专题10三角函数的图像和性质

1、0 0 0 0 0 0 10 三角函数的图像和性质（解析版）易错点 1 要注意求函数 y=Asin(的单调区间时 的号，尽量化成 时情况. 易错点 2 三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得将个端点处的函数值作为最 值是错误的求数 y=Asin(x+)在 xm上的最值，可先求 t=x+ 的围，再结合 图象得出 y=Asin t 的域，即得原数的最.易错点 3：.函数 y=Asin(x+)(A0，0)单调区间的确定，基本思想是把x+看作一个整 体若0，要先根据诱导公式进行转.易错点 4：（1对函数 y=sin x，y=sin(或 =Acos()的图象，无论是先平移再缩，还是 先伸缩再平移，

2、只要平移个位，都是相应的解析式中的 x 变为 ，而不是 x 变为 x （2注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移易错点 5： cos （1求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为=Asin()y=)，y)的形式，再分别应用公式 =2 2 ，T= ，T= 求解 | | （2对于函数 yA（），其对称轴一定经过图象的最高点最低点，对称中心的 横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线 =x 或（x ，）否为函数的对称轴或对 称中心时，可通过检验 f ）的值进行判断易错点 6 易错点 7：（1求 ，已知函数的最大值 M 最小值 ， A M B 2（2求 ，已知

3、函数的周 ，则 T（3求 ，用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代(此时，A， 已) 确定 值，往往以寻“点法中点作为突破口，具体如下：“第一点(即图象上升时与 轴交点中距原点最近的交点为 x；“第二点(即图象的“峰点为 x=；“第三点(即图象下降时与 轴交点)为 x=；“第四点(即图象的“谷点为 x= “第五点为 x.3；第 页 共 页题组一：三角函数的图像与性质（2011 新标）设函数f ( x) sin(2 x ) cos(2 x )4 4，则（ ）Ay f ( x)在(0,2)单调递增，其图象关于直线x 4对称BCy f ( x) 在 y f ( x) 在 22)单调递增，其图象关

4、于直线单调递减，其图象关于直线x x 24对称对称Dy f ( x)在(0,2)单调递减，其图象关于直线x 2对称【解析】 f ( x) ) cos(2 ) = ) 2 4 4 2，所以 y ) 单调递减，对轴为 x 即 x ( k )2 2012 新标已知 ，0 x =图像的两条相邻的对称轴，则=（ ） 3 A B C 4 和 x 是函数 f ( ) sin( 【解析】由题设知， 5 = ， ， k （ k Z ）， 4 4 4 2=k （ k ， 0 = 4，故选 （2017 新课标）设函数f ( ) 3)，则下列结论错误的是（ ）Af ( 的一个周期为B f ( )的图像关于直线x 3对

5、称Cf ( x )的一个零点为x 6Df ( x在(2,单调递减【解析】f ( x) x 3)的周期为 ，k ，所以 A 正；f (3) ，所以 B 正；设g ( x) f ( x x 4 ) ， ( ) cos 3 6 ， 正；选 D(2018 全国卷)若f ( x) x sin 在 是减函数，则 a 的最大值是( )第 页 共 页A4B2C 4【解析】解法一f ( x) sin x 2 cos( )4，且函数y x在区间0, 上单调递减，则由0 x 3 得 x 4 4因为f ( 在 4上是减函数，所以 a 4，解得a ，4解法二 因f ( x x x ，以 f ，则由题意，知f 在 上恒成

6、立，即sin x x 0，即2 4) ，在 上恒成立，结合函数y 2 sin( x )4 0 4 的图象可知有 a 4 ，解得 ，以 0 ，4 4所以的最大值是4，故选 A（ 新课标）已知 0，函数f ( x) sin( ) 在 , 4 2单调递减，则 的取值范围是( )A1 5 2 4B1 3 2 41(0, 2D【解析】函数f ( x) 4)的图像可看作是由函数f ( x) x的图像先向左平移4个单位得f ( x) 4)的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1倍，纵坐标不变得到的，而函数f ( x) sin( 5 ) 的区是 , 4 4，所以要使函数 f ( x) sin( ) 在

7、,4 上是减函数，需满足 5 ，解得1 2 故选 A第 页 共 页（2016 全 I已知函数 x sin(x+ ), x 24为f ( 的零点，x 4为 f ( x)图像的对称轴，且f ( ) 在 ， ) 调，则 的大值为（ ） A11 B9 C D【解析】因为 4为函数f x )的零点， 4为 f ( x )图像的对称轴，所以 2 （ k Z ， T 为期），得 T （ k Z ）又 f ) 在 ( 2 2 2 ) 11 5单调，所以 , k ，又当 k 时， ， f ( x) 在 ( )6 2 18 36不单调当 k 时 ， f ( x) 在 ( , )4 18 36单调满题意故 即 的最

8、大值为 9（2014 新课标）在函数y | |，y x |， x 6)， x A4)中，最小正周期为 所函数为 ) BC【 解 析 】 y | |， 最 小 正 周 期 为 ； cos |， 最 小 正 周 期 为 ； x ) ，小正周期为 y tan(2 x ) ，最小正周期为6 2最小正周期为的函数为题组二：三角函数图像的变化 新课标）已知曲线 ： y x ， ： 1 2)，则下面结论正确的是( )AC1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍坐标不变把到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B 上点的横坐标伸长到原来的 倍坐不变把到曲线向左平移 1个单位长度，得到曲线C2第 页 共 页 CC1

9、 上各点的横坐标缩短到原来的 倍坐标不变把到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C2D 上点的横坐标缩短到原来的 1 倍坐标不变得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2【解析】把 C 的析式运用诱导公式变为余弦，2C2： y x 2 cos ) x ) ) 6 则由C1 图象横坐标缩短为原来的 再得到的曲线向左平移 个单位长度到 C线选 2 全国 II）若将函数 2sin x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为A k ( k Z ) B ( ) 2 6 2 C k ( ) D ( ) 2 12 2 【解析】函数 x的图像向左平移12个单位长度，得到的图像对应的函数表达式

10、k 为 y 2 x 令 2 x ，得 x k ，以所求对称轴 12 的方程为 B 610 年国 III函数y x 3 cos 的图像可由函数y x 的图像至少向右平移个单位长度得到【解析】函数 3 2sin( x )3的图像可由函数y cos 2sin( 3)的图像至少向右平移23个单位长度得到2013 新标）函数y x 的图象向右平移2个单位后，与函数 sin(2 3)的图象重合，则 第 页 共 页【解析】 函数y cos(2 x )，向右平移 个单位，得到2 )3，即 ) 向平移 个位得到函数 3 y cos(2 x )， ) 向平 个位，3 得 x ) x ) x ) x )2 3 3

11、5 5 ) ， 6 6题组三：根据三角函数的图像确定解析式 （ 新课标）函数f ) 的部分图像如图所示，则f ( x)的单调递减区间为（ ）A( k1 , k )4 4， ZB1 3 k )4 4， ZC1 ( k k ) k Z 4 D(2 k 1 3,2 )4 ， Z【解析】由图象可知 5 m 4 2 4 ， ，所以 4 m ，所以函数f ( x) cos( )4 的单调递减区间为，2k k x k 4 4 ， Z 函数f f ( x sin( , w, =常， A 的部分图象如图所示，则第 页 共 页0, 0, 【解析】由图可知： 2， 7 2 ，以T 4 4 ，又函数图象经过点(3,0

12、)，所以2 3，则3，故f ( x) 2 x )3，所以f (0) sin362题组四：利用三角函数图像求零点问题14.（ 全国理 11 改关于函数 f ( x) x | sin x 在 有个零点【解析】f ( ) sinsin x sin x ( x)，则函数f ( 是偶函数，当0 x f ( ) sin ，由f 得 得x 或x ，由f ( x是偶函数，得在,0上还有一个零点x ，即函数f ( 在 个零点15.(2018 全卷)函数f ( ) cos(3 )6在 的点个数【解析】由题意知， 6) ，所以3x 6 2， Z，所以 k9 3 ， k Z ， ， ； k ， x ；9 9当 时， 9，均满足题意，所以函数f ( 在 0, 的点个数为 3（2019 全理 12 改）设函数f ( x ) ) 5 f 有且仅有 个零点， 的值范围【解析】当 +5 , 2 ，因为f ( 在 5 个点，所以5，所