矩阵的LU分解(自编MATLAB)实验报告

1、1矩阵的LU分解1.1L屿解原理定理：设ACnn,如果A的顺序主子式a11a2112a定理：设ACnn,如果A的顺序主子式a11a2112a22W0,a11a21a12a22a12a22W0an11an121n1则存在唯一的主对角线上元素全为1的下三角矩阵L与唯一的上三角矩阵U，使得A=LU.证明：对矩阵A的阶数使用数学归纳法.显然，当n=1时，4广1sli就是唯一的分解式。现假定对n-1阶矩阵，定理的结论成立。对A进行分块A=(AnJ%)TanJAn1的k阶顺序主子式就故它们都不为零.从而由归其中仇/仇？1.由于n-1阶矩阵是A的k阶主子式(k=1,2，An1的k阶顺序主子式就故它们都不为零

2、.从而由归An1=Ln1Un1的主对角线上的元素都1.由于An1a11a21An1a11a21a12a22a12a22-Ln1Un1W0an11aan11an12an1n所以Ln所以LnRUn促n-1阶可逆矩阵先假设已有A-LU，其中L-(Ln10)，U=(nyT1)yr丁)nn6,yeCn1是待定向量。作乘积LU=(LnLU=(Lnn1YTU1n1416)-(An1%+丫应丁见1)=AannJ则6,y必须满足nF=ai，rTEJnl=a2r，/户邙二境皿注意到L兀四川i都是n-1阶可逆矩阵，则由上式可惟一确定B=Lla/yT=aTUb=a丫邙nnll2nlnnnn1这就证明了A的LU分解的存

3、在性和唯一性.L分解算法当儿阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出L和U.因为当A=LU时，由于L可逆，故必存在可逆矩阵P使得PL=I即PA=PLU=U.也就是说，可以先对A施行行的初等变换得出上三角矩阵U，而矩阵P可以通过对单位矩阵I进行相同的行初等变换得出，即P(A,I)(PA,PI)=J,P)于是4=PlU,为保持尸为下三角矩阵(从而Pl也是下三角矩阵)，在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元.L分解用于解方程组矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便如对线性方程组Ax=b,设4=LU.我们先求解方程组L=b.由于L是下三角矩阵，则解向量丫可以通过依

4、次求出其分量1yy2，%而求出，在求解方程组Ux=y.解向量x可以通过该方程组依次求出分量/，4，%而快速得出.于是由两个方程组Ux=y，Ly=b的求解而给出LUx=Ly=b=AXX解.程序流程图输入矩阵A判断A是否为否nXn矩阵？是是return;计算A的计算A的n-1阶顺序卫主子式是否为0?输出：“无法进行LU分解”1.5乂八1.5乂八11八程序functionf=LU_decom(A)m,n=size(A)ifm=nfprintf(Error:mandnmustbeequal!m=%d,n=%dn,m,n)endfori=1:n-1if(det(A(1:i,1:i)=0)fprintf(

5、Error:detA(%d,%d)=0!n,i,i)flag=failureelseflag=ok;endendL=eye(n);U=zeros(n);fori=1:nU(1,i)=A(1,i);endforr=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1);endfori=2:nforj=i:nz=0;forr=1:i-1z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endifabs(U(i,i)A=211;410;-221;LU_decom(A)m=3n=3L=TOC o 1-5 h z0010-1-31U=2110-1-200-4(2)解方程组，程序及结果如下

6、%-用LU分解解线性方程组-y=zeros(n,1);y(1)=b(1);fori=2:ny(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1);endyx(n)=y(n)/U(n,n);fori=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n).*x(i+1)/U(i,i);endx=x运行结果如下：y=102x=-0.50001.0000-0.50001.7数据分析调用MATLAB固有的LU分解函数，以及解方程组相关函数对以上数据进行计算，运行结果如下：A=211;410;-221;b=121;L,U=lu(A)L=0.50000.20001.0000TOC o 1-