一元一次方程及其解法

1、(完整 word 版一一次方程及解法 一一方及解1元一次方程(1）元一次方程的概念只含有一个未数元)，未数的次数都是 1,且等式两都是整式的方程叫做一一次方程如：7 53，3（2）x 等是一元次方程解巧 正判断一元一次方程判断一元一次程的四个条件是：含有一个未知数（元 )；未知数的次数都一次；未知数的 系数不能为 分母中不含未知数,这个条件缺一不可（2）程的解概念：使方两边相等的未知数的叫做方程的解一元方的解，也叫做程的根方法:要验某个数值不是方程的解，只需看点：一看，它不是方程中未知数值 二看将它 分别代入方程左边和右边，若方程、右两边的值相等，则是方程的解如 x3 是程 2x42 的解，而

2、 3 就不是程 2 的解（3)解方求方程的解的程叫做解方程方程的解和解程是不同的概念，方的解是求得的结,它一个数值（或几个数值,而解方程是指 求出方程的解过程【例 11】 下各式哪些是一元一次方程( A错 !；B.x0；C.0错误112；Fy51 xx10；H.x 2.解:E 中不含知数，所以不是一元次方程G 中未知数的次数是 2，所不是一元一次方;A 与 中含有的未知不是一个，也不是一一次方; 虽形式上字母的个数是一个，但它不是等,所以也不 是一元一次方；D 中分母中含有知数，不是一一次方程；只有C 符合一元次方程的概念，所以它 们是一元一次程答:CF【例 12】 x 是下列程（ )的解A5

3、（1）4(2) 421C误x Dx10解：对于项 A, x 代入所给方程左右两边，左边5(），右边4（ 3）20，为左边右边，所以 x3 是程5（1)（2)的解；于选项 B，把 x3 代入所给方程左右两边，左边4(3）210,右边1，为左边右边，所以 x 不是程 421 的解选项 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两相，只有A 的左右边相等故应 选 A.答：2式的基本性质（1）式的基本性质性质 1：式的两边都加上（或减去同一个数或一个整式，所得结果仍等式用式子形式表为:如果 a，么 ，。性质 2：式的两边都乘以或除以）一个数(除数不是零)，所得结仍是等式用式子形式表为：如果 a，么 acbc

4、错误!错 !（0)性质 3：果 a,那么 b。(对性）如由， y。性质 4：果 a,c，那么 a.(递性）(完整 word 版一一次方程及解法如：若60，60.(2）量代换在解题过程中根据等式的传递性，个量用与它相等的量代，简称等量代谈点 应不等式的性质的注意项（1）用等式的基本性质 1 时一定要意等式两边同时加上(或去）同一个数或同一个式，才能 保证所得结果是等式这里特别要意：“同时”和“同一”，否则就会坏相等关系（2)等式基本性质 2 中乘(或除以）的仅仅是同一个数不包括整式，要注意与性 的区别 （3)等式边不能都除以 0,因为 0 不作除数或分【例 21】 下运用等式的性质对等式进的形中

5、，正确的是（ A 4231,则 y1 B若 7a5，则 a错 !C误0,则 2 D若错 !11,则 61解 :首观察等式的左边是如何上步变形得到的，确定形的依据，再对等式的边进行相应的 变形,得出论A 根据等式的基性质 1，等式 的边都减去 32左边是 ，右边3，是 根据等式的基本 性质 2，两边都乘以 2，边应为 ，是 2 根等的基本性质 2,左边乘以 6，右边漏乘 6，故不正 确；只有 B 根等式的基本性质 ，边都除以 7，得到 a错误.答：【例 22】 利等式的基本性质解方程：（1)5x812）422x16;(4)3x7.分:利等式的基本性质求解先利用等式的基本性质 1 将程变形为左边只

6、含有知数的项，右边 含有常数项，利用等式的基本性质 2 将知数的系数化 1。解）程的两边同时加上 8,得 x20。方程的两边同除以 ， x4。（2)方程两边同时减去 2x, 2x20.方程的两边同加上 ， 2 2.方程的两边同除以 ， x1.(3）程两边都同时减去 ，得 x11,61。5.（4）程两边都加上 x，得 37,37,方程两边都减 7，得 377x7,4,即 x4.3.解元一次方程(1）项移项的概念依据：把方程中的某项改变符号后,从程的一边移到另一边，这变叫做移项 因为方程是特的等式，所以移项的据是等式的基本性质 1.移项的目的把所有含有未知数的移到方程的一边,常数移到方程的另一边移

7、项的过程移项的过程是项的位改变和符号变化的过程即对移动的项行变号的过程 如,2 372 从方程左边移到右边2 在原方程中前面带有性质号“”,移到右边后需变成“”， 在移动的过程同时变号，没有移动项则不变号所以由移，得3x72.要注意移项加法交换律的区别：项是把某一项从等式的边移到另一边移项要变号；而加法 换律中交换加位置只是改变排列的序符随着移动而不改变，51，把 3 从方程的左边移到 右边要变号， 513，是属移项；而把 51511 变成 5x11 1511，是利加法交换 律，不是移项是位置的移动，所以变号辨区 移时应注意的问题在移项时注意两变”变质符号即“”号变为“”号,而“”号变为“号变

8、位置， 把某项由等号一边移到另一边(完整 word 版一一次方程及解法(2)解一元次方程步骤解一元一次方的一般步骤有：去分、去括号、移项、合并类项、系数化 1.具体见下表： 变形名称 具做法 变依据 注意事项方程左右两边每一去分母 项乘以各分母的最小公倍数不能有漏乘不分等式的基本性 母的项;分是多 2 项式的掉分母后，要加小括 不要漏乘括号的去括号移项可由小到大，由大 分配律；去括号 到小去括号 的法则移项就是将方中的某些项改变符后， 等式的基本性质 从方程的一边到另 1一边项括号前是 “”号的去括 号时括号内的有 项都要变号移项要变号合并同类项将方程化为 b 的 合并同类项的法 只系数相加，

9、字 最简形式 则 母其指数不变方程的左右两同时 化系数为 除未知数系数或乘以未知数系数倒数等式的基本性 分子、分母不能颠 2 倒解巧 巧一元一次方程值得注意的是些步 在方时不一定全部都用到,也不一定按照顺序行据程的形式， 灵活安排步骤）为了避免错误,可将解出的结果代入原程进行检验【例 31】 下各选项中的变形属于移项是 A 24， x2B 735,得 735 xC 8x5,得x8D x931,得 319解：项 A 是 x 的数化成 1 的变形；选项 B 中 x5 变成 5x 是用加法交律只是把位置变 换了一下;选项 C 是作的移项变形；选项 D 是用等式的对称性a，则 b”所作变形所以变形属

10、于移项的是选 C.答：【例 32】 解程错 !5误.分:方有分母方程两边每项都要乘以各分母的最公倍数 12去掉母得 4(2603( 1)，再照骤求解特别注意 不能漏乘分母的最公倍数 。解 去分母，程两边都乘以 12，得 4(2)603（1去括号，得 8460 x3。移项,得x3x8。合并同类项，749.两边同除以7，得 x。4复杂的一元一次方程解方程是代数的主要内容之一，一一次方程化成标准方程，就成为未知系数不是 0 的简方 程一元一次程不仅有很多直接应，而且解一元一次方程学习解其他方和方程组的基础解程的 过程，实际上是把方程式不断化简过程，一直把方程化为 x( 是个已知数(1）杂的一元一次方

11、程的解与简单方程的法其思路是一样的程中若含有相同的代数，可以 把此代数式看一个整体来运算;方中若含有小数或百分数就要根据数的基本性,把小数或百分数化(完整 word 版一一次方程及解法为整数再去分运算(2）注意把分母整数化和去母的区别：分整数化是在某一项的子、分母上同乘以一个等于零 的数，而去分是在方程两边同乘以母的最小公倍数【例 4】 解程错 !错误错误分由错误和错 !的分子分母中含有数利用分的基本性质把小数化整,在式子错 ! 的分子、分母都乘以 10，变错误!,在式子错 !的分子、分母中都乘以 ，变为误!，然后去分母， 再按解一元一方程的步骤求解解分母数化，得错 !错 !错误。去分母，得6

12、(4x90）15（）10(32x)去括号，得24x54015x753020 x.移项，得24x1520 x。合并同类项，11495。两边同除以，得x5。一元一次方程的解相的问题方程的解不仅方程的重要概念，也考查方程知识时的主要题点解题的键是理解方程的解的 念（1）知方程的解求字母系若已知程的解,将程的解代入方程，一定使其成,则得到一个关于 另一个未知数方程解这个方程，可求出这个字母系数值（2)同解程因两方程的解相同，可接解第一个方程，求出知数的再把未知数的值入第二 个方程，求出关字母的值【例 51】 关 x 的方程 x50 与 331 的解相同则 ( )A2 B误 C2 D误解：方程 350，

13、得 x误。将 x误!代入方程 3xk1,得53k1，解得 k2,故应选 C。答：【例 52】 若于 x 的程6）4 的为 x，则 m。解： 2 代入方(6）x4，得m4,解得 m8.答：6.一一次方程的常用解题策我们已经知道解一元一次方程一般五个步骤 ,去分母，去括号，移，合并同类项，化未知数的系 数为 1可有些一元一次方若能根其结构特征灵活运用运算性质与解题技巧则不但可以提高解速 度与准确性，且还可以使解题过程捷明快，下面介绍解一一次方程常用几种技巧（1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小大去 ,但有题目是从外向里 去括号，计算而简单，这就要求仔观察方程的特点，灵活用

14、使计算简便方法（2)对于些含有分母的一元一次程若硬套解题的般骤先去分母则复杂繁琐若据方程的结 构特点，先移、合并同类项，则使算显得简捷明快有些特殊的方却要打破常规，灵活用一些解题技巧，使运快捷、简便解可激活思维，使我 克服思维定式培养创新能力，从而强学习数学的兴趣【例 61】 解程错 !误误!x1。分注意错误!误1,把错 !乘 以括号的每一项则可先去中括号 误!错 !错 ! 4错 !1,再去小括号错误!错 !3误x1,按步骤解方程就非常捷了解:去括号，得错 !误3错误x1。(完整 word 版一一次方程及解法移项，合并同项，得x错 !。两边同除以1，得 x错 !。【例 62】 解程错 !误错

15、!错 !。分：题可按照解方的一般步骤求解但本题若直接去分母则两边乘最小公倍数 420运算量大5 x3 7 x2容易出错我可两边分别通分，35骤求解误把分子整理后再按照解元次方程的步解方程边分别通分，得误!错 !化简，得错误误。去分母得 12（x1)35（x10)去括号，得x1235350。移项、合并同项，得 x两边同除以 11得 x错误.7一元一次方程解题(1）用方程的解求未知系数值当已知方程的求方程中字母系数或关的代数式时，常常采代入法，即将程的解代入原方程 ,得 到关于字母系的等式或者可以看作关于母系数的方程，再求即可(2)利用概列方程字母的值利用某些概念定义 可以列方程求出关的字母的取值

16、，如根同类项的定义一元一次方程的定义 求字母的值列方程求值的键是根据所学的知识出相等关系再列出方,解程从而求出字母的取值 谈点 列元一次方程注意挖掘含条件许多数学概念性质的运用范围、限条件或使用前提有的是隐含条件的形出现在题目中 由此 发掘隐含的条，列一元一次方程解，发掘隐含条件时需要面、深刻地理掌握数学基础知识【例 71】 (1）当 a_时，式 1 与 2a 互相反数（2） 6 的倒数等于 x2，则 x 的为_解（1）据互为相反数的两数和 0，得一元一次方程 2a 1（2），解得 ；(2) 由倒数的概念乘积为 1 的两个数互为倒数可得一元一次方程 6（2)1,解得 错误!。答:(1)3 （2

17、）错 !【例 72】 已 2 是方程错 !错误误的解求 k 的分把 2 代入原方程，原方程变成了以 为知数的新方程解含有未知数 k 的程，可以求 出 k 的值解:把 x2 代入方,得错 !错 !（2)误。去分母，得2（）k（2）63(2)去括号得42321263.移项、合并同项，得2k方程两边同除，得 k8.课后作业黑体小四【0】列变形中，不正确的是 )A x ，则 x B若 则 x C ， 则 x x y(完整 word 版一一C ， 则 x x yx 2D若 ，则 【】下列各式不方程的是 ）A y B m 2 nC D 0【】解为 x 的方程是（ ） A x B5 2C 3( x 2) x 3) Dx 4 6 【0】关于 的方程 3( 4) 是一元一次方，求 n的值【】已知 x m) 是关于 的一元一次方程,则 m 【】若关于 x的方程 (2 m |) x m 是一元一次方，求 m的解【0】关于 的程 ( k x k 是一元一次方程,则 k = D 1 (完整 word 版一一次方程及解法D 1 【0】关于 的方程 ( x k 是一元一次方，则