三角恒等变换专题

1、三角恒等变换专题复习（一）2012-8-7一、基本内容串讲1两角和与差的正弦、余弦和正切公式以下：sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tan()tantan1mtantan对其变形：tantan=tan(+)(1-tantan)，有时应用该公式比较方便。2二倍角的正弦、余弦、正切公式以下：sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.2tantan21tan2.要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，cos21cos2,sin21cos2这两个形式常用。223.辅助角公式：

2、4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换路子。常有题目种类及解题技巧（最后师生共同总结）二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、sin20ocos40ocos20osin40o的值等于（）2、若tan3，tan4，则tan()等于（）3考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos2的值等于（）554、已知0A，且cosA3，那么sin

3、2A等于（）251考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知tan()2,tan()1,则tan()的值等于（3）5444226、已知sinsin1,coscos1,则cos()值等于（59）23727、函数f(x)cos2(x)sin2(x)1是（C）1212A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数三、解题方法解析1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上搜寻切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式很多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真切的理解、记熟、用活。解决问题时终归使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵便运用。1o3o,b2

4、tan13oo,csin50oo,则有（acb）例1设acos6sin62132cos25221tan【议论】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。比方：sincos=1sin2，cos=sin2，cos2sin2cos2，2tantan2，22sin1-tan212sincos(sincos)2，1cos22cos2，1cos22sin2，cos21cos2,sin21cos2，tantan=tan(+)(1-tantan)22等。别的，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为a2b2sin(x)即asinx+bcosx=a2b2sin(x)

5、（其中tanb）是常用转变手段。a特别是与特别角相关的sincosx，sinx3cosx，要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上搜寻打破口（1）运用转变与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都表现了转变与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2已知3，cos（）=12，sin（+）=3，求sin2的241352值（5665（本题属于“理解”层次，解答的要点在于解析角的特点，2=（）+（+）例2解答：例3化简：2sin50+sin10（1+3tan10）sin280【解

6、析】：原式=3【议论】：本题属于“理解”层次,解题的要点在于灵便运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4：已知sin（+）=2，sin（）=3，求tan()tantan的值。34tan2tan()【解析】3tan()tantan=

7、tan()tan(tan()(1tantan)=tan=17tan2tan()tan2)tan【议论】：本题属于“理解”层次，观察学生对所学过的内容能进行理性解析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转变，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量代替，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若sinsin2,求coscos的取值范围。2【解析】：令coscost，则(sinsin)2(coscos)2t21,132即22cos()t22cos()t2222t232,1t27,1

8、4t14，即14coscos142222222【议论】：本题属于“理解”层次，解题的要点是将要求的式子coscos看作一个整体，经过代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上搜寻结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要表现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要合适注意知识间的联系与整合。r(3,r(sin2x,cos2x)，函数rr例6：已知：向量a1)，bf(x)ab（1）若f(x)0且0 x，求x的值；x或7r1212r（2）求函数f(x)获取最大值时，向量a与b的夹角【解析】：f(x)rr3sin2xco

9、s2xab4（2）2sin(2x6)rrrrrrf(x)max2，当f(x)2时，由ab|a|b|cosa,b2r,rrrrrrr得cosrab1，Q00abra,ba,b|a|b|【议论】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要观察应用平面向量、三角函数知识的解析和计算能力.四、课堂练习1sin165o=（）A1B3C62D6222442sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（）A3B1C3D122223已知x(,0)，4，则tan2x（）A7B7C24D242cosx5242477化简2sin（x）sin（x），其结果是（）44+4sin2xcos2xcos2xsin2x5

10、sin3cos12的值是（）125A0B2C2D2sin1261tan275的值为()tan75A23B23C23D23337若cos3，sin24，则角的终边必然落在直线（）上。255A7x24y0B7x24y0C24x7y0D24x7y08coscossinsin_.91tan151tan1510tan20otan40oo3tan20tan40o的值是.511求证：cos21sin212已知tan21，求tan的值cottan432213已知0 x,sin(x)5,求cos2x的值。4413cos(x)414若A0,且sinAcosA7,求5sinA4cosA的值。1315sinA7cosAC15在ABC中，若sinAsinB=co