2022年秋新教材高中数学课时跟踪检测二十七抛物线的简单几何性质新人教A版选择性必修第一册

1、PAGE 4PAGE PAGE 6课时跟踪检测（二十七） 抛物线的简单几何性质1顶点在原点，焦点为Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)的抛物线的标准方程是()Ay2eq f(3,2)x By23xCy26x Dy26x解析：选C抛物线的焦点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，p3，且抛物线开口向右抛物线的标准方程为y26x.2已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y22px(p0)上，若|AF|BF|4，线段AB的中点到直线xeq f(p,2)的距离为1，则p的值为()A1 B1或3C2 D2或6解析：选B|AF|BF|4xAeq f(p,2)

2、xBeq f(p,2)4xAxB4p2x中4p，因为线段AB的中点到直线xeq f(p,2)的距离为1，所以eq blc|rc|(avs4alco1(x中f(p,2)1，所以|2p|1p1或3.3设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线yeq f(k,x)(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()Aeq f(1,2) B1Ceq f(3,2) D2解析：选Dy24x，F(1,0)又曲线yeq f(k,x)(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入yeq f(k,x)(k0)，得k2.故选D.4P为抛物线y22px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆

3、与y轴的位置关系为()A相交 B相离C相切 D不确定解析：选C设PF的中点M(x0，y0)，作MNy轴于N点，设P(x1，y1)，则|MN|x0eq f(1,2)(|OF|x1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(p,2)eq f(1,2)|PF|.故相切5已知A，B为抛物线y22x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为()Aeq f(1,2) Beq f(1,2)C2 D2解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，由eq blcrc (avs4alco1(yoal(2,1)2x1，,yoal(2,2)2x2，)得eq f(y1

4、y2y1y2,x1x2)2，即4kAB2，kABeq f(1,2).6已知点F为抛物线y24x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_. 解析：由抛物线定义得xA15，xA4，又点A位于第一象限，因此yA4，从而kAFeq f(40,41)eq f(4,3).答案：eq f(4,3)7已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|2，则|BF|_.解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|x112，x11，直线AF的方程是x1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|AF|2.答案：28抛物线x22py(

5、p0)的焦点为F，其准线与双曲线x2y21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：由抛物线可知焦点Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)，准线yeq f(p,2)，由于ABF为等边三角形，设AB与y轴交于M，则|FM|p，不妨取Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(p24),2)，f(p,2)，|FM|eq r(3)|MB|，即peq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(p24),2)，解得p2eq r(3).答案：2eq r(3)9根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；

6、(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.解：(1)双曲线方程可化为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且eq f(p,2)3，p6，抛物线的方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5|AF|eq blc|rc|(avs4alco1(mf(p,2).又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.10已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程解：过焦点的弦长为36，弦所在的直线的斜率存在且不为零故

7、可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点抛物线y24x的焦点为F(1,0)，直线的方程为yk(x1)由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y24x，)整理得k2x2(2k24)xk20(k0)x1x2eq f(2k24,k2).|AB|AF|BF|x1x22eq f(2k24,k2)2.又|AB|36，eq f(2k24,k2)236，keq f(r(2),4).所求直线方程为yeq f(r(2),4)(x1)或yeq f(r(2),4)(x1)1已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，若eq o(FA

8、,sup7()3eq o(FB,sup7()，则|eq o(AF,sup7()|()A3B4C6D7解析：选B由已知点B为AF的三等分点，作BHl于点H，如图，则|BH|eq f(2,3)|FK|eq f(4,3)，所以|BF|BH|eq f(4,3).所以|eq o(AF,sup7()|3|eq o(BF,sup7()|4.2已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线与抛物线交于A，B两点，若eq f(|AF|,|BF|)(0,1)，则eq f(|AF|,|BF|)()Aeq f(1,5) Beq f(1,4) Ceq f(1,3) Deq f(1,2)解析：选C因为抛

9、物线的焦点为Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)，故过点F且倾斜角为30的直线的方程为yeq f(r(3),3)xeq f(p,2)，与抛物线方程联立得x2eq f(2r(3),3)pxp20，解方程得xAeq f(r(3),3)p，xBeq r(3)p，所以eq f(|AF|,|BF|)eq f(|xA|,|xB|)eq f(1,3)，故选C.3(2020福州期末)设抛物线y22px上的三个点Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，y1)，B(1，y2)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，y3)到该抛物线的焦点距离分别为d1，

10、d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值为3，则p的值为_解析：根据抛物线的几何性质可得d1eq f(p,2)eq f(2,3)，d2eq f(p,2)1，d3eq f(p,2)eq f(3,2)，由题意可得p0，因此可判断d3最大，故d3eq f(p,2)eq f(3,2)3，解得p3.答案：34(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq blcrc (avs4alco1(yoal(2,1)4x1，,yoal(2,2)4x2，)yeq oal(2,1)yeq

11、oal(2,2)4(x1x2)，keq f(y1y2,x1x2)eq f(4,y1y2).设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|eq f(1,2)|AB|eq f(1,2)(|AF|BF|)eq f(1,2)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB的中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.答案：25已知AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的一条弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)求证：(1)若AB的倾斜角为，则|AB|eq f(2p,sin2)；(2)x1x2eq f(p2,4)

12、，y1y2p2；(3)eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)为定值eq f(2,p).证明：(1)设直线AB的方程为xmyeq f(p,2)，代入y22px，可得y22pmyp20，则y1y2p2，y1y22pm，yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)2p(x1x2)(y1y2)22y1y24p2m22p2，x1x22pm2p.当90时，m0，x1x2p，|AB|x1x2p2peq f(2p,sin2)；当90时，meq f(1,tan )，x1x2eq f(2p,tan2)p，|AB|x1x2peq f(2p,tan2)2peq f(2p,sin2).|AB|eq f(2

13、p,sin2).(2)由(1)知，y1y2p2，x1x2eq f(y1y22,4p2)eq f(p2,4).(3)eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)eq f(1,x1f(p,2)eq f(1,x2f(p,2)eq f(x1x2p,x1x2f(p,2)x1x2f(p2,4)eq f(x1x2p,f(p,2)x1x2p)eq f(2,p).6已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点M，使M到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解：(1)设抛物线上任一点P(x，y)，则|PA|2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,3)2y2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,3)22xeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,3)2eq f(1,3)，因为x0，且在此区间上函数单调递增，所以当x0时，|PA|mineq f(2,3)