弹性力学-05(变分法)

1、1. 弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件应力边界条件；位移边界条件。定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b） 相容方程；（c） 边界条件。（a） 归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b） 难以求得解析解。 从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：5-4 弹性体的形变势能和外力势能2. 弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。

2、弹性力学中的变分原理 能量原理 直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。 位移法 力 法 混合法 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。求解方法：里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法，加权残值（ 余量）法等。3. 弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 有限

3、差分法；基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解 有限单元法、边界单元法、离散单元法 等典型软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等； 基于有限元法的分析软件；UDEC 基于离散元法的分析软件；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。 将问题转变为求解大型的线性方程组。1. 形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：PlOPl外力所做的功： 由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能

4、量损失很小，外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：杆件的体积令： 单位体积的变形能，称为比能。三向应力状态：一点的应力状态： xyz三向应力状态：一点的应力状态： xyz 由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：（a）对于平面问题，在平面应力问题中，在平面应变问题中，因此，（a）（b）整个弹性体的形变势能：（c）2. 形变势能的应变分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（2-16） ：代入式（b），整理得：（d）（e）将式（e）分别对3个应变分量求导，并将其结果与物理方程(d)比较，得：

5、从而，（5-15）表明：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。3. 形变势能的位移分量表示只需将几何方程代入式(e)，得：在上式中，只要将弹模、泊松比代换，即可得到平面应变中的相应公式。（f）由式(e)和(f)可知，形变势能是应变分量或位移分量的二次泛函。因此，叠加原理不再适用。 0 1/2 ， U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。（5-16）外力的虚功：体力：面力： 外力取应变或位移分量为零时的状态为自然状态，此时外力的功和势能为零。由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的外力势能为：（5-17）（5-18）11-2 位移变分方程1. 泛函与变分

6、的概念（1）泛函的概念函数：x 自变量；y 因变量，或称自变量 x 的函数。泛函：x 自变量；y 为一变函数；F 为函数 y 的函数，称为泛函。例1：P1 弯矩方程梁的形变势能：ABlx 泛函例2：例2：因为所以，U 被称为形变势能泛函。（2）变分与变分法设：当自变量 x 有一增量：函数 y 也有一增量： dy 与 dx ，分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。 研究自变量的增量与函数增量的关系 微分问题P1ABlx设：函数 y 有一增量：泛函 U 也有一增量：P1ABlx设：函数 y 也有一增量：泛函 U 也有一增量： 函数的增量y 、泛函的增量 U 称为变分。 研究自变函数的增量与泛函

7、的增量间关系 变分问题。微分和变分都是微量，它们的运算方法是相同的，如：变分的运算变分与微分运算：变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换。复合函数的变分：其中：一阶变分：复合函数的变分：其中：一阶变分：二阶变分： 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。2. 位移变分方程建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系 位移变分方程qP应力边界 S位移边界 Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：位移场：应力场：满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。 称为真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，

8、即为约束所允许。任给弹性体一微小的位移变化：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。qP应力边界 S位移边界 Su变化后的位移状态： 称为位移的变分，或虚位移。由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为： 由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。（5-19）（5-20）（2）考察弹性体的能量变化：从而引起形变势能的变分为： 上式中的应力分量也是在位移变分发生之前存在的，是恒力，所以没有系数1/2。由于位移的变分，引起的应变的变分为：由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于

9、外力势能的减少（也就等于外力所做的功，即外力虚功）。（在没有温度改变、动能改变的情况下）设： 表示弹性变形势能的增量； 表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。（5-21） 式（5-22）称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。则有：（5-22）它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。 根据式（5-22），可推导出弹性力学中的极小势能原理。 将式（5-22）写成，上式中外力是恒力，因此第二项就是外力势能的变分，（a）而第一项就是形变势能的变分，证明如下：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。从

10、而，因此，式(a)可以写为：式（5-23）表明，在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分为0. （5-23）其中： 形变势能与外力势能的总和，称为系统的总势能。其中： 形变势能与外力势能的总和，称为系统的总势能表明： 在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变分为零。等价于总势能 U+V 取驻值。 极值势能原理平衡状态：（1）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；（3）随宜平衡状态；稳定平衡不稳定平衡随宜平衡 势能取极小值 势能取极大值 不定最小势能原理： 在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，

11、总势能取极小值，通常也为最小值。虚功方程应用位移变分方程，还可以推导出弹性力学中的另一个重要方程：虚功方程。（5-21）（5-22）因此，（5-24）虚功方程表明：如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。实际存在的位移应满足：（1）位移边界条件；（2）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界条件。（1）位移边界条件；（2）位移变分方程。因而，有：位移变分方程（1）平衡方程；（2）应力边界条件。（可互相导出）（最小势能原理）（1）位移变分方程（2）虚功方程位移变分方

12、程小结：也称 Lagrange 变分方程：（3）最小势能原理说明：（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。（5-22）（5-24）虚功方程前节课内容回顾：1. 能量法的基本思想： 不依赖于自变量 x 变化的函数的增量（1）在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；或者，为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。2. 变分与泛函的极值（2）将定解问题转变为求解线性方程组。（1）泛函：自变量 x 的变分恒为零。（2）变分：（3）变分的运算：变分与微分运算变分与积分运算变分运算与积分运算互相交换。变分运算与微分运算互相

13、交换。复合函数的变分其中：一阶变分： 自变量 x 的变分 x 0二阶变分： 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。泛函的极值泛函取得的条件： 取得极小值 取得极大值 不定，由高阶变分判别。3.弹性体的形变势能4.位移变分方程位移变分方程虚功方程最小势能原理平衡微分方程应力边界条件等价位移变分方程与弹性力学基本方程的等性本章内容回顾：1. 形变势能的计算：（1）一般形式（2）应变分量表示形式（c）（5-16）（3）位移分量表示形式（1）位移变分方程（2）虚功方程也称 Lagrange 变分方程：（3）最小势能原理说明：（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用

14、各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。（5-22）（5-24）虚功方程5-6 位移变分法1. 里兹（Ritz）法基本思想：设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。设取位移的表达式如下：（5-25）其中：为互不相关的 2m 个系数；为设定的函数，且在边界上有：为边界上为零的设定函数 显然，上述函数满足位移边界条件。此时，位移的变分只能由系数 Am、Bm的变分来实现。与变分无关。（a）位移的变分：形变势能的变分：（b）将式（a）、（b）代入位移变分方程（5-22），有：将上式整理、移项、合并，可得：完全任意，且

15、互相独立，要使上式成立，则须有：（5-26） Ritz 法方程或称 Rayleigh- Ritz 法方程说明：（1）由 U 的位移表达式（5-16）可知，U 是系数的二次函数，因而，方程（5-26）为各系数的线性方程组。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等（3）在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。（5-26） Ritz 法方程或称 Rayleigh- Ritz 法方程例：图示薄板，宽为 a，高度为 b，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和 q2 作用，不计体力。试求薄板的位移。解：（1）假设位移函数（a）满足边界条

16、件：试在式（a）中只取两个系数：A1、B1 ，即（b）（2）计算形变势能 U将式（b）代入（5-16），有（平面应力情形下形变势能公式）积分得：（c）（c）（3）代入Ritz 法方程求解体力有在右边界：在上边界：于是有：将式（c）代入，得（11-15）联立求解，得：（f）代入位移表达式（b），得：（g）讨论：（1）如果在位移式（a）中再多取一些系数如：A2、B2等，但是经计算，这些系数全为零。（2）位移解（g）满足几何方程、平衡方程和边界条件。表明：位移解（g）为问题的精确解。Ritz 法解题步骤：（1）假设位移函数，使其满足边界条件；（2） 计算形变势能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解

17、待定系数；（4）回代求解位移、应力等。本章内容回顾：1. 形变势能的计算：（1）一般形式（2）应变分量表示形式（c）（5-16）（3）位移分量表示形式（1）位移变分方程（2）虚功方程2.位移变分方程小结：也称 Lagrange 变分方程：（3）最小势能原理说明：（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。（5-22）（5-24）虚功方程Ritz 法解题步骤：（1）假设位移函数，使其满足边界条件；（2） 计算形变势能 U ；（3）代入Ritz 法方程求解待定系数；（4）回代求解位移、应力等。3. 位移变分法里兹（Rit

18、z）法例:图示矩形薄板，宽为2 a，高度为2 b，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：（h）不计体力。试求薄板的位移和应力。解:（1）假设位移函数取 m =1, 将位移分量设为：（i）显然，可满足位移边界条件：例:如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求梁的挠曲线方程。 PABlxy解:（1）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为（取一项）：式中：a 为待定常数。（2）计算形变势能 U：（ a）（ b）显然，式（a）满足端点的位移边界条件:（3）代入Ritz 法方程，求解（ c）（ d）PABlxy讨论：（1）中点的挠度：（ e）而材料力学的结果：两者比较：式（a）的结果偏小2%。如果取如下位移函数：式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的位移函数必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：PABlxy例:如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 解:（1）假设位移试探函数式中：A1、A2 为待定常数。显然，式（a）满足端点的位移边界条件:（2）计算：梁的形变势能:（3）代入 Ritz 法方程:PABlxy例:如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 解:位移函数（a）（3）代入 Ritz 法方程:所求挠曲线方程 :PABlxy所求挠曲线方程:中点挠度:而材料力学的结果：