北京专用2022年版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第三节不等关系与一元二次不等式课件

1、第三节不等关系与一元二次不等式学习要求:1.能梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.2.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.必备知识整合1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(a,bR):(2)作商法(aR,bR+): 2.不等式的基本性质性质性质内容注意对称性abbb,bcac可加性aba+cb+c可乘性acbcc的符号acb+d3.“三个二次”的关系判别式=b2-4ac0=00

2、)的图象同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN*,n1)同正可开方性ab0(nN*,n2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2+bx+c0)的解集x|x1x0和(x-a)(x-b)0型不等式的解集不等式解集ab(x-a)(x-b)0 x|xbx|xax|xa(x-a)(x-b)0 x|axbx|bxb,ab0.(ii)a0bb0,0c.(iv)0axb或axb0b0,m0,则(i)(b-m0).(ii);0).2.分式不等式与整式不等式(1)0(0(0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2+bx+c

3、bac2bc2.()(2)不等式x2a的解集为-,.() (3)若1,则ab.()(4)若方程ax2+bx+c=0(a0(ab0,cdB.D. B3.(新教材人A必修第一册P55T3改编)已知集合A=x|x2-5x+40,B=x|x2-x-6+(填“”“”或“=”).5.(易错题) 已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)0,则实数a的取值范围是-4,0.解析易错原因:忽略a=0的情况而漏解.若a=0,则f(x)=-10恒成立;若a0,则由题意,得解得-4a0.综上,a-4,0.考点一不等式性质的应用关键能力突破角度1作差法比较大小典例1已知a1,a2(0,1).记M=

4、a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定B角度2用不等式性质比较大小典例2已知a,b,c满足cba,且acacB.c(b-a)0C.cb40A解析因为a,b,c满足cba,且ac0,所以c0c,a0,所以abac,故A正确;对于B,因为ba,所以b-a0,又c0,故B不正确;对于C,因为ca,b40,所以cb4ab4,故C不正确;对于D,因为c0,又ac0,所以ac(a-c)0,b0,则p=(ab与q=abba的大小关系是()A.pqB.pqC.pqD.p0,q0,则=.若ab0,则1,a-b0,则1,则pq;若0ab,则01,a-b1,则pq;若a=

5、b,则=1,则p=q.综上,pq,故选A.2.已知等比数列an中,a10,q0,前n项和为Sn,则与的大小关系为(用“”连接).解析当q=1时,=3,=5,0且q1时,-=-=0,.综上可知.考点二一元二次不等式的解法角度1解不含参的不等式典例3(1)已知全集U=R,集合A=x|x2-3x+20,则RA等于()A.(1,2) B.1,2C.(-,12,+)D.(-,1)(2,+)(2)不等式0 x2-x-24的解集为x|-2x-1或2x3.A角度2解含参不等式典例4ax2-(a+1)x+10.解析原不等式可变形为(ax-1)(x-1)1.当a0时,原不等式可变形为a(x-1)0.若a0,原不等

6、式的解集为.若a0,则(x-1)1时,原不等式的解集为;当a=1时,原不等式的解集为;当0a1时,原不等式的解集为.综上,当a1;当0a1时,原不等式的解集为.名师点评1.解一元二次不等式的方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的形式.(2)判:计算对应方程的判别式.(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式时,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行讨论;其次根据相应一元二次方程的根是否存在,即的符号进行讨论;最后当根存在时,根据根

7、的大小进行讨论.1.(2020北京海淀期末)不等式x2+2x-30的解集为()A.x|x1B.x|x3C.x|-1x3 D.x|-3xa2(aR).解析原不等式可化为12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0.令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.当a0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0,+);当a0时,不等式的解集为.考点三不等式恒成立问题角度1形如f(x)0(xR)恒成立,求参数范围典例5已知不等式mx2-2x-m+10.是否存在实数m,使对所有的实数x不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解析不存在.理由:设f(

8、x)=mx2-2x-m+1.不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时, f(x)=1-2x,令1-2x,不满足题意;当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即此不等式组无解.综上,不存在满足题意的实数m.角度2形如f(x)0(xa,b)恒成立,求参数范围典例6设函数f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于x1,3, f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解析f(x)-m+5,即mx2-mx+m-60,则问题转化为mx2-mx+m-60时,g(x)在1,3上是

9、增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-60,所以m ,所以0m .当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60,所以m6,所以m0,m(x2-x+1)-60,所以m .因为y=在1,3上的最小值为,所以只需m即可.又因为m0,所以m的取值范围是.角度3形如f(x)0(参数ma,b)恒成立,求x的范围典例7对任意m-1,1,函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.解析f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意知在-1,1上,g(m)的值恒大于零,解得x

10、3.故当x3时,对任意m-1,1,函数f(x)的值恒大于零.名师点评恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.若不等式4x2+ax+40的解集为R,则实数a的取值范围是()A.(-16,0)B.(-16,0C.(-,0)D.(-8,8)D2.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范

11、围是.3.若mx2-mx-10对于m1,2恒成立,求实数x的取值范围.解析设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m1,2时,图象为一条线段,则即解得 x ,故实数x的取值范围为.微专题“三个二次”之间的相互转化“三个二次”是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函数.这“三个二次”都是中学数学的重要内容,它们之间相互联系,相互渗透,其中二次函数最重要,其图象是“三个二次”之间的纽带,它将等与不等,数与形紧密结合在一起,它既包含了一元二次方程的根,又包括了一元二次不等式的解集.利用数形结合可以使一些数学问题得到很好的解决.学科素养提升1.二次函数与一元二次不等式的转化在

12、解不等式、证明不等式或研究不等式恒(能)成立问题时,往往需要构造二次函数,运用二次函数的性质解决不等式问题.1.(2020北京海淀质检)设a0的解集为x|-1x2ax的解集为()A.x|-2x1B.x|x1C.x|0 x3D.x|x3C解析将a(x2+1)+b(x-1)+c2ax整理得ax2+(b-2a)x+(a+c-b)0.因为不等式ax2+bx+c0的解集为x|-1x2,所以a0,且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知即将两边同除以a得x2+x+0,将代入得x2-3x0,解得0 x0在区间1,5上有解,则a的取值范围是()A.B.C.(1,+)D. A解析由=a2

13、+80知,方程x2+ax-2=0恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.令f(x)=x2+ax-2,则不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0,即25+5a-20,解得a-,故a的取值范围是.故选A.3.二次函数与一元二次方程的转化二次函数的零点就是相应方程的根,一元二次方程的实根也是相应二次函数图象与x轴的交点的横坐标.遇到涉及二次函数的问题,应时刻将函数与方程结合在一起来思考.3.若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,求m的取值范围.解析依题意,结合函数f(x)的图象(图略)分析可知,需满足即解得m0)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4B解析a0,a2+11.y=|x2-2x|的图象如图,y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有2个交点,即方程有2个解.故选B.2.已知a,b,c,d都是常数,ab,cd.若f(x)=2 019-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.acbdB.abcd C.cda