向量组等价线性相关性

1、关于向量组等价线性相关性第1页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四存在非零列向量 及非零行向量 ， 使得而 中至少有一个元素非零 又积的秩不超过因子矩阵的秩21、设A为 矩阵,证明 有解 有解 已证第2页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四1、或表示方法：求出方程组的解作组合系数矩阵表示形式：复习：向量、向量组的线性表示向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！第3页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四表示系数为列！2、向量组用向量组的线性表示问题归结为矩阵方程解的问题！第4页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四

2、线性表示, m=s时系数矩阵为方阵！表示系数为行！任何向量组可由单位向量组表示！能由向量组A线性表示第5页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价.等价的充要条件（p84定理 2推论）4、向量组与向量组等价定义（p83)向量组的等价关系具有: 自反性、对称性、传递性！则向量组E与向量组A等价 ？第6页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四例2(p86)设证明证所以第7页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四向量组A与向量组B等价反之不一定！ 等价的必要条件 向量组与单位向量组等价的条件能由向量组A线性表示与

3、向量组等价？第8页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四即B的行的向量组可由A的行的向量组线性表示， 所以，A的行的向量组可由B的行的向量组线性表示。重要但AB 不能保证A与B的行向量组或列向量组等价向量组的等价与矩阵的等价同理，A B A的列组与B的列组等价. 思考第9页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四但AB 不能保证A与B的行向量组或列向量组等价其标准型但但其列、行组都不等价思考B与PA的列向量组等价，B与AQ的行向量组等价B与A的列向量组等价，B与A的行向量组等价例：所以第10页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四若组A组B,矩阵一

4、般不成立！A,B不一定同型！同型组A可用组B表示组B可用组A表示反之含向量个数相等的同维数的向量组等价时矩阵等价！m=l 情况下A与B列满秩可逆！P70例9的结果A、B列满秩时，系数矩阵可逆第11页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四这时，组A与组B同解方程组A 方程组B 线性方程组的等价 设有方程组组B的每个方程都是方程组A的线性组合！（即B 中方程皆由A中方程经线性运算得到）方程组A和方程组B能互相线性表示！方程组B能由方程组A的线性表示 B的增广 矩阵的行向量组 可由A的增广矩阵的行向量组线性表示.故这时，组A的解也是组B的解方程组A的线性组合：由A中方程经线性运算得到

5、的方程！（用矩阵解决方程组的深层依据）方程组B能由方程组A线性表示：方程组B与方程组A等价（互推）：第12页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四？对齐次线性方程组有同样结论A与B行等价是从而，方程组Ax=o与Bx=o同解反之，第13页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四第14页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四向量组矩阵线性方程组行向量组为行构成矩阵列向量组为列构成矩阵矩阵的一行（列）元素构成一个行（列）向量矩阵的全部行（列）向量构成行（列）向量组一个方程的系数及常数项构成行向量一个未知数的系数 构成列向量系数矩阵、增广矩阵对应行（列）向

6、量组向量组A与B等价方程组等价（同解）向量组线性组合方程组线性组合矩阵的乘法向量组由向量组表示方程组由方程组表示矩阵的初等变换向量由向量组表示方程组有解矩阵的初等变换矩阵的行或列等价第15页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四C的列向量组可由A的列向量组线性表示，系数矩阵就是B C的行向量组可由B的行向量组线性表示，系数矩阵就是A两个方程组等价（同解）B是矩阵方程AX=C 的解A是 矩阵方程 YB=C 的解表示系数？表示系数？ 常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价方程组 有解第16页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四

7、本节重点掌握 向量、向量组、向量组的线性组合、向量由向量组线性表示、向量组等价概念，判定条件，方法，形式 重 在 理 解 !第17页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四引入设有向量组A:零向量可由A线性表示，2 向量组的线性相关性一定有：表示系数全为0我们关心的是：是否还有一组（m个）不全为零的数使得：至少一个不为0这两者的本质不同是什么呢？也就是对与向量组A：仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量？也有组合系数不全为零时其线性组合为零向量？ 本质上的不同对向量组而言至关重要！第18页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四或曰线性相关。若有一组不全为零的数使得

8、：比如至少有则能用其它m-1个向量线性表示，至少一个不为0这样我们就说向量 之间有了实实在在的线性关系，即向量组 中，至少有一个向量若仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量，则组中任何向量都不能用其它向量线性表示即只有向量 之间没有线性关系或曰线性无关。第19页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四k 0 则它线性相关; 线性无关.线性相关 .基本结果：定义4（p87)(1) 当向量组只含一个向量时, 若该向量是非零向量, (2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例 .线性无关 .0则它线性无关 .共线若该向量是零向量,(4 ) n 维单位坐标向量组(P.88 例4，

9、待证)?当且仅当 k i 都为零时, ()式成立1(3) 含有零向量的向量组 线性相关 .当且仅当 时, 成立 成立第20页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四相关性条件线性无关只有零解 R(A)= m线性方程组向量组A:向量组A:线性方程组向量组构成的（列）矩阵 R(A) m有非零解 矩阵方程矩阵方程判定一个向量组的线性相关性是重要的！用定义，用条件！第21页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四定理4（p88）向量组 R(A) m向量组 R(A)= m其中是向量组构成的（列）矩阵 沟通了向量组线性相关性与矩阵的秩之间的联系!m为向量组中向量的个数 R(A)

10、 = n它们所构方阵 A可逆（非奇异）。n 个 n 维向量A可逆 A 构成的向量组（行或列）线性无关特别的 任意 n 个 n 维向量线性相关 R(A) n. 它们所构方阵 A不可逆（奇异） m=n 时可用|A|是否为零 判断第22页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四例5（p88）判定向量组的线性相关性.解是坐标已知的向量构成的向量组，用判定条件(TH4)线性相关！或：是三个三维向量构成的向量组，用矩阵的可逆性判别A不可逆，从而线性相关第23页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四用定义判定相关性证(P.88 例4)线性无关 . n 维单位坐标向量组法一：用条

11、件法二：用定义 令则R（E）=n线性无关当且仅当 线性无关即第24页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四例6（p88）证一用定义即只有 (1) 设出所讨论向量组的零组合式； 用定义证明向量组相关性(2) 由条件从(1)找出组合系数所满足的方程组；(3) 由此方程组有无非零解判定出其线性相关性 . 用方程组解的定理第25页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四证二用条件证明令向量组不具体（坐标没有给出），将向量组转化为矩阵 表达系数作列两种方法的思路分析（p89)寻求线性表示的矩阵表达形式！第26页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四基本结论

12、结论也成立称组A是组B的一个部分组整体与部分的相关性的联系 线性无关的向量组中 在一个向量组中, 若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关 . 意即：任何有限个向量构成的的部分向量组都 线性无关 .证明 （P89用定理4证明，自阅 ) 定理5 (P89) (1)第27页，共30页，2022年，5月20日，3点55分，星期四 n m 时, m个n 维向量构成的mn矩阵的秩 定理5 (P89) (2) 必 n m ， n m 时, m个n 维向量构成的向量组线性相关. 特别的，n+1 个n 维向量构成的向量组线性相关. 定理5 (P89) (3)则向量b必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.方程个数 向量维数时，向量组线性相关联系到方程组向量用向量组表示惟一的充分条件（也是充分必要条件