因式分解方法及巩固题及答案

1、因式分解的基本方法提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成两个 因式乘积的形式。其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以公因式所得的商，即:ma + mb + mc=m (a + b + c)。提公因式法的关键是确定公因式，找公因式的方法:一看系数，二看相同字母或因式。运用公式法平方差公式：a2 - b2=(a + b)(a - b)0 完全平方公式：a2 + 2ab + b2= (a + b)2,a2 - 2ab + b2= (a - b)2 运用公式法首先观察项数，若是二项式，应考虑平方差公式；若是三项式，则考虑完全平方公式，然 后观察

2、各项的次数、系数是否符合公式的特征。分组分解法：ma + mb + na + nb=m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n)在实际应用中，分组分解的形式有很多种。如C分组后能提公因式；。分组后能用公式。四项式的分 组有两种方式：一、三分组和二、二分组。一、三分组主要运用完全平方公式和平方差公式；而二、 二分组则既可运用提公因式法，又可平方差公式和提公因式法混合使用。十字相乘法：x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 用这种方法要先把待分解的多项式整理成左边的二次三项式。添项、拆项、配方法。例、分解因式(1) x3 - 3 x2 +

3、 4解法 2添项。原式解法 2添项。原式= x 3 - 3 x 2 - 4 x + 4 x + 4=x(x 2 - 3 x - 4) + (4 x + 4)=x(x + 1)( x - 4) + 4(x + 1)=(x +1)(x2 - 4x+ 4)=(x+1)(x- 2)2原式=x3 + 1 - 3 x 2 + 3=(x + 1)( x 2 - x + 1) - 3(x + 1)( x - 1)=(x + 1)( x 2 - x + 1 - 3x + 3)=(x + 1)( x 2 - 4 x + 4)=(x+1)(x- 2)2( 2) x 9 + x 6 + x 3 - 3 解：原式=(x

4、9 - 1) + (x 6 - 1) + (x3 - 1)=(x3 -1)(x6 + x3 +1)+ (x3 -1)(x3 +1)+ (x3 -1) =(x3 -1)(x6 + x3 +1 + x3 +1 +1)=(x -1)(x2 + x +1)(x6 + 2x3 + 3)6、换元法。 例、分解因式2005 x2 - (2005 2 -1)x- 2005解：设 2005= a ，则原式= ax 2 - ( a 2 - 1) x - a = ( ax + 1)( x - a )= (2005 x + 1)( x - 2005 )因式分解巩固题二 一选择题(每小题4分，共20分)： TOC o

5、1-5 h z 下列等式从左到右的变形是因式分解的是()(A) (x+2) (x - 2)=x24 (B) x2 4+3x=(x+2) (x-2)+3x (C)x23x4=(x4)(x1)(D)x22x3=(x1)242分解多项式a 2 - b 2 - c 2 + 2bc时，分组正确的是()( A)( a 2 - b 2 ) - (c 2 - 2 bc )(B) ( a 2 - b 2 - c 2 ) + 2 bc( C) ( a 2 - c 2 ) - ( b 2 - 2 bc )( D) a 2 - ( b 2 + c 2 - 2 bc )3.当二次三项式4x2 +kx+25 = 0是完全

6、平方式时，k的值是 ()(A) 20(B) 10(C)20(D)绝对值是 20 的数 TOC o 1-5 h z 4二项式xn + 5 - xn + 1作因式分解的结果，合于要求的选项是()(A) x (x n + 4 - x n )(B) x n (x5 - x)(C) xn +1 ( x 2 + 1)( x + 1)( x - 1)(D) xn +1 ( x 4 - 1)若a=-4b，则对a的任何值多项式a2+3ab4b2 +2的值()(A)总是2(B)总是0(C)总是1(D)是不确定的值把下列各式分解因式(每小题8 分，共48 分)：1 xn+4 169xn+2 (n 是自然数)；2.

7、(a+2b) 210 (a+2b)+25；解：解：3. 2xy+9x2y2；解：6. ( x 2 + y 2 z 2 ) 3. 2xy+9x2y2；解：6. ( x 2 + y 2 z 2 ) 2 4 x 2 y 2 . 解：(m2 + 3m)2 8(m2 + 3m) +16 ； 解：下列整式是否能作因式分解？ 如果能，请完成因式分解(每小题 10 分 ，共 20 分)：(1 x2)(1 y2) 4xy ；2. (2x2 3x +1)2 22 x2 + 33 x 1.解：解：(本题 12 分)作乘法： ( x + y )( x 2 xy + y 2 ) ， ( x y )( x 2 + xy

8、+ y 2 )这两个乘法的结果是什么？所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？用这两个公式把下列各式分解因式：a3 + 8b3；(2) m 6 1.选作题(本题20 分)：证明：比4个连续正整数的乘积大1 的数一定是某整数的平方. 证明：因式分解题二分解因式测试题一、选择题：(每小题 2分，共20分) TOC o 1-5 h z 下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是()A. a2b2 1B. 4 0. 25a2C. a2 b2D. x2+1 如果多项式x2mx+9是一个完全平方式，那么m的值为()A. 3B. 6C. 3 D. 6 下列变形是分解因式

9、的是()A. 6x2y2=3xy 2xyB. a24ab+4b2=(a2b)2C(x+2)(x+1)=x2+3x+2Dx296x=(x+3)(x3)6x4.下列多项式的分解因式，正确的是()( A) 12 xyz - 9 x 2 y2 = 3 xyz (4 - 3 xyz )( B) 3 a 2 y - 3 ay + 6 y = 3 y ( a 2 - a + 2)(C) - x2 + xy - xz= - x(x 2 + y - z)( D) a 2 b + 5 ab - b = b ( a 2 + 5 a )5 满足 m 2 + n 2 + 2 m- 6n + 10 = 0 的是()( A

10、) m = 1， n = 3(B) m = 1， n = - 3 (C)m = -1， n = 3(D) m = -1，n = -3 TOC o 1-5 h z 把多项式m 2( a - 2) + m (2 - a )分解因式等于()A ( a - 2)( m 2 + m )B ( a - 2)( m 2 - m )C、 m(a-2)(m-1)D、 m(a-2)(m+1) TOC o 1-5 h z 下列多项式中，含有因式(y + 1)的多项式是()A、y 2 - 2 xy - 3 x 2B、( y + 1)2 - ( y - 1)2c、( y + 1)2 ( y 2 1)D、( y + 1)

11、2 + 2( y + 1) + 18已知多项式2x 2 + bx + c分解因式为2(x - 3)( x + 1)，则b, c的值为()A、b = 3, c = 1B、b = 6, c = 2C、b = 6, c = 4D、b = 4, c = 6a、b、c是厶ABC的三边，且a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc，那么 ABC的形状是()A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(ab)。把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)。通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A、a 2- b 2 =

12、 (a + b)( a - b)B、(a + b)2 = a 2 + 2 ab+ b 2C、(a- b)2 = a 2 - 2 ab + b 2D、a 2 - ab = a (a - b)二、填空题：(每小题 3分，共30分) 多项式一2x212xy2+8xy3的公因式是.12 .利用分解因式计算：32003+6x32002 32004=.13+49x2+y2=(一 y)214请将分解因式的过程补充完整： a32a2b+ab2=a ()=a ()215.已知a26a+9与lbII互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是.16x 2 16x 2 +161)2，x 2 -(41)2 =

13、x + ()() - 2y2.右 x 2 + px + q = (x + 2)( x - 4)，贝0 p=， q=。已知a + = 3，贝Ia 2 + 的值是。aa2若x 2 + mx + n是一个完全平方式，贝Im、n 的关系是已知正方形的面积是9 x 2 + 6 xy + y 2（XO, y0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式三、解答题：（共70分）1 ) (x2+2x)1 ) (x2+2x)2+2(x2+2x)+1(xy + 1)( x + 1)( y + 1) + xy2x 2 + 2x + (4) (a - b)( 3a + b)2 + (a + 3b)2 (b - a

14、)222.已知x22（m3）x+25是完全平方式，你能确定m的值吗?不妨试一试.（6分）先分解因式,再求值：(8 分)(1) 25x(0.4 y)210y(y 0.4)2，其中 x=0.04,y=2.4.(2)已知 a + b = 2， ab = 2，求一a 3b + a 2b 2 + ab 3 的值。22利用简便方法计算（6分）(2) 2005X20042004- 2004X20052005（1） 2022(2) 2005X20042004- 2004X2005200525若二次多项式x 2 + 2kx - 3 k 2能被X-1整除，试求k的值。因式分解提高测试 答案选择题(每小题4 分，共

15、20 分)：答案：l.C；2.D；3.D；4.D；5.A.把下列各式分解因式(每小题8 分，共48 分)： 1xn4169xn2 (n 是自然数)；解： xn+4169xn+2 =xn+2(X2169) =xn+2 (x+13) (x13)；(a+2b) 210 (a+2b)+25；解：(a+2b) 210 (a+2b)+25 =(a+2b5) 2；2xy+ 9 x2 y2；解： 2xy+ 9 x2 y2= 9_x2+2xy_y2= 9(x2 2xy+y2)= 32(xy) 2=( 3 + x y )( 3 x+ y )；a 2( x 2 a )2 + a (2 a x)3 ；解：a 2 (x

16、 2 a )2 + a (2 a x)3=a2(x2a)2a(x2a)3a (x 2 a)2 fa (x 2 a)a (x 2 a )2 (a x + 2 a )=a(x 2a)2(3a x)；(m2 + 3m)2 8(m2 + 3m) +16 ；解： (m2 +3m)2 8(m2 +3m)+16=(m 2 + 3 m )2 2 (m 2 + 3 m ) x 4 + 4 2=(m2 +3m)2 8(m2 + 3m)+16=(m 2 + 3 m ) 4 2= (m + 4 )( m 1) 2=(m + 4)2(m 1)2；( x 2 + y 2 z 2 ) 2 4 x 2 y 2 .解： ( x

17、 2 + y 2 z 2 ) 2 4 x 2 y 2=(x 2 + y 2 z 2) + 2 xy (x 2 + y2 z 2) 2 xy =(x + y)2 z 2 (x y)2 z 2 = ( x + y + z )( x + y z )( x y + z )( xy z ).下列整式是否能作因式分解？如果能，请完成因式分解(每小题 10 分，共 20 分)(1 x 2 )(1 y 2 ) 4 xy ；解：展开、整理后能因式分解.(1 x 2 )( 1 y 2 ) 4 xy= (1 x 2 y 2 + x 2 y 2 ) 4 xy=(x2y22xy+1)(x2+2xy+ y2)= (xy

18、1)2 (x + y)2= ( xy 1 + x + y ) ( xy 1 x y ) ；(2x23x+1)222x2+33x1. 解：能，用换元法.(2x23x+1)222x2+33x1=(2x23x+1)211(2x23x+1)+10=(2x2 3x)(2x2 3x9)=x(2x 3)(2x + 3)(x 3).(本题 12 分)作乘法：(x + y)( x 2 - xy + y 2)，(x - y)( x 2 + xy + y 2)这两个乘法的结果是什么？所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分 解有怎样特点的多项式？用这两个公式把下列各式分解因式：(1)a 3 + 8b 3 ；(2)m 6 - 1 .解：1.结果为 TOC o 1-5 h z (x+ y)( x 2- xy+ y 2)=x3+y 3 ；(x- y)( x 2+ xy+ y 2)=x3-y 3 -利用它们从右到左的变形，就可以对立方和或立方差的多项式作因式分解；2(