材料力学 第05章 弯曲应力

1、第五章 弯曲应力Chapter 5 Stress in Bending Members5.1 纯弯曲的概念5.2 弯曲正应力5.3 弯曲切应力第五章 弯曲应力2/685.1 纯弯曲的概念3/68剪力FS是相切于横截面的内力系的合力；弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力。剪力FS只与横截面上的切应力t 有关；弯矩M只与横截面上的正应力 s 有关。5.1 纯弯曲的概念4/68AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。5.1 纯弯曲的概念5/685.2 弯曲正应力6/685.2.1 纯弯曲梁横截

2、面上的正应力1 变形几何关系5.2 弯曲正应力7/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系5.2 弯曲正应力8/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系变形前变形后 变形后 mm nn 仍为直线，且垂直于aa,bb弯曲变形的平面假设 变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。5.2 弯曲正应力9/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系变形前变形后 由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。 中间必有一层保持原长，这一层称为: 中性层5.2 弯曲正应力10/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系c

3、c 是中性层和横截面的交线，称为中性轴 除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无挤压，即纵向纤维间无正应力。5.2 弯曲正应力11/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力1 变形几何关系从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:中性层位于OOmm 变形前长度:mm 变形后长度:mm 位置的线应变:表明: 距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正比，与 r 成反比5.2 弯曲正应力12/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力2 物理关系 纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。代入几何关系得到 梁的材料

4、在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有5.2 弯曲正应力13/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力2 物理关系 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。5.2 弯曲正应力14/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系纯弯曲情况下有：横截面对 z 轴的静矩等于零z 轴（中性轴）通过截面形心而5.2 弯曲正应力15/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系纯弯曲情况下有：横截面对 z 轴和 y 轴的惯性积 Iyz (参见附录A)等于零z 轴和 y 轴-形心主轴而5.2 弯曲正应力16/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系

5、横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩弯矩5.2 弯曲正应力17/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力3 静力关系1 / r 为梁轴线变形后的曲率EI 越大 1 / r 越小EI 梁的抗弯刚度 / 弯曲刚度5.2 弯曲正应力18/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力 纯弯梁横截面内正应力s 随高度 y 呈线性分布，以中性层为界，一侧受拉，另一侧受压。受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正5.2 弯曲正应力19/685.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力 由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。取Wz 抗弯截面系数 / 弯曲截面系数单位 m35.2 弯曲正应力20/685.2.

6、1 纯弯曲梁横截面上的正应力实心矩形截面的抗弯截面系数实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数其他形状的截面及型钢几何性质可参见附录A及附录D5.2 弯曲正应力21/685.2.2 横力弯曲时的正应力 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，横截面由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不成立。 但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 l / h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%， 故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，强度条件5.2 弯曲正应力

7、22/685.2.2 横力弯曲时的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为: 弯矩最大的截面并不一定是危险截面。 梁的最大正应力不仅和弯矩 M 有关，而且和截面的形状尺寸(几何性质)有关。5.2 弯曲正应力23/68【例5-1】 如图所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后尺寸如图，F = 150 kN。求梁危险截面上的最大正应力smax和同一截面上翼缘与腹板交界处点 a 的正应力sa。5.2 弯曲正应力24/68【例5-1】解(1) 作梁的弯矩图F = 150 kN(2) 截面几何性质查型钢表(附录D) 56a工字钢:5.2 弯曲正应力25/68【

8、例5-1】解(3) 危险截面最大正应力(4) 危险截面处点a的正应力5.2 弯曲正应力26/68【例5-1】讨论 点a处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160 MPa来计算：5.2 弯曲正应力27/68【例5-1】讨论显然，梁的自重引起的最大正应力仅为 而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载 F 所引起的最大正应力。 如果考虑梁的自重( q=1.041 kN/m )则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为5.2 弯曲正应力28/68【例5-2】 如图所示圆轴AD，在BC段受均布载荷作用。 已知 q = 1kN

9、/m，AB段直径 d1 = 280mm，BC段直径d2 = 320mm，轴的许用应力 s = 140MPa，试校核该轴的强度。5.2 弯曲正应力29/68【例5-2】解(1) 计算简图(2) 求约束力并画弯矩图(略)5.2 弯曲正应力30/68【例5-2】解(3) 跨中危险截面 超过许用应力s = 140MPa，但仅相差1%不到，因此跨中满足梁的强度条件。5.2 弯曲正应力31/68【例5-2】解(4) 校核AB段强度AB段最大弯矩发生在截面BAB段强度符合要求，轴AD满足强度条件5.2 弯曲正应力32/68【例5-3】 如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁的抗拉许用应力st=30M

10、Pa，抗压许用应力sc=120MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。试校核该梁的强度。5.2 弯曲正应力33/68【例5-3】分析 对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时应分清抗拉和抗压强度校核。5.2 弯曲正应力34/68【例5-3】解(1) 计算约束力，画弯矩图F1=32kN，F2=12kN5.2 弯曲正应力35/68【例5-3】解(2) 计算截面几何性质求形心C 的位置 （负面积法）横截面的惯性矩 (注意平行移轴公式)5.2 弯曲正应力36/68【例5-3】解(3) 对截面B弯矩负值，上侧受拉5.2

11、弯曲正应力37/68【例5-3】解(4) 对截面C弯矩正值，下侧受拉5.2 弯曲正应力38/68【例5-3】解全梁的最大拉应力位于截面C 下边缘全梁的最大压应力位于截面B 下边缘该梁满足强度条件5.2 弯曲正应力39/68讨论截面 C 的弯矩不是最大5.2 弯曲正应力对于铸铁这样的抗拉强度和抗压强度不一样的材料:但全梁的最大拉应力却发生在截面C的下边缘。 若中性轴不是对称轴，须确定梁的最大正弯矩和最大负弯矩，分别进行强度校核，而不是仅确定一个危险截面。40/685.2.3 提高弯曲强度的措施 1 梁的合理截面 应使用较小的截面面积A获得较大的弯曲截面系数W 的截面 离中性轴较远的位置配置较多的

12、材料以提高材料的利用率5.2 弯曲正应力41/685.2.3 提高弯曲强度的措施 1 梁的合理截面 对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。5.2 弯曲正应力42/685.2.3 提高弯曲强度的措施 2 变截面梁和等强度梁 变截面梁 最理想的状态是变截面梁内所有横截面上的最大正应力均相等。 满足上式设计出来的梁，各截面具有相同的强度，称为等强度梁5.2 弯曲正应力43/685.2.3 提高弯曲强度的措施 3 梁的合理受力 a. 合理布置载荷5.2 弯曲正应力44/685.2.3 提高弯曲强度的措施 3 梁的合理受力 b、 合理布置支座。5.2 弯曲正应力45/685

13、.3 弯曲切应力46/685.3.1 矩形截面梁矩形截面梁的切应力公式推导儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力 t 的方向和该截面上的剪力FS的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t 的大小只与距离中性轴的距离有关。5.3 弯曲切应力47/685.3.1 矩形截面梁取简支梁中dx的微段进行受力分析若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同 按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。5.3 弯曲切应力48/685.3.1 矩形截面梁 为了研究横截面上距离中性层 y 处的切应力t 的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。5

14、.3 弯曲切应力49/685.3.1 矩形截面梁研究 x 方向的平衡 距中性轴为 y 处的横线以下部分面积A1对中性轴的静矩。同理可得5.3 弯曲切应力50/685.3.1 矩形截面梁顶边分布的切应力的合力 dF的大小由5.3 弯曲切应力51/685.3.1 矩形截面梁整个横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩的绝对值所求切应力点的位置的梁截面宽度。5.3 弯曲切应力52/685.3.1 矩形截面梁对于矩形截面梁，取公式改写为在截面的两端，y = h/2在中性层，y =05.3 弯曲切应力53/685.3.2 工字形截面梁工字形截面由

15、翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板 由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。翼缘上的平行于y轴的切应力分量很小，通常不进行计算。热轧工字钢，其 查附录D5.3 弯曲切应力54/685.3.3 切应力强度条件对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上既有弯矩又有剪力。梁除了保证正应力强度条件外，还需要满足切应力强度条件。一般来说，梁的最大切应力发生在最大剪力所在截面的中性轴上S*zmax 中性轴以下部分截面对中性轴的静矩中性轴上各点的正应力为0，所以都是处于纯剪切状态弯曲切应力强度条件：5.3 弯曲切应力55/68【例5

16、-4】 如图所示矩形截面悬臂梁，承受集度为q的均布载荷作用，求梁内最大正应力和最大切应力之比。5.3 弯曲切应力56/68【例5-4】解 由内力分析，梁的最大剪力和最大弯矩位于固定端截面梁最大弯曲正应力5.3 弯曲切应力57/68【例5-4】解梁最大弯曲切应力梁内最大正应力和最大切应力之比 由此可见，当梁的跨度 l 远大于其截面高度 h 时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。5.3 弯曲切应力58/68【例5-4】讨论 一般细长非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比都很大，因此，对一般细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。 以下情况要进行梁的切应力强度校核： (1) 梁的最大弯矩

17、较小而最大剪力很大时； (2) 焊接或铆接的组合截面(例如工字形)梁，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢的相应比值时； (3) 经焊接、铆接或胶合而成的梁，其焊缝、铆钉或胶合面等。5.3 弯曲切应力59/68【例5-5】 若例5-3中的梁由3块板焊接而成，其焊缝a-a，b-b如图所示，已知材料的许用切应力 t =20MPa，焊缝的许用切应t =10MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。其余条件不变，校核梁的切应力强度。5.3 弯曲切应力60/68【例5-5】此类梁称为 薄壁截面梁壁厚很薄，故可近似认为切应力沿壁厚均匀分布，且方向沿薄壁截面的边线。因此，可参照矩形截面的做法，计算某

18、一横线以外的部分对中性轴的静矩S*z由例5-3 BC段剪力最大(1) 校核中性轴处切应力强度5.3 弯曲切应力61/68【例5-5】(2) 校核焊缝处切应力强度焊缝a-a处切应力ta小于焊缝b-b处切应力tb校核tb综合计算结果，该梁切应力强度安全。5.3 弯曲切应力62/68讨论(1) 薄壁截面梁切应力沿壁厚均匀分布，方向沿薄壁截面的边线，顺着剪力方向，像水流一样，称为切应力流。本例截面的切应力流如图，轴y所在位置切应力为0其他常见薄壁截面的弯曲切应力流方向如图5.3 弯曲切应力63/68【例5-5】讨论(2) 由于切应力流的存在，某些截面的切应力所组成的分布内力向截面形心简化得到主矢和主矩，从而使截面发