人教A版高中数学必修二讲义第八章 章末复习

1、知识系统整合规律方法收藏1对于简的空间几何体,注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手 抓住各几何体之间的相互关系多观察仿课本中的立体图形,画好空间几何体的 直观图2 在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲( ) 为直”( 将几何体表面展开铺平)的思想方法,以用来求解表面两点间距离最短问题 3直线和面垂直的判定定理可简化为“线线垂直 ,则线面垂直”这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线” ;“线面”则是指这条直 线和两条相交直线所在的平面定理告诉我们要证明直线和平面垂直,需在 这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可4判定线垂直的方 ,主有三 : 利用定 ;

2、利用判定定 ; 与平行 关系联合运用,若 ab, a则 .5两平面交成直二面角时,平面垂直作为二面角,除了本身所包含的问 题外,又是两个平面垂直定义的基础同异面直线所成的角直线和平面所成的 角相 , 二面角又是多种知识的交汇点 因此它必是每年高考重点考查的内容之 一对于本节内容及相关问题应引起足够重视6二面角平面角必须具备三个条件角的顶点在二面角的棱上角的两 边分别在二面角的两个半平面内角的两条边分别与二面角的棱垂直准确恰 当地作出二面角的平面角是解答有关二面角问题的关键二面角的平面角通常 有三种方法 定义法这里要注意角的顶点的恰当选 ;垂面法 ;垂线法当 二面角的棱未给出时首先要作出二面角的

3、棱,再利用上述办法作出平面角7面面垂的判定方法有两 : 一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面 角,明该角为直角;是利用面面垂直的判定定理8转化思是解立体几何最常用的数学思 ,本章涉及的垂直问题的证明通 常是通过证明线线垂直垂直来实现的同时在关于垂直问题的论证中要注意 线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化学科思想培优空间几何体的结构特征1空间几体的结构特征是立体几何图形认识的基础 ,理解时要从其几何体 的本质去把 ,多面体中常见的棱柱、棱锥和棱既有必然的联系 ,也有本质的区 别2旋转体由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的 ,一定要弄清圆柱、圆 锥圆台球分别是由哪一种平面图形旋转形成的,而可以

4、掌握旋转体中各元素 之间的关系,就掌握了它们各自的性质例 1给出下列四个命题在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;棱柱的上下底面全等直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; 棱台的上、下底面可以不相似但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是( )A0C2详细解析B1D3不一 ,有这两点的连线平行于轴时才是母线 ; 正 ; 错误斜边所在直线为旋转轴时其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图所 它是由两个同底圆锥组成的几何 ;错误 台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形各侧棱的延长线交于一点,是侧棱长不一定相等答案B空间几何体的直观图空间几何体的直

5、观图是空间几何体的表现形式 学好空间几何的基础和关 键,只有正确作出空间几何体的直观 ,能分析其中各元素及各组成部分之间的 关系例 2 画出如图所示的四边形 的直观图( 已知 OCAD2,OD 3,4,ADOB解以 为原点 , 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系 ,如 作CB 45, 其中 O 是水平的 , 4,D 3,OC 1, D作D135,使 D顺次连接 A,BBC所得 四边形 OB即为四边形 OABC 直观图,如图 2. 36.3 26 O COAB 36.3 26 O COAB空间几何体的体积与表面积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题 ,制作物体的 下料问题料最省问

6、题同材料容积最大问题都涉及表面积和体积的计算 别是特殊的柱、锥、,在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平 面图形的作用,于圆柱锥台要重视旋转轴所在轴截面面圆的作用 补法、构造法是常用的技巧例 3已知 A B 是球 O 的球面上两点 , 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 的体积的最大值为 36,球 的表面积为多少解如图所示,点 于垂直于平面 直径顶端时三棱锥 ABC 体积最大设球 的半径为 R,时1 1 R3 R 6.球 O 的表面积为 S4R2空间中的位置关系144.相交1空间中直线的位置关系异面线在面内2空间中与面的位置关系行线面相交3两个平的位置关系例 4已知 mn 不同的直

7、线 , 是两个不重合的平面给出下列结论若 m, 平行于平面 内任意一条直线若 ,m,n,则 ;若 m,n,mn, ;若 ,m,则 m.其中正确的结论的序号是_ 写出所有正确结论的序号)详细解析若 m则 m 行于过 m 平面与 相交的交线并非所有的直线,故错误;若 n,可能 ,可能 m 异面,错误正确答案平行问题立体几何中的平行问题有三类一是线线平行由基本事实 4 和面面平行的性 质定理可以证明线线平 ,由线面平 ( 或垂直 )的性质定理可以证明线线平 ; 根 据线线平行可以得出两条异面直线所成的 ,可以证明线面平行 ;二是线面平 由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行 三是两个平面平 ,用定

8、义和判定 定理可以证明两个平面平行 或垂直于同一条直线的个平面平 ,或行于同一 个平面的两个平面平行由面面平行可以得出线面平行和线线平行平行关系的转 化是:例 5 如图,四棱锥 PABCD 中,底面 AD,ABAD 3,4, 为线段 AD 上一点AM2MDN 为 的中点( 证明:MN平面 PAB;( 求四面体 N 的体积3 1 2 1 1 3 BCM BCM3 1 2 1 1 3 BCM BCM解2( 证明:由已知得 AM 如图, BP 中点 ,接 AT,由 N 为 PC 的中点知 TNBCTN2又 BC故 ,所以四边形 AMNT 平行四边形,所以 MNAT.因为 AT面 PAB,MN面 ,所

9、以 MN平面 1( 因为 平面 ,N 为 的中点,以 到平面 的距离为 PA.如图, 的中点 ,接 .由 3 AEBC,AEAB2BE2 5.由 AMBC M 到 BC 距离为 5,故 S 24 所以四面体 NBCM 体积 4 2 .垂直问题1空间垂直关系的相互转化2判定面垂直的常用方法( 利用线面垂直的判定定理;( 利用“两平行线中的一条与平面垂直则另一条也与这个平面垂直” ( 利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个则与另一个平面也垂直”1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 .1 11 1 1 11 11 1 11 1 1 1 1 11 1 ( 利用面面垂

10、直的性质3判定线垂直的方法( 平面几何中证明线线垂直的方法;( 线面垂直的性质,bab;( 线面垂直的性质,bab.4判断面垂直的方法( 利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角;( 判定定理:a,a .例 6 如图直三棱 ABCA B 中,A B ,D 分别是 CC 上的点( 点 D 不同于点 ),且 ADDE,F 为 的中点求证:1( 平面 平面 B ; ( 直线 F平面 ADE.证明( 因为 A 是直三棱柱,所以 1平面 ABC又 平面 ABC所以 1AD又因为 ADDECC 平面 1 1面 BCC DE面 ,CC DE,以 又 平面 ADE,以平面 ADE平面 BCC ( 因为

11、A B A ,F 为 B 的中点,所以 A1 1 因为 所以 1平面 A B , A F平面 C , F.又因为 ,B 平面 B 所以 1F平面 BCC B 由( 知 平面 ,以 F 2 2 PD 2 2 PD 3又 平面 ADE,A1F平面 ADE,所以 1F平面 ADE线线角、线面角和二面角问题1两条异直线所成的角的范围 条异面直线所成的 关键是 选取合适的 ,引两条异面直线的平行 ,这两条相交直线所成的锐角或直角即为 两条异面直线所成的角特别地两条异面直线垂直,可由线面垂直得到2直线平面所成的角的范围是 面角的关键是找到直线与其在 平面内的射影的夹角当线面角为 时直线与平面平行或直线在平

12、面内 线面 角为 时,线与平面垂直3如果求个相交平面所成的二面角除垂直,有两个答案, 或 180 .具体几何体中,由题意和图形确定二面角的平面角时首先要确定二面角的 棱,后结合题设构造二面角的平面角一般常用: 定义法;( 垂面法4求角问题时 ,论哪种情 ,终都归结到两条相交直线所成的角的问 题求角度的解题步骤( 找出这个角;( 2)证该角符合题意( 3)构造出含这个角的 三角形,这个三角形,出角例 7如图,PD平面 ABCD四边形 矩形,PDDC2,BC2 2.( 求 与平面 ADC 成角的大小;( 求异面直线 , 所成角正弦值解( 因为 平面 ABCD所以PBD 为 PB 平面 ADC 所成

13、的角因为四边形 ABCD 是矩形,以 DC,所以 3,tan BD 3,以即 PB 平面 所成角的大小为 2 2 2 6 6 2 2 2 6 6 ( 取 的中点 G连接 OG,DG如图显然 PC所以DOG 或其补角)即为异面直线 PCBD 成的角因 1 1 1 OD BD DG PA 3,以OGD 是等腰三角形,作底边的高,求出 30 30 ,以异面直线 ,BD 所成角的正弦值为 例 8如图,圆锥 中已知 底面, 2,O 的直径 2,C 是的中点, 为 的中点( 证明:平面 POD平 ; ( 求二面角 B 的余弦值.解( 证明:如图,接 OCPO底面底面O,PO. OAD 是 AC 的中点 ,OD又 ODPOO平面 .又 平面 PAC,平面 平面 PAC( 在平面 POD 中过点 作 OHPD 于点 .1 2 1 1 2 1 由( 知,面 POD平面 PAC且交线为 OH平面 OH平面 PAC又 平面 PAC, OH.在平面 PAO 中,点 O 作 OGPA