2018考研数学二真题及解析

1、.PAGE .2017年考研数学二真题一、选择题 18小题每小题4分,共32分1若函数在处连续,则ABCD详解,要使函数在处连续,必须满足所以应该选A2设二阶可导函数满足,且,则 A BC D详解注意到条件,则知道曲线在上都是凹的,根据凹凸性的定义,显然当时,当时,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导所以所以选择B当然,如果在考场上,不用这么详细考虑,可以考虑代一个特殊函数,此时,可判断出选项A,C,D都是错误的,当然选择B希望同学们在复习基础知识的同时,掌握这种做选择题的技巧3设数列收敛,则A当时,B当时,C当时,D当时,详解此题考核的是复合函数的极限运算法则,只有D是正确的其

2、实此题注意,设,则分别解方程时,发现只有第四个方程有唯一解,也就是得到微分方程的特解可设为 A BC D详解微分方程的特征方程为,有一对共轭的复数根所以不是特征方程的根,所以对应方程的特解应该设为；而是方程的单根,所以对应方程的特解应该设为；从而微分方程的特解可设为,应该选C5设具有一阶偏导数,且对任意的都有,则 A BC D详解由条件对任意的都有可知对于是单调增加的,对就单调减少的所以,只有第三个不等式可得正确结论D,应该选D6甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10单位：米处,如图中,实线表示甲的速度曲线单位：米/秒,虚线表示乙的速度曲线单位：米/秒,三块阴影部分的面积分别为,计时开始后

3、乙追上甲的时刻为,则 A BC D详解由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时,表示时刻内所走的路程本题中的阴影面积分别表示在时间段内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在时乙追上甲,应该选C7设为三阶矩阵,为可逆矩阵,使得,则 ABC D详解显然这是矩阵相似对角化的题目可知所以,所以可知选择B8已知矩阵,则 A相似,相似 B相似,不相似C不相似,相似 D不相似,不相似详解矩阵的特征值都是是否可对解化,只需要关心的情况对于矩阵,秩等于1 ,也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是对于矩阵,秩等于2 ,也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量,也就

4、是不可以对角化,当然不相似故选择B二、填空题本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上9曲线的斜渐近线为解：,所以斜渐近线为10设函数由参数方程确定,则详解,所以11.详解12设函数具有一阶连续的偏导数,且已知,则详解,所以,由,得,所以13详解交换二重积分的积分次序得：14设矩阵的一个特征向量为,则详解根据特征向量的定义,有,解得三、解答题15本题满分10分求极限详解令,则,16本题满分10分设函数具有二阶连续偏导数,求,详解,；17本题满分10分求详解由定积分的定义18本题满分10分已知函数是由方程详解在方程两边同时对求导,得 1在1两边同时对求导,得也就是令,得当时,；

5、当时,当时,函数取极大值；当时,函数取极小值19本题满分10分设函数在区间上具有二阶导数,且,证明：1方程在区间至少存在一个实根；2方程在区间内至少存在两个不同实根证明：1根据的局部保号性的结论,由条件可知,存在,及,使得,由于在上连续,且,由零点定理,存在,使得,也就是方程在区间至少存在一个实根；2由条件可知,由1可知,由洛尔定理,存在,使得；设,由条件可知在区间上可导,且,分别在区间上对函数使用尔定理,则存在使得,也就是方程在区间内至少存在两个不同实根20本题满分11分已知平面区域,计算二重积分详解由于积分区域关于轴左右对称,所以由二重积分对称性可知所以其中利用瓦列斯公式,知21本题满分1

6、1分设是区间上的可导函数,且点是曲线上的任意一点,在点处的切线与轴相交于点,法线与轴相交于点若,求上的点的坐标满足的方程详解曲线过点的切线方程为,令,得；曲线过点的法线方程为,令,得由条件,可得微分方程标准形为,是个一阶齐次型微分方程设,方程化为,整理,得分离变量,两边积分,得由初始条件,得,确定常数所以曲线的方程为22本题满分11分设三阶矩阵有三个不同的特征值,且1证明：；2若,求方程组的通解详解1证明：因为矩阵有三个不同的特征值,所以是非零矩阵,也就是假若时,则是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有,又因为,也就是线性相关,也就只有2因为,所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于,所以基础解系为；又由,得非齐次方程组的特解可取为；方程组的通解为,其中为任意常数23本题满分11分设二次型在正交变换下的标准形为,求的值及一