新课标2022年版高考数学总复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件文

1、第三节函数的奇偶性与周期性学习要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.了解周期性、最小正周期的概念和几何意义.3.会运用函数的图象判断函数的奇偶性.4.会判断、应用简单函数的周期性.必备知识整合1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是偶函数关于 对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是奇函数关于 对称f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x

2、)为周期函数,T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.f(x+T)=f(x)知识拓展1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1f(x)为偶函数,其中f(x)0.(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1f(x)为奇函数,其中f(x)0.2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=

3、偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 3.函数周期性的常用结论对f(x)的定义域内任意自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0).(2)若f(x+a)=,则T=2a(a0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=x2在x(0,+)上是偶函数.()(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.()(3)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)函数f(x)=-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称

4、D.直线y=x对称C3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.-B. C.D.- B4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=.125.(2019课标全国理,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=.-36.若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)=则f(a+1)的值为.2解析因为f(x)是定义在R上的周期为3的函数,所以f(0)=f(3),所以a=0,所以f(a+1)的值为12+1+0=2.关键能力突破考点一函数的奇偶性 关键能

5、力突破典例1已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2B典例2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=log2(1+4x)-x;(3)f(x)=log2(-3x).解析(1)因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称,且f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=log2(1+4-x)+x=log2+x=log2(1+4x)-log24x+x=log2(1+4x)-x=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)

6、=log2(+3x)=log2=-f(x),所以f(x)为奇函数.规律总结1.判断函数奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断函数奇偶性的过程中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式,看f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解析式.(3)求解析式

7、中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.1.(2020浙江,4,4分)函数y=xcos x+sin x在区间-,上的图象可能是()A 解析设f(x)=xcos x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f()=cos +sin =-,排除B,故选A.2.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+2是定义在a,b上的偶函数,则k+a+b=.13.判断下列函数的奇偶

8、性.(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=+;(3)f(x)= 解析(1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称,且f(-x)=+=+, f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称.当x0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内任意的x,总有f(-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数.考点二函

9、数的周期性 典例3设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x0,2时, f(x)=2x-x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)计算:f(0)+f(1)+f(2)+f(2 020).解析(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.又因为f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 016)+f(2 017)+f(2

10、 018)+f(2 019)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2 020)=f(2 020)=f(0)=0.变式探究1若原题中条件变为“f(x+2)=”,求函数f(x)的最小正周期.解析因为对任意xR,都有f(x+2)=,所以f(x+4)=f(x+2+2)= =f(x),所以f(x)的最小正周期为4.变式探究2若原题中条件变为“f(x+2)=-”,求函数f(x)的最小正周期.解析因为对任意xR,都有f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x+2+2)=-=-=f(x),所以f(x)的最小正周期为4.变式探究3在原题条件下,求f(x)(x2,4)的解析式.解析当x-2,0时,-x0,2

11、,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x,x-2,0.又当x2,4时,x-4-2,0,所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.故x2,4时, f(x)=x2-6x+8.方法技巧函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0),便可得函数是周期函数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题

12、时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.1.(2020湖北武汉二中模拟)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上, f(x)= 则f(f(15)的值为.解析f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期为4,f(15)=f(-1)=, f=cos=,f(f(15)=f=.2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0 x2时, f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为.7解析当0 x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.

13、当2x4时,0 x-22,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2x4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4x6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.解析当0 x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2x4时,0 x-22,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2x4时,y=f(x)的

14、图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4x6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.综上可知,共有7个交点.考点三函数性质的综合应用 角度一函数的单调性与奇偶性的综合问题典例4(1)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减, f(1)=-1,若f(2x-1)-1,则x的取值范围是()A.(-,-1B.1,+)C.0,1D.(-,01,+)(2)已知函数f(x)=ex-e-x+x3,则不等式f(2x+1)+f(4-x)0的解集是()A.(2,+)B.C.D. D解析因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对

15、称,所以由f(0)=0得f(4)=0,又f(x)在(-,2)上单调递减,所以f(x)在2,+)上单调递增,当2-3x2即x0时,由f(2-3x)0得f(2-3x)f(4),所以2-3x4,解得x-;当2-3x0时,由f(2-3x)0得f(2-3x)f(0),所以2-3x,综上所述, f(2-3x)0的解集是.3.函数y=f(x)满足对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为.4解析y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,f(

16、x)为奇函数.又f(x+2)=f(-x),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x),y=f(x)是以4为周期的周期函数.f(2 016)=f(5044)=0, f(2 017)=f(5044+1)=f(1)=4, f(2 018)=f(5044+2)=f(2)=-f(0)=0.故答案为4.抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能力.微专题

17、抽象函数的性质及应用学科素养提升角度一抽象函数的单调性典例1(2020甘肃静宁一中校级期末)已知偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,则满足f(2x-1)f(x)的x的取值范围是()A.1,+)B.(-,1C.1,+)D. D根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)f(x)f(|2x-1|)f(|x|)|2x-1|x|(2x-1)2x2,解得x的取值范围.典例2(2019湖北武汉期末)若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)且x1x2,都有 0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为()A.f(b)f(a)f(b)f(a)

18、C.f(c)f(a)f(b)D.f(b)f(c)f(a)B根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在0,+)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得ab0c,再结合函数的单调性分析可得答案.(2020天津第二十五中学3月模拟)已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x22,+)(x1x2),都有 0,若f(a)f(3a+1),则实数a的取值范围是()A.B.-2,-1C.D. A解析因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x22,+)(x1x2),都有 0

19、,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2 020)=()A.B.2C.D.4A根据题意,由f(x+1)=f(x)f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)f(x+3),进而可得f(x+3)=,则有f(x+6)=f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在0,1上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则()A.abcB.acb

20、C.cbaD.bc0,b0,又f(2 020)=f(5054)=f(0)=0,所以c=0,故bc0时,h(x)=log20 x,因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f3-(3+x)=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(kZ)为f(x)图象的对称轴,又因为当x时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x0,20时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在0,20上有13个交点,即g(x)在0,20上有13个零点,又因为g

21、(x)是偶函数,所以g(x)在-20,20上共有26个零点.故选B.令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出0,20上的图象即可判断出总零点个数.典例7已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x0,1时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-logax(a1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)D利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.1.(2020贵州毕节模拟)函数f(x)满足3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y