勾股定理在中考中的几种新题型

1、-勾股定理在中考中的几种新题型一逆思型例 1 如 在单位正方形组成的网格图中标有 A、D、四条线段，其中能构 成一个直角三角形三边的线段是（ ）(A)C、 、EF、G（C）B、CD、G()B、EF图 解： eq oac(,Rt)EA中AF=,AE=2，据勾股定得EF AE22 2 5同理 2 ， ， 5计算发现( 5) 2 )2( 2 即ABEF 根勾定理的逆定理得到 AB、G为边的三角形是直角三角形。故选B)。二、探规型例 2 如,设四边形 是长为 1 的方形，以正方形 ACD 的角线为边作第 二个正方形 AC再以第二个正方形的对角线 A为边作第三个正方形 此下 去。 （ 1) 记正方形 A

2、B D 的长 依述方法所作的正方形的边长依次为， ， ， ，求出 ， ， n 3 的值。（根据以上规律写出第 正方形的边长的表达式。图 解（1）因为四边形CD 为正方图形中有多个等腰直角三角形所以根据勾股定理AC AB 2 2同理 ， -因为 ( 2 ) ， a 2 ， a 2 2 ， ( 2 ) (2）根据以上规律，第正方形的边长 （ n ）(是自然数）三、展助型例如图所示 1 为上无盖的正方体纸盒将其剪开展成平面图如 2 所已 知展开图中每个正方形的边长为 。（)求在该展开图中可画出最长线的长 这的线段可画几（2试比较立体图中AC 与面展开图中B A C 的大小关系？解（1在平面展开图中可

3、画出最长的线为 。图 3-中的 在 C 中因为C ，A D 由勾股定理:A C D 2 D 2 1 10答：这样的线段可画 (另三条用虚线标出）（因为立体图中BAC 为面等腰直角角形的一锐,所以B5。在平面展开图 3 中连线段 5， C 为A B 2 C A B C（如图 ，由勾股定理可:由勾股定理的逆定理可得 B C 为直角三角形又因为A B 以所 B C 为等腰直角三角形所以B A 所以BAC 与B A 相等-四、观解型在直线 l 上次摆放着七个正方形（如图 所）。已知斜放置的三个正形的面积分别是3,放置的四个正方形的面积依次是S 、 、 ，S 2 3 4 2 3_。图 ：S代表面积为S的

4、正方形的边长的平方 ,S代表面积为S的正方形的边长的平方 ,S 12代表斜放置的正方形的边长的平方,故S 12=斜放置的正方形 的积;理S 3 =斜放置的正方形 3 的积；所以S 1 2 3 4。五、折构型例 年江苏省无锡)如图 ，将正方形 ABC叠，使顶点 A 与D 边的点 M 重,折痕交 AD 于 交 F,边折叠后与 边于点 。果 M 为边的中 点求证:DEM=34。图 解由折叠知,EM=EA, 所以 a ， a在 eq oac(,t)D中，EM 2 2 -所以 a EA 2解得 54a以所 34a所以DEDM：EM 3 a： ： 5 4 。六、剪操型例（）四年一度的国际数家大会于 月日在

5、北京召开。大会会标如 6 甲是四个相同的直角三角与中间的小正方形拼成的一个大正方形大正方形的面 积为 ,个直角三角形两条直角边的和是 求间小正方形的面积。(2)有一张长为.5、宽为 2cm 的片，如图 6 乙请你将它分割成块，在拼合成 一个正方形。(要求：先在图乙中画出分割,画出拼成的正方形并表明相应数据）图解:(1)设直角三角形的较长直角边长为 a，短直角边长为 b ，小正方形的边长为 。由题意得 由勾股定理，得 2 13得ab 12以所( 13 12 即所求的中间小正方形的面积为（）所拼成的正方形的面积为 由得 2 )所以可按照图甲作。由、组成方程组解得 ， 2结合题意 个直角三角形的较长

6、的直角边只能在纸片 的边上截取 掉四个直角三角形后，余下的面积为13 12 13 2 ) 恰等于中间的小正方形面积。于是,到以下分割拼合方法：- - 图 七、阅理型例阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、 阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用 ,希腊数学家毕达哥拉斯首先证明 了勾股定理,西方勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理。关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组 ,几何课本中我们已经了 解到“能够成为直角三角形三边的三个正整数成为勾股数”下毕达哥拉斯等学派 研究出的确定勾股数的两组方法：方法 ：若 m 为数( 3），则 a=m,b1

7、( m 和 ( m2 2是勾股数。方法 若取两个正整, 和（mn), ，b 2c m是勾股数。（)在以上两种方法中任选一种证明以、bc 为长 eq oac(,的)ABC 是角三角形。（请根据方法 1 和法 2 按律填定下列表格：勾 股弦1212( ( ma=m n n（某园林管理处要在一块绿地上植,之构成如图 8 所示的图案景观，该图案由四 个全等的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树 , 各上相邻两棵树之间的距 离均为 果每个三角形最短边上都植 6 棵么这四个直角三角形的边上共需植树 _棵。图 -解：）选方法 1：因为a m，b 1 1 ( ， ( 22 2以所a 21 ( 1)

8、2 ( 2 2 ( 4 1 4 2 1 m 2 4 ( m 2 22 ( 1c ( m 2 214( m 2所以 2故根据勾股定理的逆定理得到以 、c 为长的 eq oac(,) eq oac(, ) 是角三角形。 (2)根据方法可填勾、股4、弦 2和勾 9、股 40弦 。根据方法 当=5,n2 时、分别可填；212、2。当m ， 时，、b、c 分可填：41、2。(3）因为相邻两树间的距均为 ,每个三角形最短边上都植 6 棵,这棵中包括两端的 棵，去掉 ,最短边应为棵，其余两边分别为 棵棵。该图案由四个全等的直角三角形组成，共需植树 八、类猜型 (5 120棵。例 中， B = AC b,AB 若 , 如 ，根据勾股定理 , 则。若ABC 不直角三角形,图 9（）和 （）请类比勾股定理，试猜想 与 c 2的关系并证明你的结论。解若 是角角则有图 2 2-若 是角角形，C 为钝角则 当 是角三角形时 2 图 1证：点 A 作D