复习中的一些概念问题

1、复习中的一些概念问题第一章1.1哪些向量是 v = (3, 1)和w = (4, 3)的线性组合 ?1.2比较 v = (3, 1)和 w = (4, 3) 的点积和它们的模。哪个更大？满足什么样的不等式？1.3问题 1.2 中 v和 w的角度的余弦是多少?x 轴和 v的角度的余弦是多少？第二章2.1矩阵 A乘以列向量 x = (2, 1)后得到 A的什么样的组合？A有多少行和列？2.2如果 Ax = b ， b是否是矩阵 A中向量的线性组合？ b是否位于 A的向量空间中？2.3如果 A是 2阶方阵21 ，它的主元素是多少？662.4如果 A是矩阵 01怎样进行消元？怎样求出转置矩阵P？112

2、.5如果 A是矩阵 21，找到 b和c使得 Ax = b 无解， Ax = c 有唯一解。632.6 当 3阶矩阵 L乘以什么样的 3行的矩阵时使得 A的第 3行加上第 2行的 5倍，第 2行加上第 1行的2倍？2.7 当 3阶矩阵 E乘以什么样的 3行的矩阵时使得 A的第 2行减去第 1行的 2倍，第 3行减去第 2行的5倍？ E和问题 2.6 中的 L有何关系 ?2.8 如果 A是 43阶矩阵， B是 37阶矩阵， AB中有多少行乘以列？有多少列乘以行？进行多少次乘法运算（两者都有）？2.9假设A=IU 是 2阶分块方阵，它的逆矩阵是什么？0I2.10通过 A I怎样求出 A的逆矩阵？求解

3、方程Ax = I 的列，解 x是多少？12.11通过消元怎样怎样判断方阵A是否可逆？2.12假设经过消元使得 A变为 U（下三角形）和 L（上三角形）的乘积，为什么A的最后一列等于 L的最后一列乘以 U？2.13可逆方阵怎样进行分解（通过行变换进行消元）？2.14 AB 的逆的转置是什么？2.15怎样证明置换矩阵的逆还是置换矩阵？对转置矩阵呢？第3章3.1可逆的 n阶方阵的列空间是什么？它的零空间呢？3.2如果 A的每一列都是第一列的倍数，那么A的列空间是什么？3.3Rn 中的一些向量是子空间的两个充分条件是什么？3.4如果矩阵 A的行最简形的第一行都是1，怎样判断其它行都是0？它的零空间是什

4、么？3.5假设 A的零空间中只有零向量，方程Ax = b 的解是什么形式 ?3.6通过行最简形怎样判断原矩阵的秩？3.7假设 A的第 4列是第 1、 2、3列之和，找到零空间中的一个向量。3.8描述线性方程 Ax = b 的解的形式。3.9如果 Ax = b 对每一个 b都有唯一解，那么A具有什么性质？3.10举例说明存在可以扩展成 R2 的向量不是 R2 的基。3.11 4 阶对称方阵空间的维数是多少？3.12解释什么是向量空间的基和维数。3.13为什么 A的每一行都正交于零空间中的向量？3.14怎样使一个行向量u乘以一个列向量v T （都是非零向量）的秩为1？3.15 4 个基本子空间的维

5、数是多少？如果A是 63阶秩为 2的矩阵呢？23.16全是 2的 63阶矩阵的行最简形是什么？3.17解释什么是 A的主列。3.18判断 A的左零空间的向量形式是否为AT y。3.19为什么所有可逆矩阵的列都是一个基？第4章4.1正交子空间的余子式是什么？4.2如果 V是 7维空间 R7 的子空间，那么V的维数加上它的正交补空间的维数等于多少？4.3 b 在直线 a上的投影为多少？4.4矩阵在直线 a上的投影 P等于多少？4.5将 b投影在 A的列空间上的表达式是什么？4.6当 A的列具有何种性质时矩阵 AT A可逆？4.7误差函数为什么是用最小二乘法求得方程Ax = b 误差最小？4.8用最

6、小二乘法求方程 Ax = b 和在列空间上投影有何联系？4.9矩阵 A为何种形状时连接 10个数据点的直线误差最小？投影p在图像上的什么位置？4.10如果 Q的列规范正交，为什么 QT Q = I？4.11矩阵 P在 Q的列上的投影是什么？4.12用 GramSchmidt正交法正交向量a = (2,0) 和 b = (1,1) ，结果为多少？如果保留a = (2,，那么用 GramSchmidt正交法是否会产生同样的结果？4.13判断是否所有置换矩阵都正交。4.14正交矩阵 Q的逆矩阵是多少？第5章5.1矩阵 -I 的行列式是多少？35.2证明行列式是第一行的线性函数。5.3证明 det A

7、- 1 = 1/ det A。5.4如果 A（不经过行变换）的奇异值为2， 6，6， A的哪些子矩阵的行列式可以确定？5.5假设 A的第一行是 0， 0，0， 3， A的行列式的表达式是什么？5.6序列（ 2，5，3，4，1）是奇序列还是偶序列？你的答案中的置换矩阵的行列式是多少？5.7 3 阶消元方阵 E的第 2行减去第 1行的 4倍的系数 C23 是多少？ E- 1的哪些元素可以确定？5.8解释应用第 1列求行列式的表达式的意义。5.9应用 Cramer法则求解方程Ix = b的第一个步骤是多少？5.10如果 I 的第 2行全为 1，为什么 a21 C11 + a22 C12 + a23

8、C13 = 0 ？5.11行列式和体积有何关系？5.12求出 u = (0, 0, 1)和 v = (0, 1, 0)的叉积及其方向。5.13如果 A是 n阶方阵，为什么det(A- I) 是 的 n次多项式？第6章6.1与 A的特征向量无关的特征值的方程是什么？怎样找到特征向量？6.2如果 A奇异，它的特征值怎样？6.3如果 A乘以 A等于 4A， A的特征值是什么？6.4找到没有实特征值或特征向量的矩阵。6.5怎样从 A直接求出 A的特征值的和及乘积？6.6秩为 1的矩阵 1 2 1 T 1 1 1 的特征值是多少？6.7解释对角化公式A = SS- 1 。为什么及什么情况下公式成立？6.

9、8矩阵的特征值的代数乘积和几何乘积有何不同?哪个更大 ?46.9解释为什么 AB的迹等于 BA的迹。6.10怎样应用 A的特征向量求解du= Au？dt6.11怎样应用 A的特征向量求解u k+1 = Au k ？6.12定义矩阵的指数eA和它的逆及平方。6.13如果 A对称，它的特征向量有什么特点？其他矩阵的特征向量有这样的特点吗？6.14当 A对称时它的对角化公式是什么？6.15什么是矩阵的正定？6.16什么时候 B = AT A是正定矩阵（A是实矩阵）？6.17如果 A正定描述 Rn 中的曲面 xT Ax = 1 。6.18什么是相似矩阵？相似矩阵有什么相同点？6.19 3 阶全是 1的矩阵当 i j 时的 Jordan 形是什么？6.20 SVD 中将 A表示为哪三种矩阵的乘积？6.21 SVD 将A同 AT A怎样联系起来？第7章7.1定义 R3到 R2的一个线性变换并举例说明。7.2如果书封皮上上中的房子是最初的，在其他8个房子中的变换中找出非线性要素？7.3如果一个线性变换将输入矩阵中的每一个向量都变为下一个基向量（最后一个变为零） ，它的矩阵是什么样？7.4假设将标准基（ I 的列