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文档简介

1、关于向量的线性相关性第1页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四6.3.1 线性组合与线性表示定义1 设 是向量空间V的r个向量， 是数域F中任意r个数. 我们把和叫做向量 的一个向量组合.如果V 中某一向量可以表示成向量 的线性组合，我们也说可以由 线性表示.零向量显然可以由任意一组向量 线性表示，因为第2页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四6.3.2 线性相关与线性无关定义2 设 是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数 使得（1）那么就说 线性相关.如果不存在F中不全为零的数 使得等式（1）成立，换句话说，等式（1）仅当 时才成立，那么就说，向

2、量 线性无关.第3页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四例1 令F是任意一个数域。 中向量1=（1,2,3），2=（2,4,6），3=（3,5,-4）线性相关。例2 判断 的向量1=（1,-2,3），2=（2,1,0），3=（1,-7,9）是否线性相关。例3 在向量空间F x里，对于任意非负整数 n ,线性无关。 第4页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四命题6.3.1 向量组 中每一个向量 都可以由这一组向量线性表示. 命题6.3.2 如果向量可以由 线性表示，而每一个又都可以由 线性表示，那么可以由 线性表示.命题6.3.3 如果向量组 线性无关,那么它

3、的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组 有一部分向量线性相关,那么整个向量组 也线性相关.第5页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四命题6.3.4 设向量组 线性无关,而 线性相关.那么一定可以由 线性表示.定理 6.3.5 向量 线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合.第6页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四6.3.3 向量组等价定义3 设 和 是向量空间V的两个向量组,如果每一个 都可以由 线性表示,而每一 也可以由 线性表示, 那么就说这两个向量组等价.例4 向量组1=(1,2,3), 2=(1,0,2)与向量组1=(3

4、,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1)等价.第7页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四等价的概念显然具有传递性:如果 与 等价,而后者又与 等价, 那么 与 等价.定理6.3.6 (替换定理）设向量组 线性无关,并且每一 都 可以由向量组线性表示,那么rs, 并且必要时可以对 中向量重新编号,使得用 替换后所得的向量 与 等价. 推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。第8页，共10页，2022年，5月20日，3点55分，星期四6.3.4 向量组的极大线性无关组(1) 线性无关；定义4 向量组 的一部分向量组 叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果 (2)每一 ，j = 1, n,都可以由 线性表示。第9

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