清华大学2016自主招生暨领军计划试题解析版

1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数f(x)(x2a)ex有最小值，则函数g(x)x22xa的零点个数为（）A.0B.1C.2D.取决于a的值答案：注意f/(x)exg(x)，答案C.2.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c.以下条件中，能使得ABC的形状唯一确立的有（）A.a1,b2,cZB.A1500,asinAcsinC2asinCbsinBC.cosAsinBcosCcos(BC)cosBsinC0,C600D.a3,b1,A600答案：对于选项A，因为|ab|cab，于是c有独一取值2，切合题意；对于选项B，由正弦定理，有a2c22acb2，可得cosB

2、2,B1350，无解；2对于选项C，条件即cosAsin(BC)0，于是(A,B,C)(900,300,600),(600,600,600)，不切合题意；对于选项D，由正弦定理，有sinB1，又A600，于是B2答案：AD.3.已知函数f(x)x21,g(x)lnx，以下说法中正确的有（f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行f(x),g(x)有且只有一个交点f(x),g(x)有且只有两个交点300,C900，切合题意.）答案：注意到yx1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，所以答案BD.4.过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A,B两

3、点，M为线段AB的中点.以下说法中正确的有（）A.以线段AB为直径的圆与直线x3必定相离2|AB|的最小值为4|AB|的最小值为2D.以线段BM为直径的圆与y轴必定相切答案：对于选项A，点M到准线x1的距离为1(|AF|BF|)1|AB|，于是以线段AB为直径的圆与直线x1必定相切，从而与232直线x必定相离；2111对于选项B,C，设(42,4),2Aaa，则B(4a2a)，于是|AB|4a4a22，最小值为4.也可将|AB|转变为AB中点到准线的距离的2倍去获得最小值；对于选项D，明显BD中点的横坐标与1|BM|不必定相等，所以命题错误.2答案：AB.5.已知F1,F2是椭圆C:x2y21

4、(ab0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点.以下说a2b2法中正确的有（）A.a2b时，知足F1PF2900的点P有两个B.a2b时，知足F1PF2900的点P有四个C.PF1F2的周长小于4aD.PF1F2的面积小于等于a22答案：对于选项A,B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周长为2a2c4a；1|PF1|PF2|sinF1PF22对于选项D，F1PF2的面积为1|PF1|PF2|1a2.2222答案：ABCD.甲、乙、丙、丁四个人参加竞赛，有两花获奖.竞赛结果揭晓以前，四个人作了以下猜想：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙

5、：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜想是正确的，那么两个获奖者是（）A.甲B.乙C.丙D.丁答案：乙和丁同时正确或许同时错误，分类即可，答案：BD.7.已知AB为圆O的一条弦（非直径），OCAB于C，P为圆O上随意一点，直线PA与直线OC订交于点M，直线PB与直线OC订交于点N.以下说法正确的有（）A.O,M,B,P四点共圆B.A,M,B,N四点共圆C.A,O,P,N四点共圆D.以上三个说法均不对答案：7.对于选项A，OBMOAMOPM即得；对于选项B，若命题建立，则MN为直径，必定有MAN为直角，不切合题意；对于选项C，MBNMOPMAN即得.答案：AC.

6、8.sinAsinBsinCcosAcosBcosC是ABC为锐角三角形的（）A.充分非必需条件B.必需非充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件答案：必需性：因为sinBsinCsinBsin(B)sinBcos1,2近似地，有sinCsinA1,sinBsinA1，于是sinAsinBsinCcosAcosBcosC.不充分性：当A,BC4时，不等式建立，但ABC不是锐角三角形.2答案：B.9.已知x,y,z为正整数，且xyz，那么方程1111的解的组数为（）xyz2A.8B.10C.11D.12答案：因为11113，故3x6.2xyzx若x3，则(y6)(z6)36，可得(y,z

7、)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；若x4，则(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；若x5，则3112,y20,y5,6，从而解得(x,y,z)(5,5,10)；10yzy3若x6，则(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6).答案：B.10.会合Aa1,a2,an，任取1ijkn,aiajA,ajakA,aaiA这k三个式子中起码有一个建立，则n的最大值为（）A.6B.7C.8D.9答案：不如假定a1a2an，若会合A中的正数的个数大于等于4，因为a2a3和a2a4均大于a2，于是有a2a3a2a4a1，从而a3

8、a4，矛盾！所以会合A中至多有3个正数.同理可知会合A中最多有3个负数.取A3,2,1,0,1,2,3，知足题意，所以n的最大值为7.答案B.11.已知10,610,1210，则以下各式中建立的有（）A.tantantantantantan3B.tantantantantantan3C.tantantan3tantantanD.tantantan3tantantan答案：令xtan,ytan,ztan，则yxzyxz3，1xy1yz1zx所以yz3(1xy),zy3(1yz),xz3(1zx)，以上三式相加，即有xyyzzx3.近似地，有113(11),113(11),113(11)，xyxy

9、yzyzzxzx以上三式相加，即有111xyz3.xyyzzxxyz答案BD.12.已知实数a,b,c知足abc1，则4a14b14c1的最大值也最小值乘积属于区间（）A.(11,12)B.(12,13)C.(13,14)D.(14,15)答案：设函数f(x)4x1，则其导函数f/(x)2，作出f(x)的图象，函数f(x)4x1的图象在x1处的切线y221(x1)21，以及函数f(x)的图象过点(1,0)和37334(3,7)的割线y4x1，如图，277于是可得4x14x1221(x121777)，33左边等号当x13121，或x时获得；右边等号当x时获得.所以原式的最大值为423当abc1时

10、获得；最小值为7，当ab1,c3时获得，从而原式的最大值342与最小值的乘积为73(144,169).答案B.13.已知,xyz1,x2y2z21，则以下结论正确的有（）xyzRA.xyz的最大值为0B.xyz的最大值为427C.z的最大值为21D.z的最小值为33答案：由xyz1,x2y2z21可得xyyzzx0.设xyzc，则x,y,z是对于t的方程t3t2c0的三个根.令f(t)t3t2c，则利用导数可得f(0)c040，等号明显能够取到.应选项A,B都对.f(2)4，所以cxyzc270327因为(xy)2(1z)22(x2y2)2(1z2)，所以1z1，等号明显能够取到，3应选项C错

11、误.答案ABD.14.数列an知足a1,a2,an26aa(nN*)，对随意正整数n，以下说法中12n1n正确的有（）A.an21an2an为定值B.an1(mod9)或an2(mod9)C.4an1an7为完整平方数D.8an1an7为完整平方数答案：因为an22an3an1an22(6an2an1)an1an226an2an1an21an2(an26an1)an21an21an2an.所以A选项正确；因为a311，故a2an2ana2(6an1a)ana26aaa27，n1n1nn1n1nn又对随意正整数恒建立，所以4an1an7(an1an)2,8an1an7(an1an)2，应选项C,

12、D正确.计算前几个数可判断选项B错误.答案：ACD.说明：若数列an知足an2pan1an，则a2aa为定值.n1n2n15.若复数z知足z11，则z能够取到的值有（）zA.1B.1C.51D.512222答案：因为|z|1z11，故51|z|51，等号分别当z51i和|z|z22251i时获得.答案CD.2从正2016边形的极点中任取若干个，按序相连组成多边形，若正多边形的个数为（）A.6552B.4536C.3528D.2016答案：从2016的约数中去掉1，2，其他的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个极点中选出k个组成正多边形，这样的正多边形有2016个，所以所求的正多边形的个数

13、就是k2016的全部约数之和减去2016和1008.考虑到201625327，所以所求正多边形的个数为(12481632)(139)(17)201610083528.答案C.17.已知椭圆x2y21(ab0)与直线l1:y1x,l2:y1x，过椭圆上一点P作a2b222l1,l2的平行线，分别交l1,l2于M,N两点.若|MN|为定值，则a（）bA.2B.3C.2D.5答案：设点P(x0,y0)，可得M(1x0y0,1x01y0),N(1x0y0,1x01y0)，242242成心|MN|1x024y02为定值，所以a2416,a2，答案：C.4b21b4说明：（1）若将两条直线的方程改为ya1

14、；kx，则kb（2）两条订交直线上各取一点M,N，使得|MN|为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆.18.对于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为（）A.0B.1C.2D.3答案：方程两边同时模3，可得x22y(mod3)，因2y不可以被3整除，故x2不可以被3整除，所以x21(mod3)，故2y1(mod3)，所以y为偶数，可设y2m(mN*)，则有(2mx)(2mx)61535412mx5,x59,，解得x即y答案：B.2m123,12.因为实数的乘法知足互换律与联合律，所以若干个实数相乘的时候，能够有不一样的序次.比如，三个实数a,b,c相乘的时候，能够有(ab)c,(b

15、a)c,c(ab),b(ca),等等不一样的序次.记n个实数相乘时不一样的序次有In种，则（）A.I22B.I312C.I496D.I5120答案：依据卡特兰数的定义，可得InCn1Ann1C2nn12n!(n1)!C2nn11.答案：AB.n对于卡特兰数的有关知识见卡特兰数计数映照方法的伟大成功.甲乙丙丁4个人进行网球裁减赛，规定第一甲乙一组、丙丁一组进行竞赛，两组的胜者抢夺冠军.4个人互相竞赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，比如甲击败乙的概率是，乙击败丁的概率是.那么甲刻冠军的概率是.答案：依据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.50.30.50.

16、8)0.165.21.在正三棱锥PABC中，ABC的边长为1.设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y.则limy.x答案：当xCP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为3.时，222.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，中心为O,BF1BC,A1E1A1A，则24四周体OEBF的体积为.答案：如图，VOEBFVOEBF1VGEBF21VEGBF11VEBCC1B11.2216962(x)2n1(1sin2nx)dx.23.0答案：依据题意，有2(x)2n1(1sin2nx)dxx2n1(1sin2nx)dx0.024.实数x,y知足(x2y2)

17、34x2y2，则x2y2的最大值为.答案：依据题意，有(x2y2)34x2y2(x2y2)2，于是x2y21，等号当x2y212时获得，所以所求最大值为1.25.x,y,z均为非负实数，知足(x1)2(t1)2(z3)227，则xyz的最大值224与最小值分别为.答案：由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z)(1,1,0)时，xyz取到最大值3.22依据题意，有x2y2z2x2y3z13，4于是13(xy)23(xy),解得xyz2234zzy2于是xyz的最小值当(x,yz)(0,0,223)时获得，为223.2226.若O为ABC内一点，知足SAOB:SBOC:SCOA4:3:2，设AOA

18、BAC，则.答案：依据奔驰定理，有24299.327.已知复数zcos2isin2，则z3z22.33z2z答案：依据题意，有z3z2z221z2zcos5isin513i.z332228.已知z为非零复数，z,40的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对10z应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为.4040zx1,y1,答案：设zxyi(x,yR)，因为1010z2，于是40 x40y|z|1,1,x2y2x2y2如图，弓形面积为1202(sin)100100，2663四边形ABCD的面积为21(10310)101003100.2于是所示求面积为2(100100)(1003100)2001003300.333sin4xsin2xsinxsinx.29.若tan4x，则cos4xcos2xcos2xcosxcosx3cos8xcos4x答案：依据题意，