工程力学ii导学12动量矩定理

1、工程力学导学 动力学_动量矩定理1工程力学导学动量矩定定理动量矩定理2工程力学导学 动力学_动量矩定原理 目录内容提要 3基本要求 8典型例题 9补充习题 25工程力学导学 动力学_动量矩定理31.内容提要1) 刚体的转动惯量转动惯量是度量刚体角动量改变时的旋转惯性。转动惯量不仅与质量大小有关，更取决于质量的分布。(1) 对轴与对点的转动惯量表达式空间刚体平面刚体（刚体位于oxy平面）对轴nJ m ( y 2 z 2 )iiii1nJ m (x2 z 2 )iiii1niiiJm (x2 y 2 )i1nJ m y 2xiii1nJ m x 2yiii1对点J 1 (J J J )O2xyzJ

2、z JO Jx Jy4J z md2 JCz工程力学导学 动力学_动量矩定理(2)回转半径表示的转动惯量2lJ ml ，有l对任一轴(3)转动惯量的平行轴定理刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间距平方的乘积。工程力学导学 动力学_动量矩定理52) 质系动量矩计算动量对不同点之矩的表达式对静点对质心任意nLO ri mivii1vi 质点的绝对速度。nLC riC mivii 1 m nriCivici1riC 为任意点到质心的矢径；viC 为任意点相对质心的速度；质系刚体LO L CrCp J CrCpLC JC特例定轴转动 Lz J z平面运动LC J

3、C工程力学导学 动力学_动量矩定理63) 动量矩定理动量矩定理的各种表达式对静点O对质心C任意质系dLO nM(F E ) dtOii1dLC nM(F E ) dtCii1刚体d J r p n M(F E )dtCCOii1nCCiJ M(F E )i1特例定轴转动nJ M (F E )zzii1平面运动nCCiJ M(F E )i1工程力学导学 动力学_动量矩定理7ECiFi1maECCiM(F)J i1上式在刚体运动平面中有二个投影方程，及nEni1CiLCM (F ) 0，则常矢量；若nCzii1CzM(F E ) 0，则特例：若L const。ni1zL constM (F E )

4、 0 ，则特例： 若 zi4)动量矩守恒Eni1OiM(F ) 0OL，则常矢量；5)刚体平面运动微分方程将质心运动定理与质点系相对质心的动量矩定理结合，就有刚体的平面运动微分方程n若工程力学导学 动力学_动量矩定理82. 基本要求会正确计算质点系和刚体系对固定点或质心的动量矩。用动量矩定理求解质点系问题时，能正确地进行受力分析，分清外力和内力，并将外力画出来；能正确地进行运动分析，确定系统的独立的运动未知量。能熟练地写出平面运动微分方程和列写运动学补充方程。工程力学导学 动力学_动量矩定理93.典型例题工程力学导学 动力学_动量矩定理10例1：求直角杆OAB对O轴的转动惯量解:直角杆可以分割

5、成两段OA和AB采用分割法3m l 2JO (OA) 1222212O ( AB )m2lJ m2l 2212171321233OO ( AB )OOAm 2l 2m l 2J J J m2l m l 2 m l 2OAB1m , l2m , 2l工程力学导学 动力学_动量矩定理11（a）解:图（a）中杆OA作定轴转动，轮A作平面运动OAvAr1r2vA r1 r2 r1 r1 r2 A 整个系统对固定轴O的动量矩：LO LO ( 杆OA) LO（A） m1vA r1 r2 J AA JO222121121 13121r3m r m r r 1r r12mr r211213 3r1 2r2m

6、mr1 r23 2 r r （逆时针）例2：试下图中各质点系对轴O的动量矩图（a）中轮A的质量为m1，轮O的质量为m2，杆OA的质量为m3工程力学导学 动力学_动量矩定理12图（b）轮的半径均为r，质量为m，重物A的质量也为m，轮心D的速度为v。rOAvrB图（b）中重物A作直线运动，轮B作平面运动，轮O作定轴转动vA vO B vr整个系统对固定轴O的动量矩：vLO LO（A） LO（B） LO (O ) mvAr mvr JBB JOO2221v1v r mvr mvr mrmr2r 3mvr工程力学导学 动力学_动量矩定理13例3：为了求半径为R质量为m的飞轮对于通过其中心并垂直于轮面的

7、轴的转动惯量，可在飞轮上缠一细绳，绳下端系重物，重量为P，重物自h处落下（不计摩擦），测得重物下落的时间 t，求飞轮的转动惯量。FOxFOymg解：v取整体为研究对象，进行受力分析和运动分析EdLOM(F)dtOiPR2PR2a gJO h 1 at 2221t2JO PR( 2h g )vPRgLO JOvREM(F) PROi工程力学导学 动力学_动量矩定理14例4：塔轮分别由半径为r1和r2的两个匀质圆盘固连在一起组成，它的总质量为m，对水平轴O的转动惯量为JO，两轮上各缠有绳索，并挂有重物A和B，重物A和B的质量分别为m1和m2。如果不计绳重和轴承O处的摩擦，求重物A下降的加速度和轴承

8、O的约束力。v2v1OABmgm1gm2gFOxFOya2a1解:本题需应用动量矩定理和质心运动定理或动量定理联合求解。首先应用动量矩定理求重物A的加速度a1，取整个系统为研究对象，作受力分析和运动分析 。dLOM(F E )dtOi工程力学导学 动力学_动量矩定理15LO JO m1v1r1 m2v2 r2vr 2r1r1 JO 1 m1v1r1 m2v1 2E11221 12 2M(F) m gr m grm r m rgOi21 12 21Odv1 1 J代入动量矩定理： dtr m r 2 m v r1 12 1 2m r m rg1O1 12 1 2gm1r1 m2 r2 r1a d

9、v1 dtJ m r 2 m v r 2应用动量定理求轴承O处的约束力：dpx FOx 0dtdpydt FOy m m1 m2 g11 12 21vrpy m1v1 m2v2 m r m r21 12 21 12 1 2Om r m rFOy m m1 m2 g J m r 2 m v r 2gOxF 0也可利用质心运动定理求约束力工程力学导学 动力学_动量矩定理16Dr1r2ABODFAyFNFAx FdFBxFN例5： 匀质圆轮的质量为m1，半径为r，以角速度绕杆OA的A端转动，1此时将轮A放在质量为m2的另一静止的匀质圆轮B上，其半径r2 ，放置后轮A的重量由轮B支持。略去轴承摩擦和杆

10、重，并设两轮间的摩擦系数为fd。求自轮A放在轮B上到两轮间没有相对滑动为止所经过的时间。解:本题与两轮间的相互作用力有关，故分别取轮A和轮B为研究对象，作受力分析和运动分析dF Am1gFBy DBm2gFd fd FN fd m1 g对轮A，有轮A作定轴转动d 1d11 1 dm r 21 F r f m gr 21 1dt工程力学导学 动力学_动量矩定理17r11d2 fg得： t 1 m r 2 d2 Fdr2 fd m1 gr2对轮B， 22 2dt积分110dr1dt2 fgtd积分2201dm2r2tddt2m fg 0得：21dm2 r22mfgt 设两轮间没有相对滑动为止所经过

11、的时间为，这时有：1r1 2 r2 （1）（2）（3）联立求解式（1）、式（2）和式（3），解得两轮没有相对滑动所需的时间： m2r12 fd g m1 m2 工程力学导学 动力学_动量矩定理18例6： 匀质钢杆AB的质量为m，长度为2l，放在铅直面内，两端分别沿光滑铅直墙壁和光滑水平地面滑动。假设杆的初始位置与墙壁的倾角为0，初角速度为零；当杆的A端沿铅直墙壁下滑而未脱离墙壁时，试求在任意倾角时杆的角aBBAFAFBaAmgBCyx速度和角加速度以及A和B处的约束力。解: 杆AB作平面运动，用平面运动微分方程求解，作受力分析和运动分析根据平面运动微分方程，有mxC FAmyC FB mgJC

12、 FBl sin FAl cos上述3个方程，有5个未知量，需根据约束性质，引入几何关系DA 工程力学导学 动力学_动量矩定理19xC l sin yC l cosyC l sin 对时间求导： xC l cosx l cos l 2 sin y l sin l 2 cosCC将 xC 和 yC代入微分方程中，求得杆的角加速度：4l 3g sin 积分角加速度，考虑到： d d d d04l0dtdtdd3gsin dd 杆的角速度：02l 3g cos cos 这两个关系式很重要20工程力学导学 动力学_动量矩定理将 和 代入质心加速度，再代入微分方程，求约束力4A0F 3 mg 3 cos

13、 2 cossin 203342BF mg1 sin coscos cos 当杆的A端脱离墙壁时，FA 0，此时的夹角为11 arccos 3 cos 20 本题中由于速度瞬心D到质心C的距离始终为l，因此也可以应用对速度瞬心D的动量矩定理直接求出角加速度。DD iMF EJ 3DCJ J ml 2 4 ml 2EDiF mgl sin M3g sin 4l工程力学导学 动力学_动量矩定理21例7：质量m、长度l的均质杆初始时刻被光滑的水平面和绳索约束，平衡于图示位置。现突然将绳索剪断，试求剪断后瞬时 A处的约束反力。450ABC0CyNJC FN l / 2 cos 45maCx 0ma m

14、g FFNAmgaCxCaCyB3个方程4个未知量，需补充运动学关系解： 剪断绳索的瞬时，杆作平面运动，作受力分析和运动分析：由平面运动微分方程得：工程力学导学 动力学_动量矩定理22AaCxCaCyB以A为基点aCx aCy aA aCAt向y方向投影2Cya l cos 450aAaCAtaAN5F 2 mg将上式联立平面运动微分方程即可求出A处的约束力23DABEaDABEaCFDyFDxmgFB l4 l4工程力学导学 动力学_动量矩定理例8：直角弯杆的质量m=3kg，且 ED=EA=l=0.2m，在D点铰接于加速运动的板上。为了防止杆的转动，在板上A、B两点固定两个光滑螺栓，整个系统

15、位于铅垂面内，板沿水平直线轨道运动，如图所示。若板的加速度a=2g（g为重力加速度），试求螺栓A或B及铰D对弯杆的约束力。若弯杆在A、B处均不受力，试求板的加速度a及铰D对弯杆的约束力。解：取弯杆作为研究对象，作受力分析和运动分析（1）由平面运动微分方程得：工程力学导学 动力学_动量矩定理24444CDyDxBDxBDyJ 0 3 lF 1 lF 3 lFma F Fm 0 F mgFDy 29.4 N其中：a 2g联立上式，可解得： FB 7.35 N（2）若要A、B处均不受力，则FDx 60.15 NFB 044CDyDxDxDyJ 0 3 lF 1 lFma Fm 0 F mg可解得：a

16、 3gFDx 88.2 NFDy 29.4 N工程力学导学 动力学_动量矩定理254.补充习题工程力学导学 动力学_动量矩定理261匀质细长杆长为l，质量为m。已知Jz=ml2/3，试求Jz1和Jz2。答案Jz1=Jz2=7ml2/48。工程力学导学 动力学_动量矩定理272试求下列各匀质板对轴x的转动惯量。已知两板的质量均为m，尺寸如题图所示。答案3x(a)J m (a2 3ab 4b2 ) ；(b)6xJ 5 m(a2 3ab 3b2 )。工程力学导学 动力学_动量矩定理283试求证边长为l的正方形薄板对于其对角线的转动惯量为ml2/12。工程力学导学 动力学_动量矩定理294图示零件用钢

17、制成，其密度=7850kg/m2。已知R1=240mm， R2=120mm， 1=2=60mm，h=30mm。试求其对轴x的转动惯量Jx和回转半径x。答案Jx=0.0767kgm 2, x=0.0849m。工程力学导学 动力学_动量矩定理305 图示摆由质量为m1,长为4r的匀质细杆AB和质量为m2,半径为r的匀质圆盘组成。试求其对过点O并垂直于摆平面的轴的转动惯量。 14m1 99m2 r 26JO答案。工程力学导学 动力学_动量矩定理316匀质薄板，尺寸如图，单位为mm。单位面积的质量为510-4kg/mm2，试求其对轴x，y的转动惯量和惯性积。答案Jx=2.2kgm 2 , Jy=4kg

18、m 2 , Jxy=1.2kgm 2。工程力学导学 动力学_动量矩定理327刚体作平面运动。已知运动规律为xC=3t2, yC=4t2, =t3/2，其中，长度以m计，角度以rad计，时间以s计。设刚体质量 m=10kg，对于通过质心C且垂直于图平面的惯性半径=0.5m，试求当t=2s时刚体对坐标原点的动量矩。答案LO=15kgm 2/s。工程力学导学 动力学_动量矩定理338 圆轮的辋重力为P，外径为R，内径为r；轮辐为六根匀质杆，各重P0。一绳跨过圆轮，两端悬挂重P1及P2的重物。设图示瞬时圆轮以角速度绕轴O转动，试求整个系统对O的动量矩。2O0122gL (4P P)r 2 (P 2P

19、2P )R 答案。工程力学导学 动力学_动量矩定理349已知匀质圆盘质量为m，半径为R，当它作图示四种运动时，对点O1的动量矩分别为多大？图中O1C=l。答案a）LO1=ml2；b） LO1=mR2/2；c）LO1=mR2/2+ml2； d）LO1=mR2/2-mRl。工程力学导学 动力学_动量矩定理3510两个重物A，B其重力为P1，P2，分别系在两条绳上，此两绳又分别围绕着半径为r1，r2的鼓轮上，重物受重力的影响而运动。试求鼓轮的角加速度。鼓轮和绳的质量均略去不计。答案。Pr 2 Pr 2 1 11 2 g(P1r1 P2r2 )工程力学导学 动力学_动量矩定理3611一倒置的摆由两根相

20、同的弹簧支持。设摆由圆球与直杆组成，球的质量为m，半径为r，杆重不计。弹簧的刚度系数为k。试问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动？写出能够发生振动的条件。2b2答案k mgl。工程力学导学 动力学_动量矩定理3712一半径为r，重力为P1的匀质水平圆形转台，可绕通过中心O并垂直于台面的铅直轴转动。重力为P2的人A沿圆台边缘以规律s=at2/2走动，开始时，人与圆台静止，试求圆台在任一瞬时的角速度与角加速度。(P1 2P2 )r2aP2t 答案,。(P1 2P2 )r2aP2 工程力学导学 动力学_动量矩定理3813图示A为离合器，开始时轮2静止，轮1具有角速度。当离合器接合后，依

21、靠摩擦使轮2启动。已知轮1和轮2的转动惯量分别为J1和J2。试求：（1）当离合器接合后，两轮共同转动的角速度；（2）若经过7s两轮的转速相同，离合器应有多大的摩擦力矩。J1 J2J10(J1 J2 )tJ1J20答案（1） ; （2） M 。工程力学导学 动力学_动量矩定理3914杆AB可在管CD内自由地滑动，当杆全部在管内时（ x=0），这组件的角速度为1。如杆AB、管CD的质量及长度均相等，可视为匀质物体，忽略轴承摩擦。试求在x=l/2时，组件的角速度2。答案2=81/17。工程力学导学 动力学_动量矩定理4015匀质矩形薄片的质量为m，宽为l，长为h，绕铅垂轴 AB以初角速度0转动；而薄片的每一部分均受到空气阻力，其方向垂直于薄片的平面，其大小与面积及速度平方成正比，比例常数为k。试求薄片的角速度减为初角速度1/2时所需的时间。03kl2h4mt 答案。工程力学导学 动力学_动量矩定理4116滑轮质量为m，可视为均质圆盘，轮上绕以细绳，绳的一端