第六章-中心力场-量子力学教学课件

1、第六章 中心力场教学内容第1页1 中心力场中粒子运动的 一般性质2 无限深球方势阱3 三维各向同性谐振子4 氢原子第六章 中心力场教学内容第1页1 中心力场中粒子运动的 一般性质一、角动量守恒与径向方程中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）第2页设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。1 中心力场中粒子运动的 一般性质一、角动量守恒与径向方对于势能只与 r 有关而与, 无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便,第3

2、页l, H = 0, l2, H = 0l及l2均为守恒量径向动能离心势能对于势能只与 r 有关而与, 无关的有心力场，使用球坐第六章-中心力场-量子力学教学课件第六章-中心力场-量子力学教学课件一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。非束缚态，E连续变化。束缚态，E取离散值。由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr, nr= 0, 1, 2, ，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l，l一定，E随nr增大而增大。 nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。光谱学习惯，把（l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6）的态记为s, p, d, f, g, h, i

3、.第6页一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。第径向波函数在r0邻域内的渐进行为假定V(r) 满足第7页变为设当r0，径向波函数在r0邻域内的渐进行为假定V(r) 满足第7页变在任何体积元找到粒子的概率应为有限值：当r0， 若Rl(r) 1/ra，要求a=1时， Rl(r) r-(l+1)不满足要求。l=0时， R0(r)Y001/r，但此解并不满足能量本征方程第8页r0时，只有Rl(r) rl是物理上可以接受的。等价地，要求径向方程的一个定解条件。 在任何体积元找到粒子的概率应为有限值：第8页r0时，只有R两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个

4、质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,第9页ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r 1x+r1r2rR 2OyzI 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。 两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题可以证明：第10页证明：可以证明：第10页证明：第11页以上结果带入到两粒子能量本征方程，第11页以上结果带入到两粒子能量本征方程，分离变量第12页描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解描述相对运动， E 是相对运动能量（单粒子能量本征方程）两体问题 单体问题

5、分离变量第12页描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解2 无限深球方势阱考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态)第13页考虑s态（l=0）。径向方程势阱内部，2 无限深球方势阱考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子方程的解可以表示为 sin(kr)的形式，再根据r=a处的边界条件，sin(ka)=0, 有第14页粒子能量本征值为归一化，方程的解可以表示为 sin(kr)的形式，再根据r=a处的边l0时，径向方程为第15页引入无量纲变量=kr, 球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl()与球Neumann 函数 nl(), 0

6、时， 球方势阱的解取为l0时，径向方程为第15页引入无量纲变量=kr, 球Be当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl()=0的根为第16页粒子的能量本征值为相对应的径向本征函数为当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl()=0的根为L nr0123023414.4937.72510.90414.06625.7679.09512.32315.51536.98810.41713.69816.924第17页10L nr0A5. 合流超几何函数合流超几何微分方程为第18页，为参数。在z0邻域，令y=zs, 可得A5. 合流超几何函数合流超几何微分方程为第18页，为参s=0 时的级数解，第19

7、页要求方程左边各次项为0，由此可得c0=1, 得出级数解，合流超几何函数s=0 时的级数解，第19页要求方程左边各次项为0，由此可得第20页k, ck/ck-11/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致，s=1- 时级数解为第20页k, ck/ck-11/k，这与ez的幂级数展3 三维各向同性谐振子质量为的粒子在三维各向同性谐振子势V(r) 中运动，第21页是刻画势阱强度的参量。径向方程为，r=0的邻域，物理上可以接受的径向波函数的渐近行为是 Rl(r)rlr时，自然单位，=13 三维各向同性谐振子质量为的粒子在三维各向同性谐振束缚态边界条件要求第22页方程的解写为化为合流超几何方程。束缚态边界

8、条件要求第22页方程的解写为化为合流超几何方程。方程有两个解，第23页u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为无穷级数解合流超几何函数方程有两个解，第23页u2，是物理上不能接受的解。方程的解只要满足束缚态边条件，要求F(,)中断为 一个多项式。要求=0 or 负整数第24页这就要求这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。要满足束缚态边条件，要求F(,)中断为 一个多项式。能级简并度能级均匀分布，间隔。能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l.给定能级EN, nr = 0, 1, 2, 3, ， (N-1)/2 or N/2 l = N - 2 nr = N, N-

9、2, N-4, N-6, , 1(N奇) or 0(N偶)N偶时， 能级简并度（N奇同样结果）第25页径向波函数为归一化后能级简并度第25页径向波函数为归一化后直角坐标系采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为相同的三个彼此独立的一维谐振子第26页本征函数可以分离变量，相当于选取(Hx, Hy, Hz)为对易守恒量完全集，共同本征态为直角坐标系采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为相同的相应的能量本征值为第27页能级简并度给定 N， nx = 0, 1, 2, ， N-1, N ny + nz = N, N-1, N-2, ， 1, 0 (ny , nz ) 种数 N+1, N, N-1

10、, ， 2, 1能级简并度为相应的能量本征值为第27页能级简并度给定 N， 4 氢原子 量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。 氢原子是最简单的原子，其Schrdinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。 氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）第28页4 氢原子 量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原具有一定角动量的氢原子的径向波函数l(r)=rRl(r)满足下方程：第29页若E0: 自由定态, 电子从原子内

11、电离, 连续能谱若E0: 束缚定态, 电子被束缚在原子内,分立能谱考虑氢原子的束缚态，即E 0的情况，按1有关结果，r0方程渐进行为：r0, (r)rl+1具有一定角动量的氢原子的径向波函数l(r)=rRl(r)第r时，方程化为第30页方程的解可以表示成r时，方程化为第30页方程的解可以表示成再令第31页这正是合流超几何方程合流超几何方程的解为合流超几何函数F (, , )，故方程的解为再令第31页这正是合流超几何方程合流超几何方程的解为合流超几第32页当k时 和e 的级数展开系数的比值相同因此，当时（即r）， u()=F (, , )的渐进行为和e 相同，即这和波函数有限性条件矛盾，所以须将

12、F (, , )切断为多项式，只需令第32页当k时 和e 的级数展开系数的比另一方面第33页令n=nr+l+1, n=1, 2, 3得到氢原子束缚定态的能量(本征值)：( 是电子的约化质量) Bohr半径此即著名的Bohr氢原子能级公式，n 称为主量子数另一方面第33页令n=nr+l+1, n=1, 2, 3得到因此与En相应的径向波函数可表示为：第34页归一化的径向波函数为a是Bohr半径因此与En相应的径向波函数可表示为：第34页归一化的径向波函综上，氢原子束缚定态的波函数第35页a是Bohr半径综上，氢原子束缚定态的波函数第35页a是Bohr半径最低的几条能级的径向波函数是：第36页最低

13、的几条能级的径向波函数是：第36页氢原子内电子状态的光谱学标记第37页l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 4 l = 5 spdfghn = 1 1sn = 2 2s 2pn = 3 3s 3p 3dn = 4 4s 4p 4d 4fn = 5 5s 5p 5d 5f 5gn = 6 6s 6p 6d 6f 6g 6h氢原子内电子状态的光谱学标记第37页l = 0 l能级简并能量只与主量子数n 有关，而本征函数与n, l, m 有关，故能级存在简并。给定能级En (即给定主量子数n)，角量子数l第38页能级简并能量只与主量子数n 有关，而本征函数与n, l, m而磁量子数m

14、 有（2l+1）个可能值：第39页因此，属于En的量子态nlm数目即氢原子能级n2度简并。但基态能级不简并，E1 =e4 / 2 2=-13.6eV，相应基态波函数是100 = R10Y00。而磁量子数m 有（2l+1）个可能值：第39页因此，属于En第40页第40页氢原子内电子位置的几率分布在束缚定态 nlm(r)下，氢原子内的电子在位置r附近的体积元d 内出现的概率为：第41页A. 径向位置概率分布考虑在(r, r+dr)的球壳内（不管方向）找到电子的概率，结果为 氢原子内电子位置的几率分布在束缚定态 nlm(r)下，氢原第42页径向位置的概率分布函数第42页径向位置的概率分布函数第43页

15、s 电子的径向位置概率分布曲线（l = 0）第43页s 电子的径向位置概率分布曲线（l = 0）第44页p 电子的径向位置概率分布曲线 ( l = 1 )第44页p 电子的径向位置概率分布曲线 ( l = 1 )第45页d 电子的径向位置概率分布曲线 (l = 2)第45页d 电子的径向位置概率分布曲线 (l = 2)径向概率分布函数的基本特征：（1）径向概率分布函数在r = 0 和r = 两点都等于零。（2）径向几率分布函数除了r = 0 和r = 两点外还有( n l 1= nr )个节点（零点），因而有( n l )个极大值。第46页（3）对于l = n 1（即nr = 0）的态，径向几

16、率分布函数有唯一极大值，可以求出 |n,n-1(r)|2取极大值的径向位置径向概率分布函数的基本特征：（1）径向概率分布函数在r = 第47页C 是常数极值位置：最可几半径最可几半径与玻尔氢原子量子论中电子圆周运动轨道半径完全一致。 因而l = n 1（nr = 0）的态称为“圆轨道”，除两端外，它们无节点。第47页C 是常数极值位置：最可几半径最可几半径与玻尔氢原子角向位置概率分布在束缚定态 nlm(r)下，在空间立体角元d中（不管径向位置r），找到电子的概率，第48页角向位置的概率分布函数与 角无关，故角分布函数绕z轴旋转对称。角向位置概率分布在束缚定态 nlm(r)下，在空间立体角元=0

17、, m=0：|Y00|2 =(1/4)，与 也无关，球对称分布。第49页xyzs态电子=0, m=0：|Y00|2 =(1/4)，与 也无关=1, m=1时，|Y1,1()|2 =(3/8)sin2 。在=/2时，有最大值。在 =0（z向）时，Y1,1= 0第50页=1, m=1时，|Y1,1()|2 =(3/8)=1, m=0时，|Y1,0()| 2= (3/4) cos2。正好与上面相反，在 = 0时，最大；在 =/2时，等于零。第51页=1, m=0时，|Y1,0()| 2= (3/4) 第52页 = 2第52页 = 2电流分布与原子磁矩在 nlm态下，电子的电流密度第53页在球坐标中，

18、易知j 是绕z轴的环电流密度（如图）rrsindjzo电流分布与原子磁矩在 nlm态下，电子的电流密度第53页在通过细环截面d 的电流为：第54页rrsindjzo对磁矩的贡献为：氢原子在束缚定态nlm下总磁矩的大小为：通过细环截面d 的电流为：第54页rrsindjz第55页 轨道磁矩s态电子(l=0, m=0)，轨道磁矩为0 回转磁比值或g因子 Bohr磁子第55页 轨道磁矩s态电子(l=0, m=0)，轨道磁矩为类氢离子核外只有一个电子，而核电荷数Z大于1的离子，如He+，Li+，Be+等。势能算符为：第56页因此氢原子的结果都适用于类氢离子，但需做代换类氢离子核外只有一个电子，而核电荷数Z大于1的离子，如He+第57页类氢离子：e2 Ze2其中a 是Bohr半径a a/Z第57页类氢离子：e2 Ze2其中a 是Bohr半径a例题1：氢原子处在基态 ，求： (1) r的平均值； (2) 势能的平均值； (3) 最可几半径；第58页解： (1)例题1：氢原子处在基态 第59页利用积分公式(2) (3) 最可几半径 第59页利用积分公式(2) (3) 最可几半径 第60页例题2：设氢原子处于状态