z)，1zz2Zq，0的根在单位圆外。证：假设0(z)，1一z-z2Zq，0有m个根TOC o 1-5 h z12q11120(B)，1-B-B2Bq12q(1-vB)(1-vB)(1-vB)12q11故a，X，.Xt0(B)t(1-vB)(1-vB)(1-vB)t HYPERLINK l bookmark7312q用待定系数法，有上式为：