第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

1、第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L(图10-1-1),它的质量分布不均匀，其线密度为(x,y),试求该构件的质量.、第一类曲线积分的定义与性质性质1设a，af(af(x,y),g(x,y)dsaJf(x,y)ds,fg(x,y)ds；性质2设L由L和L两段光滑曲线组成(记为L=LL)，则1212Jf(x,y)ds=Jf(x,y)dsJf(x,y)ds.L1L2L1L2注：若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.性质3设在L有f(x,y)g(x,y)，贝VJf(x,y

2、)dsJg(x,y)dsLL性质4(中值定理)设函数f(x,y)在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点(g,n)，使Jf(x,y)dsf(g，耳)-sL其中s是曲线L的长度.三、第-类曲线积分的计算：；Jf(x,y)dsJ,fx(t),y(t)x2(t)y2(t)dt(1.10)La如果曲线L的方程为yy(x),axb，贝VJf(x,y)dsJbfx,y(x)1y2(x)dx(1.11)La如果曲线L的方程为xx(y),cyd,贝VJf(x,y)dsJdfx(y),y1x2(y)dy(1.12)Lc如果曲线L的方程为rr(0),a00)与x轴所围成的面积.解ONA为直线y0.曲线AMO为y=a

3、x-x,x0,a.A丄Jxdy-ydx二AMO丄A丄Jxdy-ydx二AMO丄Jxdy-ydx2AMOONAAMO/x2y+(y)=x2yi(y)=01(y)=C,y所求函数为u=x2y2/2,C.例13(E07)设函数Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t,总有(t，1)2xydx,Q(x,y)dy=J(1,t)2xydx,Q(x,y)dy,(0,0)(0,0)求Q(x,y).解由曲线积分与路径无关的条件知讐=2x,于是Q(X,y)=x2,C(y),其中C(y)为待定函数.J(t,1)2xydx,Q(x,y)dy=J1(t2,C(y)dy=t2,J1C

4、(y)dy,(0,0)00(1,t)2xydx,Q(x,y)dy=(1,C(y)dy=t+C(y)dy,(0,0)00由题意可知t2+J1C(y)dy=t,fC(y)dy.00两边对t求导，得2t=1+C(t)或C(t)=2t-1.所以Q(x,y)=x2,2y-1.例14(E08)设曲线积分xy2dx+y(x)dy与路径无关，其中具有连续的导数，且L(0)=0,计算(1,1)xy2dx+y(x)dy.(0,0)解P(x,y)=xy2,Q(x,y)=y(x),TOC o 1-5 h zPQ-=(xy2)=2xy,半=y(x)=y(x).yyxx因积分与路径无关散PQ因积分与路径无关散=,yx由y

5、(x)=2xy(x)=x2,C.由(0)=0,知C=0故J(1,1)xy2dx,y(x)dy=J10dx,J1ydy=.(0,0)002例15选取a,b使表达式(x,y,1)ey,aeydx,bex-(x,y,1)eydy为某一函数的全微分,并求出这个函数.-，bex一(x+y+1)ey，bexey,x解-，bex一(x+y+1)ey，bexey,xyyx若表达式全微分式则養聲，即ex+aey，bexey.得a，1,b，1.u(x,u(x,y)，+yex一(x+y+1)eydy+C0，x(x+1)ex1dx+yey(x+y+1)eydy+C，xexx彳+exyxeyyey期+C，(x+y)(e

6、xey)+C.例16(E09)求方程(x3一3xy2)dx+(y3一3x2y)dy，0的通解.解P，6xy，Q,原方程是全微分方程，TOC o 1-5 h zyxxyx43y4u(x,y)，J(x33xy2)dx+Jyy3dy，一x2y2+,00424原方程的通解为x43丄y4Cx2y2+，C.424例19求微分方程2x(1+x2y)dxx2ydy，0的通解.解将题设方程改写为2xdx+2xx2一ydx一x2一ydy，0,即d(x2)+x2一yd(x2)一x2一ydy，0,将方程左端重新组合,有d(x2)+x2一yd(x2一y)，0,2故题设方程的通解为x2+3(x2y)3/2，C.内容要点一

7、、第一类曲面积分的概念与性质定义1设曲面是光滑的，函数f(x,y,z)在上有界，把任意分成n小块AS(AS同ii时也表示第i小块曲面的面积)，在AS上任取一点(g，耳,:),作乘积iiiif(g.,n.，:.)-AS.(i，1,2,n)iiii3333并作和f(g，,).,S,如果当各小块曲面的直径的最大值尢T0时，这和式的极限存在,iiiii=1则称此极限值为f(x,y,z)在Y上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为JIf(x,y,z)dS=limf(g.，.,.),S.IIII九tO.1Yi=1其中f(X,y,z)称为被积函数，Y称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法1z2(x,y)

8、1z2(x,y)z2(x,y)dxdy.xyDxy例4例4计算JJ|xyzdS,其中为抛物面z=x2+y2(0z1).解根据抛物面z=x2+y2对称性，及函数IxyzI关于xOz、yOz坐标面对称，有xyz|dS=4解根据抛物面z=x2+y2对称性，及函数IxyzI关于xOz、yOz坐标面对称，有xyz|dS=4IIxyzdS=4IIxy(x2y2)1(2x)2(2y)2dxdyD1xy=415=412dt11r2costsint-r214r2rdr=212sin2tdt11r514r2dr0000u一1”421255-1du=4205计算JJxdS,其中是圆柱面x2+y2=1,平面z=x2及

9、z=0所围成的空间立体的表面.解II=II+II12+II,3，在xOy面上得投影域D:x2y21.1于是将2xyIIxdS=JIxdxdy=0,IIxdS=IIx1+1dxdy=0,D1xy2(,-x2)投影到zOx面上，得投影域3132DxyDxy33333333D:-1x1,0yx1.xyDzxIIxdS=IIxdSIIxdS=2IIx1y2y2dxdzDzx33132=2x1+X?dxdz=2lXx+2dz=,1一x2，i1一x20Dxz所以xdS=0+0+=.例8设有一颗地球同步轨道卫星，距地面的高度为h=36000km,运行的角速度与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积

10、与地球表面积的比值(地球半径R=6400km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半顶角为A的圆锥面所截得的部分.的方程为Z=R2一x2一y2,它在xOy面上的投影区域D:x2+y2R2sin2a.xy于是通讯卫星的覆盖面积为A=2R2(1一cosa).R(Rh将cosa=代入上式得A=2兀R21-=2kR2-.R+h(R+h丿R+hA由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为4r2425%.由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔23角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.内容要点二、第二类曲面积分的概

11、念与性质定义1设工为光滑的有向曲面，其上任一点(x,y,z)处的单位法向量n=cosai+cosj+cosyk,又设A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k其中函数P,Q,R在Y上有界，则函数v-n=Pcosa+Qcos+Rcos则工上的第一类曲面积分0V-ndS=0(Pcosa+Qcos+Rcos)dS.(5.5)称为函数A(x,y,z)在有向曲面Y上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面:z=z(x,y)，与平行于z轴的直线至多交于一点，它在xOy面上的投影区域为D,则.xy(5.9)(5.9)Dyz上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐

12、角还是钝角而定.内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Q上具有一阶连续偏导数，则有公式dv=,Pdydzdv=,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(6.1)这里是Q的整个边界曲面的外侧，cosa,cosp,cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.(6.1)式称为高斯公式.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Q分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为dv=)J(Pcosdv=)J(

13、Pcosa+QcosP+Rcos)dS.二、通量与散度一般地，设有向量场fiffA(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中函数P、Q、R有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n。是曲面的单位法向量.则沿曲面的第二类曲面积分=,AdS=,AndS=jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy称为向量场A通过曲面流向指定侧的通量.而QPQQQR+QxQyQz称为向量场A的散度，记为divA，即divA=QdivA=QPQQQR+QxQyQz(6.5)例4(E04)证明：若为包围有界域Q的光滑曲面，则Mv”udV丿vQndS“呱讐g+曇g光IdVQQ其中n为函数u

14、沿曲面工的外法线方向的方向导数，u，v在,上具有一阶和二阶连续偏导数符号士+亲+n称为拉普拉斯算子.这个公式称为格林第公式.证因为其中ncosa,cosp,cosY是E在点(x,y,其中ncosa,cosp,cosY是E在点(x,y,z)处cosa+cosp+cosYVu-nnxyz的外法线的方向余弦，于是vudSJJv(Vu-n)dS(vVu-n)dSnEExuu”vcosa+vcosp+uu”vcosa+vcosp+xu”xu”v+v+-x丿y-y丿zvcosYz丿u”v-z丿dvdS人,uvuvuv”，JJJvudv+JJJ+dv.-xxyyzz丿将上式右端移至左端即得所要证明的等式.例

15、5(E05)求向量场rxi+yj+zk的流量穿过圆锥x2+y2z2(0zh)的底(向上)；(2)穿过此圆锥的侧表面(向外).解设气,s2及S分别为此圆锥的面，侧面及全表面，贝y穿过全表面向外的流量QJJr-dSJUdivrdv3JUdvh3.S+VV穿过底面向上的流量Q1JJr-dSzdxdyhdxdyh3.S+x2+y2z2x2+y2为分段光滑的空间有向闭曲线，E是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与E的侧符合右手规则，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面E在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,贝有公式坐Idydz+比丿dzdx坐Idydz+比丿dzdx+丿

16、彷丿JPdx+Qdy+Rdz.L(7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式JJdydzd_dxPdzdxJJdydzd_dxPdzdxddyQdxdyd_dzRJPdx+Qdy+Rdzr利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成JJcosad_dxJJcosad_dxPcos卩d_dyQcosyd_dzdSJPdx+Qdy+Rdz.二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场fiffA(x,y,z)P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分rJPdx+Qdy+RdzC称为向量场

17、A沿曲线c按所取方向的环流量.而向量函数dRdQdPdydzdRdQdPdydz，dzdRdQdPdxdxdy称为向量场A的旋度称为向量场A的旋度，记为rotA，即dP,k.dy丿roAdR-dQ+dydz丿dzdx丿旋度也可以写成如下便于记忆的形式：ijkdrotAdddxdydzPQR四、向量微分算子：-?i+dj+4-k,dxdydz例2计算曲线积分J(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz,其中r是平面rx+y+z3/2截立方体：0，x，1,0,y,1,0,z,1的表面所得的接痕，从x轴的正向看法，取逆时针方向.解取工为题设平面的上侧被所围成部分，则该平面的法向量n1

18、,1,33,即cosacosPcos二13,13d13d13d13dQy13QQzdSy2y2-x2x2-y2ff(x+ff(x+y+z)dS43ffdS-23ff32y乙Dxy3dxdy-例3E02)计算f(y2+z2)dx+(x例3E02)计算f(y2+z2)dx+(x2+z2)dy+(x2+y2)dz,式中是x2+y2+z22Rx,x2+y2=2rx(0r0).此曲线是顺着如下方向前进的：由它所包围在球面x2+y2+z22Rx上的最小区域保持在左方.解由斯托克斯公式，有原式2ff(y一z)cosa+(z一x)cosP+(x一y)cosydSyffy2ff(z一y)dS(利用对称性)ffz

19、dS二ffRcosydSyyy(x”“(y-z)-1R丿+(z-x)R+(x-y)汕ffRdxdyRffdo=r2R.yx2+y2，2rx例5(E03)设ux2y+2xy2一3yz2,求gradu;div(gradu)；rot(gradu).却,|QuQuQu、解gradu，r2xy,4xy，-6yz.QxQyQzdiv(gradu)+一匸2y+4x-6y4(x-y).IQxQycQzQQd2udd2ud2udzdy，dzdxd2uQ2udxdzdxdyQ2uQyQx因为u=x2y+2xy2-3yz2有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关，故rot(gradu)=0.注：一般地，如果u

20、是一单值函数，我们称向量场A=gradu为势量场或保守场，而u称为场A的势函数例6(E04)设一刚体以等角速度c=ij+k绕定轴L旋转，求刚体内任意一xyz点M的线速度的旋度.解取定轴l为z轴，点M的内径r=OM=xi+yj+zk,则点M的线速度v=Cr=于是rotv=v=C0)特别地，当f(P)三1时，有d，d，limAQQQQi，1如果点函数f(P)在有界闭区域上连续，则f(P)在上可积.二、点函数积分的性质设f(P)，g(P)在有界闭区域上都可积，则有性质1Jf(P)g(P)d，Jf(P)d0,Pw,贝f(P)d0.Jf(P)dJIf(P)ld.性质5若f(P)g(P),PeJf(P)dJIf(P)ld.性质6若f(P)在积分区域上的最大值为M,最小值为m,则mJf(P)dM.性质7(中值定理)若f(P)在有界闭区域上连续，则至少有一点P*e，使得Jf(P)d，f(P*).特别地，有d其中f(P*)=ip称为函数f(P)在上的平均值.三、点函数积分的分类及其关系若=a,buR,这时f(P)=f(x),xa,b,则d=,bf(x)dx.d=,bf(x)dx.(1)QQ这是一元函数f(x)在区间a,b上的定积分.当f