四道高考题　两对双胞胎含参双变量问题处理方法 讲义-高三数学一轮复习

1、四道高考题，两对“双胞胎”（含参双变量处理方法：无关双变量同构，有关双变量减元消参）2009辽宁理(12分)已知函数；（1）讨论函数的单调性；（2）求证：若，则对任意的，有（只有大小关系，题目背景是拉格朗日中值定理）【解】（1），函数的定义域为，令，则或；若，即，则，函数在上单调递增；若，又，故时，当时，；当时，；当时，；函数在，上单调递增；函数在上单调递减；若，即，同理可得，函数在，上单调递增；函数在上单调递减；（2）令，定义域为，则；，；，即；函数在上单调递增，故当时，即，2010年辽宁（21）（本小题满分12分）已知函数（ = 1 * ROMAN I）讨论函数的单调性；（ = 2 * R

2、OMAN II）设.如果对任意，求的取值范围。（21）解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即. 从而 故a的取值范围为（-，-2. 12分2011湖南文科22. （本小题满分13分） 设函数。 （）讨论函数的单调性 （）若有两个极值点；记过点的直线斜率为。问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（有制约关系）解析：（I）的定义域为令当故

3、上单调递增当的两根都小于0，在上，故上单调递增当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，因为，所以又由(I)知，于是若存在，使得则即亦即再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得2018年全国卷21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：好，我们来先看一看这道题的形式特征：第一问：讨论f(x)的单调性，只要大家有做过一定的了解，想信大家都知道这个题型特别常见，老师在课堂上肯定也会讲到，高考导数大题当中很大一部分的题型，第一问考的都是讨论单调性，所以，这一点对大家至关重要。那么，希望同学们通过这方面的学

4、习，在这方面上面不再丢分。第二问：要证明一个不等式成立，这个结构就是大家所说的双变量问题，这种也是高考中常考的典型性题型。从近几年的全国卷的高考题可以看出， 出的考题的结构基本比较固定，虽然他综合难度比较高，但是只要同学们经过对这种结构熟练拆分掌握，经过大量的训练，相信同学们在高考中遇到这种同类型题再也不用担心做不出来了。那么，接下来就讲一讲第一问当中的关于含参讨论的处理方法。以及解决第二问这种题型的解题思路，只有思路明确了，同学们要明白自己欠缺的点在哪里，然后在后面的学习，找到合适的方法去解决这些问题，相信大家就有能力去完整处理好导数大题。废话不多说，直接看第一问：对这么一个含参讨论单调性问

5、题，有常见的几种处理思路：求导、通分 因式分解 0是什么情况？0是什么情况？比较x1、x2 写出单调区间含参单调性的问题本质是二次函数零点存在性的问题。讨论核心是：二次项系数，根，定义域.最开始一定是求导，求导之后观察是否能够通分或者因式分解，这点非常重要。保证讨论过程有层次，不重不漏，讨论参数顺序可以如下：二次项系数是否为0是否有根，有几个根开口方向两根大小（特别注意能否相等）根是否在定义域内（刚开始就要判断定义域）这是我们处理导数单调性的常用方法，如果能因式分解，那么就可以直接比较x1、x2了，如果不能因式分解，那么我们就要用到第三步了，当然，不同的题型，不同的方法，希望大家灵活掌握。有了

6、思路之后，那就开始解题了。第一步：求导。（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.再看第二问：这种类型导数压轴题确实综合难度比较高，很多同学对于第二问是很难完整的做出来，但是，只要同学们认真去学习这类问题，经过系统的学习后，你就会发现，这些题型都会有标准化的解题过程，那么只是因为它中间涉及的障碍或者说细节处理相对会麻烦的多，所以导致很多同学以为他做不好，但是只要你的逻辑通了，那么我相信一件事，你就一定可以把这种问题给做好。那我们首先来分析一下这个结构，可以看出，这道题综合了两个结构：一、双变量问题；二、含参

7、不等式证明。那么我们应该怎么去处理呢？那我们就对这两个结构拆开来分析： 双变量常见解题思路：1双变量化为单变量寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；聚焦问题：我们要明白这是一个与极值取值范围有关的问题。解决策略：学会转化。求极值取值范围就是变量转化问题。这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数，为什么呢，因为我们构造新函数后，可能还会含有参数a，那么这种问题还是非常难处理。遇到这种问题，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的思路：1 寻找x1、x2之间的关系并确定范围，并且确定a的取值范围；（当所求的代数式与两个极值点都有关的时

8、候，我们还需要努力找到两个极值点之间的关系。一般情况下都是二次函数根据韦达定理确定找出两根之和，两根之积的关系，实现变量之间的代换。）2化简和尝试消参；3双变量化为单变量。4证明函数恒成立（求导、求极值） 含参不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参。当双变量变为单变量的时候，就可以确定它的范围了，当成普通函数求单调性最值问题即可。那么我们来看一下具体是如何操作的：（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.那么通过上面的解题过程，我们可以得出一个结论，我们首先要确定题型的结构，然后确定解题方法，再确定解题思路，最后就是书写计算过程，是不是就变得很顺畅？大家是不是有一个感觉，都能听懂老师的课，而且思路也变