树枝上的小鸟-趣说刚体平衡

1、树枝上的小鸟一一趣说刚体平衡摘要 为了提高理论力学课堂的趣味性，本文以树枝上小鸟作为刚体平衡的例子，应用力的平行四 边形法则、力的可传性、三力平衡汇交定理等基本原理分析了树枝上小鸟的双腿受力，以及啄木鸟尾巴 在保持身体平衡中的作用，并讨论了小鸟不同姿态对其受力的影响，期望达到提高学习兴趣、寓教于乐、 改善教学效果的目的。关键词 刚体平衡，静力学，理论力学RIGID EQUILIBRIUM AS EXEMPLIFIED BY BIRDS STANDING ON ABRANCH1)Abstract To enhance the students interest for studying Theo

2、retical Mechanics, two teaching cases of static equilibrium are designed in this paper, as the static analysis for birds standing on a branch. Some knowledge points, such as the parallelogram of force, the transmissibility of force, the three-force balance intersecting principle and the conditions o

3、f rigid body equilibrium, are used to analyze the forces on the bird legs on a branch; and the function of the woodpecker tail when it pecked the worm. It is a very enjoyable and educational experience for the students, and can raise students interest in learning and improve teaching results.Key wor

4、ds rigid equilibrium， statics， theoretical mechanics力学是土木、机械、环境、水利等绝大多数工科 专业的基础课程，理论力学作为大学生学习的第一 门力学类课程，其学习效果会直接影响到学生对后 续力学课程的学习兴趣和学习信心。然而，在实际 教学过程中学生学习兴趣不高、以及高不及格率已 经成为困扰力学教师的突出问题。例如，文献1-3 指出理论力学课程的不及格率在20%30%之间, 有的超过30%甚至更高，并将造成高不及格率的主 要原因归咎于课程概念多、公式多、推导多、逻辑 性强，致使学生在纯理论的学习中，感到枯燥而逐渐失去学习兴趣。文献4认为理论力学

5、课程体系较 为成熟，教师容易固化教学模式而忽视学生的思维 发展和时代变化，且大多数教材注重抽象概念的讲 解而缺乏工程背景的介绍，使得学生很难把课程与 工程实际结合起来。本文针对于理论力学静力学部 分提供两个生活中的例子，其一为树枝上小鸟站立 时的双腿受力分析，其二为啄木鸟尾巴在保持身体 平衡中的作用分析。这两例涉及力的平行四边形法 则、力的可传性、三力平衡汇交定理、刚体平衡等 静力学知识点。贴近生活的例子可以增强学生对所 学知识的体验，有望能够达到提高学习兴趣、寓教 于乐、改善教学效果的目的。1教学案例刚体平衡本是理论力学中相对容易和简单的知 识体系，在中学和大学物理中有一定的学习，正因 如此

6、多数学生容易产生轻视心理，致使学习效果较 差同。变革教学内容，使用新的教学案例可使学生 耳目一新，增强学生的学习兴趣。这里，我们提供 两个生活中的教学案例，先以探究方式让学生参与 思考，然后老师进行点评、补充和完善，通过让学 生自我检验与以往知识点在内容、思考方式上的不 同，完成对理论力学静力学知识点的掌握。这种“研 究型教学模式”囹可在一定程度上起到提高学习兴 趣、培养工程意识、创新思维的作用，提高理论力 学的教学效果。问题1 试分析图1(a)中小鸟站立在树枝上 时，为维持平衡小鸟两爪的作用力有多大？分析与求解首先考虑小鸟身体的简化，在某 一时刻，小鸟静止，可将其视为刚体。然后考虑小 鸟的受

7、力，包括重力，两只爪的作用力。显然，上 爪承受拉力和下爪承受支撑力。在此三力中，重力 方位线竖直向下，下爪支撑力沿腿作用，但是小鸟 位于上侧的腿一方面是弯着的，另一方面紧贴身体, 不好判断其受力方向，此时需要根据“三力平衡必 汇交”定理来判断上爪拉力的作用线，三力作用线 如图1(b)所示。用一个椭圆形代表鸟的身体，保持 图中各力方位，分离出受力示意图，如图1(c)所示。为了确定三力之间的关系，再利用“力的可传 性”，即力沿着作用线移动不改变力对刚体的作用 效果，将三力平移至汇交点，依据“二力平衡条件” 可知重力应与两爪作用力的合力相等，求两爪作用 力的合力则会用到“力的平行四边形法则”，其关系

8、 如图1(d)所示。假设拉力作用线与水平线的夹角为 01(也可等效为支撑力与竖直线的夹角)，支撑力作 用线与水平线之间的夹角为02 (也可等效为上腿拉 力与竖直线的夹角)，依据图1(d)的几何关系，利用 正弦定理写出如下表达式G _ F _sin(0i + 02)sin (n/2 0。 TOC o 1-5 h z F(1)sin (冗/2 02)由于这里只有F1和F2是未知量，当小鸟的体重已 知时，很容易求得F _ G cos 02_ sin(0i + 02) IG cos 01；( )sin (01 + 02)讨论 依据式(2)可知，小鸟两只爪子的受力主 要取决与01和02、以及两角之和的大

9、小。当01 + 02 为90。时，sin(01 + 02) = 1，取得最大值，此时小 鸟两爪的受力可取得最小值。从图1(b)的照片看, 01 + 02近似为90。可见，小鸟的站立姿态做了最省 力的“优化处理”。假设当小鸟重心从远至近贴近树 枝时，保持01 + 02 = 90。，并以01为自变量来考察 小鸟站姿对两腿受力的影响，则式(2)简化为式(3)F1 = G sin 01(3)F2 = G cos 01(3)FF合G(d)图1平面刚体平衡的例子G(d)由此可见，当小鸟重心从远至近贴近树枝时，01将由大变小，其变化范围在90。0。之间，根据三角函数的性质可知，当01 = 45。时，两腿受力

10、相 等；当0。 01 45。时，有Fi F,即拉力小于 支撑力；当45。01 F2,即拉力 大于支撑力。问题2试分析啄木鸟尾巴的作用。分析与求解用与问题1相似的方法，将啄木 鸟简化为刚体，这里用橄榄球状来替代啄木鸟的 身体，如图2(b)所示。从图2(a)中观察，啄木鸟两 爪的作用力相交位于同一平面内，可先将两爪的作 用力利用“力的平行四边形法则”合成为一个力F爪, 如图2(c)所示。利用“力的可传性”，将其汇交于一 点求出合力大小，如图2(d)所示。在此基础上，重 力、两爪合力、尾巴受力如图2(e)所示，再利用“力 的可传性”简化为图2(f)，啄木鸟要保持身体平衡, 则各力之间应满足如下关系G

11、-堂直 (4)sin n (-堂直 (4)sin n (a1 + a2)sin a1sin a2于是，可得G sin 以抓 sin (如+顷)(5)图2空间刚体平衡的例子讨论依据式(5)，可以得到与问题1类似的结 果，啄木鸟尾巴受力相当于问题1中小鸟下方爪提 供的支撑力，且叫+顷= 90。时，啄木鸟最为省 力，从图2(b)和图2(f)中也可以看出ai +顷近似 为90。假设ai +顷= 90。，选择顷(尾巴上的作 用力与竖直线的夹角)作为自变量，式(5)可写为(5)图2空间刚体平衡的例子F尾=G cos a2 I尾2 ；F抓=G sinI啄木鸟在啄食虫子的过程中，需要先将身体后 仰，2达到最大

12、设为max(依据图2(b)估计2不超 过45。)，然后身体向前弯曲啄食虫子，0,2的变化 范围在amax到0。之间。尽管在这个过程中身体是 变形体，但对于每一个时刻均可视为刚体，啄木鸟 身体弯曲变形的过程，从静力学本质上看就是身 体重心依次发生了变化。由式可知，当Omax(设 Omax 45。)逐渐减小时，尾巴受力将逐渐增大，极 限情况下02 = 0时，啄木鸟身体的重量将完全由尾 巴支撑。由此可见，尾巴对于啄木鸟啄食虫子具有 十分重要的作用。在大多数有关啄木鸟的绘画作品中，我们会看 到啄木鸟的尾巴都是紧贴树干的，图3(a)所示为华 夏艺术网一幅关于啄木鸟的绘画作品，体现了艺术 家对生活细致入微的观察。相反，图3(b)中右侧的 啄木鸟尾巴没有紧贴树干，就有一种摇晃、不够稳 定的感觉，这大概就是力学在艺术之美中的体现吧。(a)图3绘画艺术作品中啄木鸟尾巴的对比2(a)图3绘画艺术作品